专题3.1 平面直角坐标系与函数初步（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题3.1 平面直角坐标系与函数初步（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 平面直角坐标系】 1 【题型1 点所在的象限】 1 【题型2 坐标系中点的对称变换】 2 【题型3 坐标系中距离的计算】 2 【题型4 坐标与图形面积的计算】 3 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 4 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 5 【考点二 函数初步】 7 【题型7 函数相关的概念辨析】 7 【题型8 求函数自变量的取值范围】 8 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 8 【题型10 从函数图象中获取信息】 10 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 11 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 12 【题型13 由函数图象解决几何问题】 14 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 平面直角坐标系】 【题型1 点所在的象限】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·河南郑州·三模）若点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是(    ) A． B． C． D． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型2 坐标系中点的对称变换】 5．（2025·江苏无锡·模拟预测）点关于轴的对称点的坐标为 ． 6．（2025·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 8．（2025·云南红河·模拟预测）当时，函数（b为常数）的函数值．已知点在该函数图象上，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 ． 【题型3 坐标系中距离的计算】 9．（2025·宁夏银川·模拟预测）点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·广西河池·模拟预测）已知点到轴的距离为3，则的值是（   ） A．4或0 B．或0 C．4或2 D．或 11．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 【题型4 坐标与图形面积的计算】 13．（2025·江西上饶·模拟预测）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 14．（2025·北京东城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 15．（2025·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 16．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是4与9，正方形沿x轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为2，则F点移动后的坐标是 ． 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 17．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 18．（2025·贵州·一模）大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（  ） A． B． C． D． 19．（2025·江西萍乡·二模）七巧板是中国一种古老的传统智力游戏，它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等各式各样的图形．如图，将由七巧板拼成的“小船”放置在网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 20．（2025·四川广元·模拟预测）学校食堂某区域布局如图所示（每个方格边长为），已知餐桌A的坐标为，取餐窗口B位于坐标原点的西北方向． (1)在图中建立平面直角坐标系，并写出回收车 C的坐标； (2)用方向和距离描述洗手池D 相对于回收车 C的位置； (3)因卫生检查，需将A、B、C三点构成的三角形区域，先向左平移1格，再向下平移2格，画出平移后的三角形，并计算该三角形区域的占地面积． 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 21．（2025·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 23．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 24．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【考点二 函数初步】 【题型7 函数相关的概念辨析】 25．（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 26．（2025·河南郑州·模拟预测）下列选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·广东梅州·模拟预测）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 28．（2025·陕西汉中·模拟预测）一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为 ． 注水时间 … 水的深度 … 【题型8 求函数自变量的取值范围】 29．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 30．（2025·四川广元·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 31．（2025·四川广元·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 32．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 33．（2025·贵州遵义·模拟预测）家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是某家用热水器1小时内水的温度随时间的变化图象，设表示从第0分钟到第分钟热水器内水的平均温度，则随的变化图象大致是（　　） A． B． C． D． 34．（2025·江西九江·模拟预测）如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面高度与注水时间关系的是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 36．大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为，水位高度变量为，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【题型10 从函数图象中获取信息】 37．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 38．（2025·河南郑州·一模）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 39．（2025·山东济南·一模）两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有 ． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． 40．（2025·山东·三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是 ． ①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远； ②； ③加速后，，； ④两人从家出发分钟时，相距米． 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 41．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 42．（2025·陕西咸阳·一模）中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ． 43．（2025·山东枣庄·模拟预测）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 44．（2025·陕西渭南·三模）我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种（按顺序排列）这十二个节气中，在同一地点测量每个节气正午时刻同一根标杆的影长，发现每个节气与它后一个节气的影长的差近似为定值，若立春当日的影长约为尺，设这个定值为尺，惊蛰当日的影长约为尺（这里的尺是我国古代长度单位），则与的关系可以表示为 ． 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 45．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 46．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． B． C． D． 47．（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． B． C． D． 48．（2025·河南洛阳·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，点P从点A出发，沿某路径运动，沿回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型13 由函数图象解决几何问题】 49．（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接.设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（   ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为 C．a的值为5 D．点D的坐标为 50．（2025·江苏南通·模拟预测）如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 51．（2025·河南郑州·三模）如图，点为等腰直角直角边上一动点，连接，作于点，连接，与的长度关系如图所示，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形中，点为角线上一个动点，点为的中点，连接，设的长为，为，如图为关于变化的图象，则该图象最低点时的纵坐标为 ． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）平面直角坐标系中，点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 4．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 5．（2025·河南郑州·三模）下面的四个问题中都有两个变量：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间；②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长；③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间；④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间．其中，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 6．（2025·吉林长春·模拟预测）若点在轴上，则点的坐标是 ． 7．已知点，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． 8．（2025·山东泰安·模拟预测）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系表达式为 ． 9．（2025·湖北·模拟预测）甲、乙两车分别从、两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在、之间的地相遇，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时(仍保持匀速行驶)，甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，则当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有 千米． 10．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 三、解答题 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将平移得到，点、、的对应点分别为点、、，点的位置如图所示． (1)在图中画出； (2)写出点的坐标． 12．（2025·陕西·模拟预测）2025年是乙巳年，乙代表木，巳代表蛇，并且这一年被称为青蛇年．生物学家发现，蛇的尾长每增加1，它的体长增加．李博士在实验中发现一条蛇尾长增加7时，它的体长为53，若这条蛇原来体长为（），它的尾长增加（）时，体长为（）． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若这条蛇尾长增加了9，它的体长是多少？ 13．（2025·浙江·模拟预测）甲、乙两地相距千米，一辆货车从甲地出发去乙地，小时后，一辆轿车也从甲地出发去乙地，货车一直保持匀速行驶，但轿车中途有一次提速，从而轿车比货车提前到达乙地．设货车行驶的时间为（小时），图中折线表示货车与轿车之间的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系． 根据图象解答下列问题： (1)货车的行驶速度是______千米/小时，点E的坐标是______． (2)轿车提速前的速度比提速后的速度慢多少千米/小时？ (3)轿车提速后经过多长时间赶上货车？ B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·山西吕梁·三模）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）在函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 二、填空题 6．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为 ． 8．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 9．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则 （结果保留根号）． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，轴，．点A、B的坐标分别是、将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的对应点坐标为 ． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形．（点A，B，C的对应点分别为点）    (1)请在图中作出平移后的三角形． (2)请直接写出点的坐标． 12．（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 13．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．（不写作法，保留作图痕迹） (1)请画出先向左平移7个单位再向下平移2个单位后得到的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在所给的网格中确定一个格点，使得射线平分的面积，写出点的坐标． 14．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 15．（2025·陕西汉中·模拟预测）一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为（），快车与慢车之间的距离为（）．请你根据图像回答下列问题： (1)请你说明点与点的实际意义． (2)当两车之间距离时，经过了多长时间？ 16．（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，在中，分别是的中点，连接，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动，到点停止，将射线绕点顺时针旋转，与的边或交于点，设点的运动时间为的长为，探究与的函数关系．经过探究发现在点从点运动到点的过程中，是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察图象，直接写出： ①的长为___________； ②点从点运动到点的过程中，的最大值是___________． (2)当点从点运动到点时，求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）． (3)在点的运动过程中，若恰有两个时刻和，使其对应的的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出和的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 平面直角坐标系与函数初步（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 平面直角坐标系】 1 【题型1 点所在的象限】 1 【题型2 坐标系中点的对称变换】 3 【题型3 坐标系中距离的计算】 5 【题型4 坐标与图形面积的计算】 8 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 12 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 16 【考点二 函数初步】 20 【题型7 函数相关的概念辨析】 20 【题型8 求函数自变量的取值范围】 22 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 23 【题型10 从函数图象中获取信息】 26 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 31 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 32 【题型13 由函数图象解决几何问题】 39 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 平面直角坐标系】 【题型1 点所在的象限】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限． 故选：D． 2．（2025·河南郑州·三模）若点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点，横坐标为负数，纵坐标为正数列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故选：． 3．（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了象限内的点的坐标符号特点，熟练掌握坐标系中各象限内的点的坐标符号特点是解决此类问题的关键． 先由点P在第二、四象限，确定ab的符号，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限或第四象限，则异号， ∴， 故选：D． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，根据整点可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴； 故选B． 【题型2 坐标系中点的对称变换】 5．（2025·江苏无锡·模拟预测）点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 6．（2025·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O， ∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 8．（2025·云南红河·模拟预测）当时，函数（b为常数）的函数值．已知点在该函数图象上，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查待定系数法确定一次函数解析式，轴对称的性质，熟练掌握是解题关键． 先根据已知条件求出函数解析式，再求点A的坐标，最后利用关于x轴对称的性质求点B的坐标． 【详解】解：当时，，代入函数，得， 解得． 所以函数解析式为． ∵点在函数图象上， ∴，即点A坐标为． ∵点A与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【题型3 坐标系中距离的计算】 9．（2025·宁夏银川·模拟预测）点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标的特征，根据点M在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合已知条件即可求解． 【详解】设点M的坐标为， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴， ∵点M距离y轴3个单位长度， ∴， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故选：C． 10．（2025·广西河池·模拟预测）已知点到轴的距离为3，则的值是（   ） A．4或0 B．或0 C．4或2 D．或 【答案】B 【分析】本题考查点坐标的几何意义，涉及绝对值方程，理解点坐标的几何意义列出方程求解是解决问题的关键．由点到轴的距离为3，结合点坐标的几何意义列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：点到轴的距离为3， ， 则或， 解得或， 故选：B． 11．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是3，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， ∵平分，于点，轴于， ∴， ∵点到轴的距离是3， ∴点的坐标为， 故选：D． 12．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 【题型4 坐标与图形面积的计算】 13．（2025·江西上饶·模拟预测）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 14．（2025·北京东城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】(1)不存在； (2)5． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 【详解】（1）解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； （2）由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 15．（2025·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，坐标与图形，先求解，可得，可得在直线与上，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴， ∴在直线与上， 如图，作的垂直平分线，与直线与的交点符合条件； 分别以为圆心，为半径画弧，与直线与的交点符合条件； ∴符合条件的一共有个； 故选：C 16．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是4与9，正方形沿x轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为2，则F点移动后的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形变化平移等知识点，掌握分类讨论和数形结合是解题的关键． 先求出两个正方形的边长，然后再由平移后的正方形沿x轴向右平移与正方形重叠部分的面积为2，分两种情况分别求出点F的坐标即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是4与9， ∴，， 设平移后的正方形为， 如图1， 当在正方形中点时，重叠部分的面积为2 此时，则； 如图2，当在中点时，重叠部分的面积为2 此时，则． 故答案为：或． 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 17．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 18．（2025·贵州·一模）大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，由根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：F，G的坐标为，根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，如图： 由图可得：点A的坐标为， 故选：D． 19．（2025·江西萍乡·二模）七巧板是中国一种古老的传统智力游戏，它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等各式各样的图形．如图，将由七巧板拼成的“小船”放置在网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标．根据已知的坐标可作出直角坐标系，故可求出点的坐标． 【详解】解：建立如图所示的横坐标系， ∴点的坐标为， 故答案为：． 20．（2025·四川广元·模拟预测）学校食堂某区域布局如图所示（每个方格边长为），已知餐桌A的坐标为，取餐窗口B位于坐标原点的西北方向． (1)在图中建立平面直角坐标系，并写出回收车 C的坐标； (2)用方向和距离描述洗手池D 相对于回收车 C的位置； (3)因卫生检查，需将A、B、C三点构成的三角形区域，先向左平移1格，再向下平移2格，画出平移后的三角形，并计算该三角形区域的占地面积． 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析，点C坐标为 (2)洗手池D 在回收车 C正东边处 (3)画图见见解析，该三角形区域的占地面积 【分析】本题考查了平面直角坐标系，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点A的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，即可得出答案； （2）根据C、D的位置即可解答； （3）根据平移的性质描出A、B、C的对应点，然后顺次连接得出，然后根据割补法求的面积即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， 由图可得，点C坐标为； （2）解：取餐窗口B位于坐标原点的西北方向．则由图可得，洗手池D 在回收车 C正东边处； （3）解：如图， ， 即该三角形区域的占地面积． 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 21．（2025·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可． 【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为， ∴此时，点位于第四象限， ∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，， ∴轴，， ∴， ∴当点位于第四象限时，坐标为， 故选：B． 22．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于，在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵， ∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为． 故选：B． 23．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、点的坐标规律探索，由等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得，，，…，，由题意可得，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴，再结合即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，…，， 由题意可得：，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴， ∴， ∴点在轴正半轴上， ∵， ∴点的坐标为，即， 故答案为：． 24．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、相似三角形的性质与判定，通过证明，得到，得出，同理可得：，，得出，代入求出的长，再根据坐标系得出点落在y轴的正半轴，即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：，，⋯， ∴依此类推，， ∴当时，， 由坐标系可得，点落在轴的正半轴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【考点二 函数初步】 【题型7 函数相关的概念辨析】 25．（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 26．（2025·河南郑州·模拟预测）下列选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 27．（2025·广东梅州·模拟预测）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 28．（2025·陕西汉中·模拟预测）一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为 ． 注水时间 … 水的深度 … 【答案】 【分析】利用表格的信息求得每小时注入使水池的水升高的高度即可得出结论． 【详解】解：由表格可知：每小时注入使水池的水升高， (h)， 注满水池所需要的时间为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，充分利用表格信息是解题的关键． 【题型8 求函数自变量的取值范围】 29．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：． 故答案为：． 30．（2025·四川广元·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的意义和分式的意义综合求解，熟知分式和二次根式的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 故答案为：． 31．（2025·四川广元·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义条件得，解得． 根据分式有意义条件得，解得． 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 32．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 33．（2025·贵州遵义·模拟预测）家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是某家用热水器1小时内水的温度随时间的变化图象，设表示从第0分钟到第分钟热水器内水的平均温度，则随的变化图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，根据加热、保温、断电的三个过程随的变化情况判断即可． 【详解】解：加热过程，随的增大而增大，平均温度应低于，保温过程、随的增大而逐渐降低，降低速度较慢，断电过程随的增大而逐渐降低，降低速度较快，据此，只有D符合题意． 故选：D． 34．（2025·江西九江·模拟预测）如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面高度与注水时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的识别，理解茶杯的形状和注水过程中水面高度的变化规律是解题的关键．根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【详解】解：茶杯上下细中间粗， 从茶杯下部到中部，水面高度上升速度逐渐减慢；从茶杯中部到上部，水面高度上升速度逐渐加快， 故选：A． 35．（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 36．大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为，水位高度变量为，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断． 【详解】解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化， 排除， 乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升， 排除， 乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位， 排除， 正确． 故选． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【题型10 从函数图象中获取信息】 37．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 38．（2025·河南郑州·一模）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意． 故选：D． 39．（2025·山东济南·一模）两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有 ． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了观察图象，利用图中信息解题的能力．关键是设未知数列方程解题．观察图象，找出时间，路程求速度，再设未知数列方程解题． 【详解】解：①由图可知，甲车1小时行驶了60千米， 故甲车的平均速度为60千米/小时；①正确． ②由图可知， 乙车的速度为千米/小时；②错误． ③设甲车与乙车在甲车出发x小时后相遇， 甲车在x小时的路程为千米， 乙车在x小时的路程为千米， ∴， 解得． 1.8小时1小时48分钟， 故甲车与乙车在10点48分相遇．③错误． ④在10：40时，两车还未相遇，经过8分钟相遇， 此时两车相距千米， 在10：58时，两车已相遇，并背向而行10分钟， 此时两车相距千米，故④错误． 故答案为：②③④． 40．（2025·山东·三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是 ． ①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远； ②； ③加速后，，； ④两人从家出发分钟时，相距米． 【答案】②③ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． ①观察图象判断即可； ②根据速度路程时间求出加速前小亮的速度，从而求出其加速后的速度，再根据路程速度时间求出的值即可； ③设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟，根据小颖加速前后的路程之和为列关于的方程并求解，从而求出其加速后的速度即可； ④计算两人前12分钟的路程差即可． 【详解】解：小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等， ①不正确，不符合题意； 加速前小亮的速度为（米/分钟），则加速后小亮的速度为（米/分钟）， （米， ， ②正确，符合题意； 设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟， 则， 解得， （米/分钟）， 加速后小颖的速度是250米/分钟， 由①可知，加速后小亮的速度为200米/分钟， ③正确，符合题意； 两人从家出发12分钟时，相距（米， ④不正确，不符合题意． 故答案为：②③． 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 41．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数解析式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据路程等于速度乘以时间即可建立函数解析式． 【详解】解：由题意得函数解析式为， 故答案为：． 42．（2025·陕西咸阳·一模）中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 43．（2025·山东枣庄·模拟预测）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 故它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为：． 故选：D． 44．（2025·陕西渭南·三模）我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种（按顺序排列）这十二个节气中，在同一地点测量每个节气正午时刻同一根标杆的影长，发现每个节气与它后一个节气的影长的差近似为定值，若立春当日的影长约为尺，设这个定值为尺，惊蛰当日的影长约为尺（这里的尺是我国古代长度单位），则与的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据变量的变化规律求出y与x的函数关系式是解题的关键．根据变量的变化规律，每个节气与它后一个节气的影长的差近似为定值，即可求解． 【详解】解：依题意，与的关系可以表示为． 故答案为：． 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 45．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 46．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，可以排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时， ，可以排除B选项； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 47．（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，    ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确， 故选：A． 48．（2025·河南洛阳·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，点P从点A出发，沿某路径运动，沿回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段的长为y，依次求出、，再利用等腰三角形三线合一求得，然后利用勾股定理求得，从而可求得平行四边形的面积． 【详解】解：在图1中，作，垂足为E， 在图2中，，， 当点P从点A到点B时，对应图2中线段， ∴， 当点P从B到D时，对应图2中曲线从点M到点N， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应图2中到达点N， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵在中，，， ， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，利用平行四边形的性质求解，三线合一，动点问题的函数图象，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【题型13 由函数图象解决几何问题】 49．（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接.设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（   ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为 C．a的值为5 D．点D的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，解题关键是结合题意读懂函数图象． 通过函数图象获取信息，结合三角形的性质来判断各个选项． 【详解】解：A．观察图象可知，当时，y最大，即的面积最大，即当Q点在B点时y最大，故选项A正确； B．当时，Q点走的路程为；当时，Q点走的路程为． 与Q同时到达C点，故其所走时间相等，那么两者的路程比＝速度比， ， ， 在中，由勾股定理有，将代入， 解得，故选项B正确； C．由前面分析可知，， ， ，Q同时出发，P，Q两点同时到达点C， 可根据两点路程比得到速度比， 点运动的路程为8，Q点运动的路程为， 二者的速度比为， 相同时间内二者的路程比也为， 当时，的面积为最大值，此时Q点走的距离为， 则，解得，故选项C正确； D．由选项B可知，此时的面积为， 故，则D点的坐标为，故选项D错误． 故选：D． 50．（2025·江苏南通·模拟预测）如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，由菱形的性质可知，点与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的最小值为，在中，解直角三角形可得，，于是，，易证，，由相似三角形的性质分别求出和，易知，则为直角三角形．再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 四边形为菱形，， 点在上，，， 垂直平分， ，， 当、、三点共线时，的最小值为 在中， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， 的最小值为，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查动点函数问题、两点之间线段最短、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，正确理解题意，学会利用模型思想解决问题是解题关键． 51．（2025·河南郑州·三模）如图，点为等腰直角直角边上一动点，连接，作于点，连接，与的长度关系如图所示，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数问题，点和圆的位置关系，圆周角定理等，由可得点在以为直径的圆上，设圆心为，连接交于点，可知此时最小，又由函数图象可得当时，，此时点在点处，即得，再利用等腰直角三角形的性质可得，即可得，得到，利用勾股定理求出进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，设圆心为，如图， 连接交于点，此时最小， 由函数图象可得，当时，，此时点在点处，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 52．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形中，点为角线上一个动点，点为的中点，连接，设的长为，为，如图为关于变化的图象，则该图象最低点时的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象的动点问题，等边三角形的性质等，如图，连接，交于，可得，即得，可知当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，由图可得当时，，设，则，可得，即得，得到，进而由可得和为等边三角形，过点作交延长线于点，可得，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵在菱形中点和点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长， 如图，当时，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图知，， ∴和为等边三角形， 如图，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，， 在中，， 即图象最低点的纵坐标是， 故答案为：． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）平面直角坐标系中，点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据在各象限内点的坐标的符号特征解答即可． 【详解】解：∵点， ∴为负，为正， ∴点在第二象限， 故选：． 3．（2025·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，因为点到轴的距离是5，则，再进行计算，即可作答． 【详解】解：点到轴的距离是5， 则， 或， 或 故选：B． 4．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 5．（2025·河南郑州·三模）下面的四个问题中都有两个变量：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间；②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长；③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间；④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间．其中，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键．根据汽车电池剩余电量随使用时间的增加而减小判断即可；根据矩形的面积公式判断即可；根据蜡烛的剩余高度随燃烧时间的增加而减小判断即可；根据水箱中的剩余水量随放水时间的增加而减小判断即可． 【详解】解：新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量随使用时间的增加而减小，故符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，矩形的长宽之间存在关系，可以用表示另一边长，根据面积公式得到的是二次函数，故不符合题意； 点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度随燃烧时间的增加而减小，故符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量随放水时间的增加而减小，故符合题意； 所以，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·吉林长春·模拟预测）若点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出的值，再代入点P的横坐标，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 把代入，得 ∴ 故答案为：． 7．已知点，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点M关于x轴的对称点在第三象限，可知点M在第二象限，让根据第二象限点的特征列不等式计算即可． 【详解】解：∵点M关于x轴的对称点在第三象限， ∴点M在第二象限， 则， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组等知识点，熟知平面直角坐标系中各个象限中点的坐标特征是解本题的关键． 8．（2025·山东泰安·模拟预测）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴； 故答案为： 9．（2025·湖北·模拟预测）甲、乙两车分别从、两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在、之间的地相遇，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时(仍保持匀速行驶)，甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，则当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，根据图象可知，之间的距离为千米，由图象可以求出甲、乙两车的速度，进而可求出相遇时间及相遇地点距地、地的距离，然后可求出甲车在相遇后到地的时间，进而可以求出乙车在相遇后到休息前以千米小时速度行驶的时间，再得出相遇后到乙车刚要离开服务区时的时间，求出此时的距离． 【详解】解：甲的速度为千米小时， 甲乙的速度和为：千米小时， 乙车的速度为：千米小时， 乙车出发后，两车相遇需要时间为小时，此时相遇地点距地千米，距地千米， 当甲车到达地时，乙车距地千米， 甲从相遇后到达的时间为小时， 设相遇后乙车以千米小时速度行驶的时间为小时，则乙车以千米小时速度行驶时间为小时， 由题意得：， 解得：， 此时甲车从相遇后到乙车休息结束又行驶小时，则从乙休息结束开始，甲到B地的时间为小时， 故当乙车正要离开服务区时，甲车距地距离为：千米． 故答案为：67.5． 10．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将平移得到，点、、的对应点分别为点、、，点的位置如图所示． (1)在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 【分析】此题考查了平移的作图、坐标与图形等知识，熟练准确作图是关键． （1）找到平移后点、、的对应点分别为点、、，顺次连接即可； （2）根据点的位置写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）点的坐标为 12．（2025·陕西·模拟预测）2025年是乙巳年，乙代表木，巳代表蛇，并且这一年被称为青蛇年．生物学家发现，蛇的尾长每增加1，它的体长增加．李博士在实验中发现一条蛇尾长增加7时，它的体长为53，若这条蛇原来体长为（），它的尾长增加（）时，体长为（）． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若这条蛇尾长增加了9，它的体长是多少？ 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是关键． （1）根据题意得到，把时，代入，求出，即可求出与之间的函数表达式； （2）把代入函数解析式即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得 ， ∵一条蛇尾长增加7时，它的体长为53， 即时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时， ， 答：这条蛇尾长增加了9，它的体长是． 13．（2025·浙江·模拟预测）甲、乙两地相距千米，一辆货车从甲地出发去乙地，小时后，一辆轿车也从甲地出发去乙地，货车一直保持匀速行驶，但轿车中途有一次提速，从而轿车比货车提前到达乙地．设货车行驶的时间为（小时），图中折线表示货车与轿车之间的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系． 根据图象解答下列问题： (1)货车的行驶速度是______千米/小时，点E的坐标是______． (2)轿车提速前的速度比提速后的速度慢多少千米/小时？ (3)轿车提速后经过多长时间赶上货车？ 【答案】(1)，； (2)； (3)小时． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程时间求出货车的行驶速度，由时间路程速度求出货车到达乙地所用时间，从而求出点E的横坐标，进而得到点E的坐标即可； （2）分别求出轿车提速前后的速度并求差即可； （3）根据轿车提速时两车之间的距离轿车提速后的速度与货车的速度差列式计算即可． 【详解】（1）解：货车的行驶速度是（千米/小时）， 货车到达乙地所用时间为（小时）， 点E的坐标是． 故答案为：，． （2）轿车提速前的速度为（千米/小时）， 提速后的速度为（千米/小时）， ∴轿车提速前的速度比提速后的速度慢（千米/小时）． 答：轿车提速前的速度比提速后的速度慢30千米/小时． （3）（小时）． 答：轿车提速后经过小时赶上货车． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·山西吕梁·三模）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数定义的应用，由已知结合函数的定义检验各选项即可判断． 【详解】解：由函数的概念可知，一个自变量x的值只能对应一个因变量y的值． A、一个自变量x的值可以对应两个因变量y的值，不符合函数的概念，故A选项不能表示是的函数； B、任意一个自变量x只有唯一一个因变量y与之对应，故B选项能表示是的函数； C、任意一个自变量x只有唯一一个因变量y与之对应，故C选项能表示是的函数； D、任意一个自变量x只有唯一一个因变量y与之对应，故D选项能表示是的函数； 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图， 点的坐标为． 故选：D． 3．（2025·湖北·模拟预测）在函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集． 根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【详解】解：在函数中，， ∴自变量的取值范围， 在数轴上表示为： 故选：C． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：    故选：B． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 二、填空题 6．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形的性质及解直角三角形，过点 作轴，垂足为，通过正六边形的性质和解直角三角形求出点的横坐标，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为 ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵在第二象限 ∴           故答案为：. 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 根据已知点的坐标建立直角坐标系，即可得出结果． 【详解】解：如图，由已知点的坐标建立直角坐标系， 根据图示． 故答案为：． 8．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的点的坐标特征，涉及知识点：平行于轴的直线上的点纵坐标相等．解题方法是利用“平行于轴的直线上点的纵坐标相同”列方程求解；解题关键是识别直线平行轴的坐标规律，易错点是混淆轴、轴平行时的坐标特征． 【详解】∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，， 故答案为． 9．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，轴，．点A、B的坐标分别是、将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的对应点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形，根据旋转的性质得点坐标的变换规律是解题的关键． 根据题意可得，再根据旋转的性质找到点的变化规律，进而可求解． 【详解】解：∵轴，．点A、B的坐标分别是、， ∴，点的纵坐标为， ∴，即点的横坐标为， ∴， ∵四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴四边形每转动4次，点C回到最初位置， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点C绕点O逆时针旋转， ∴第2026次旋转结束时，点C与未旋转时点C关于原点对称， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到三角形．（点A，B，C的对应点分别为点）    (1)请在图中作出平移后的三角形． (2)请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换、坐标与图形等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A，B，C的对应点，然后再顺次连接即可；变换的性质作图； （2）根据图形直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；    （2）解：根据（1）的作图可直接读出的坐标为． 12．（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1)15；8 (2) (3)的值不能等于．理由见解析 【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键． (1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答； (2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可； (3)根据规律计算出n的值，即可得知结果． 【详解】（1）解：∵，，，，，， …… ∴根据规律发现,， ∴，， 故答案为：15；8． （2）解：∵，， ， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∵n不是整数， ∴的值不会等于． 13．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．（不写作法，保留作图痕迹） (1)请画出先向左平移7个单位再向下平移2个单位后得到的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在所给的网格中确定一个格点，使得射线平分的面积，写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) (3)图见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质确定点，再依次连接，得，则点的坐标为，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）根据网格特征，，即四边形是平行四边形，连接，则射线平分的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 点的坐标为． （2）解：， 的面积为． （3）解：如图，点即为所求，点的坐标为． 【点睛】本题考查了勾股定理，点的坐标、平移作图，运用网格求面积，平行四边形的性质，中线平分面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 【答案】(1)； (2)画图象见解析； (3) ； 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，从函数图象中获取信息，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据表格数据与为正比例函数关系，求得，然后将代入即可求解； （）通过函数图象方法即可求解； （）根据表格数据和函数图象观察即可得解； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天，则，分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为，然后相减即可． 【详解】（1）解：通过分析数据可得，与为正比例函数关系， 设， 将代入可得， 解得， ∴， 将代入可得， 故答案为：； （2）解：画出图象如图， （3）解：根据图象可知当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为天， 故答案为：； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天， ∴， 分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为， ∴， 故答案为：． 15．（2025·陕西汉中·模拟预测）一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为（），快车与慢车之间的距离为（）．请你根据图像回答下列问题： (1)请你说明点与点的实际意义． (2)当两车之间距离时，经过了多长时间？ 【答案】(1)点的实际意义是快车到达乙地的时刻，点的实际意义是慢车到达甲地的时刻 (2)或 【分析】（）根据题意及函数图象解答即可； （）根据函数图象求出慢车和快车的速度，再分两车相遇前距离和两车相遇后距离，分别列出方程解答即可； 本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：点的实际意义是快车到达乙地的时刻，点的实际意义是慢车到达甲地的时刻； （2）解：由函数图象可得，慢车的速度为，快车的速度为， ①两车相遇前距离， 则， 解得； ②两车相遇后距离， 则， 解得； 答：当两车之间距离时，经过了或． 16．（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，在中，分别是的中点，连接，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动，到点停止，将射线绕点顺时针旋转，与的边或交于点，设点的运动时间为的长为，探究与的函数关系．经过探究发现在点从点运动到点的过程中，是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察图象，直接写出： ①的长为___________； ②点从点运动到点的过程中，的最大值是___________． (2)当点从点运动到点时，求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）． (3)在点的运动过程中，若恰有两个时刻和，使其对应的的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出和的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，三角形相似、二次函数的图象和性质、动点问题，明确点的移动情况是解题的关键． （1）①由图（2）知，，而，则，即可求解； ②点从点运动到点的过程中，点在上，长度由逐渐变大，当点移动到的中点时，为等腰直角的中位线，即可求解； （2）证明，则．由题意，可知，，，．即可求解； （3）画出的图象，由函数图象，可知当的值为时，恰有两个时刻和，满足题意，即可求解． 【详解】（1）解：①由图（）知，，而， 则； ②由①知，， 点从点运动到点的过程中，点在上，长度由逐渐变大，当点移动到的中点时，为等腰直角的中位线， 则， 故答案为：①，②； （2）由函数图象，可知． ，，是的中点， ，． ，． 是的中点， ． ，， ． ， ， ，，，， ， ， 当点从点运动到点时，，与的函数关系式为； （3）画出的图象，如图所示． 由函数图象，可知当的值为时，恰有两个时刻和，满足题意． ， 解得：或（舍去）， ， 根据函数图象可得在中间，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $