专题3.1 平面直角坐标系与函数初步（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦“平面直角坐标系与函数初步”专题，覆盖8个核心知识点和13个中考高频题型，构建“知识点梳理-考点突破-真题演练-变式巩固”的复习体系，通过坐标特征分析、函数关系建模等方法指导，帮助学生系统掌握象限判断、对称变换、图象分析等关键技能。 亮点在于“一题三变”的分层训练设计，如“坐标系中距离计算”题型结合网格图实例，运用“到轴距离为坐标绝对值”的解题策略，培养学生的几何直观和空间观念。13个题型精准对接中考命题趋势，真题变式训练强化实战能力，教师可通过考点拆解和方法归纳把控复习节奏，有效提升学生的应考效率。

专题3.1 平面直角坐标系与函数初步（举一反三复习讲义） 【8个知识点+2大考点+13个题型】 【考点一 平面直角坐标系】 2 【题型1 点所在的象限】 3 【题型2 坐标系中点的对称变换】 5 【题型3 坐标系中距离的计算】 7 【题型4 坐标与图形面积的计算】 9 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 13 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 17 【考点二 函数初步】 20 【题型7 函数相关的概念辨析】 21 【题型8 求函数自变量的取值范围】 24 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 25 【题型10 从函数图象中获取信息】 29 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 31 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 34 【题型13 由函数图象解决几何问题】 41 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握平面直角坐标系概念及各象限、坐标轴上点的坐标符号特征。能根据坐标描点，由点写坐标，理解点到坐标轴的距离。掌握函数基本概念（变量、自变量、函数值），能识别函数关系，用解析法、列表法、图像法表示简单函数，会求简单函数自变量的取值范围。 直接考查坐标系内点坐标特征（如对称点、到坐标轴距离）属基础题。核心考查趋势是与后续函数（一次函数等）、几何图形（三角形、四边形）动态变换结合，作为综合题的底层工具。函数概念多通过图像或情境判断是否为函数关系，重视对“唯一对应”本质的理解。 1. 坐标特征：利用象限符号、对称规律（关于谁对称谁不变）、距离公式（到轴距离为坐标绝对值）快速解题。 2. 函数判断：紧扣“一个自变量值对应唯一函数值”的核心定义，通过图像（作垂直于x轴的直线）或情境关系判断。 3. 数形结合：涉及图形在坐标系中的问题时，先画出草图，将几何条件（边长、面积）转化为点的坐标进行计算或建立方程。 【考点一 平面直角坐标系】 知识点1 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点2 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点3 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【题型1 点所在的象限】 【例1】（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 【变式1-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决此题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案． 【详解】解：点在第二象限， 故答案为：二． 【变式1-2】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 【变式1-3】（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 【题型2 坐标系中点的对称变换】 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：    故选：B． 【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 【变式2-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质即可得解，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意以及中心对称的性质可得，若点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·陕西·模拟预测）在边长为1的小正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)将向下平移3个单位长度，画出平移后的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点，的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，， 【分析】本题考查的是画平移图形，画轴对称图形，轴对称的性质； （1）分别确定点，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定点，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，根据，的位置可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∴，． 【题型3 坐标系中距离的计算】 【例3】（2025·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点M到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点M的坐标是， 故选：C 【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．-5 D．-4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值是解题的关键． 明确点到y轴距离的解题思路，即根据点的坐标特征，点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值． 【详解】解：∵ 点的坐标为， ∴ 点到轴的距离为， 故选：． 【变式3-2】在x轴上到原点距离为3的点的坐标为 ；在x轴上到点（－2，0）距离为5个单位的点的坐标是 ；在x轴上到点（－，0）距离为4.5个单位的点的坐标是 ． 【答案】 （3，0）或（-3，0）； （3，0）或（-7，0）； （3，0）或（-6，0） 【分析】x轴上点的纵坐标为0，然后根据两点的位置关系分情况讨论求解即可． 【详解】解：在x轴上到原点距离为3的点的坐标为（3，0）或（-3，0）； 在x轴上到点（-2，0）距离为5个单位的点的坐标是（3，0）或（-7，0）； 在x轴上到点（-，0）距离为4.5个单位的点的坐标是（3，0）或（-6，0）． 故答案为（3，0）或（-3，0）；（3，0）或（-7，0）；（3，0）或（-6，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 【变式3-3】（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 【题型4 坐标与图形面积的计算】 【例4】（2025·江苏泰州·一模）的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，整式的混合运算，割补法求不规则图形的面积，三角形的面积公式，熟练掌握割补法求不规则图形面积的方法是解题的关键．先在坐标系中画出三角形，沿着三角形的顶点作关于坐标轴的垂线，构造矩形，根据割补法表示出三角形的面积，结合整式的混合运算，化简即可求解． 【详解】解：如图：过点作轴，过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点； ∵，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，，， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积的面积， ， 即的面积是固定值，与与、的大小都无关． 故选：C． 【变式4-1】（2025·广东惠州·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（2025·江西赣州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 【变式4-3】（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1) (2)或；；或 【分析】本题主要考查了利用平移的性质求解，坐标系中的动点问题（不含函数），解题关键是熟练掌握相关知识． （1）根据平移的性质可得，进而得解； （2）根据点的运动路线分类讨论； 结合结论建立方程求解即可； 分类讨论，根据面积表达式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 【例5】（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置，建立坐标系是解题关键．直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 故答案为 【变式5-1】（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 【变式5-2】（2025·甘肃金昌·三模）如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图：    可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 故选：A． 【变式5-3】（2025·湖南岳阳·一模）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为______的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） (3)图书馆的坐标是______； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 【答案】(1)高中楼 (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据坐标系中的位置即可得到答案， （4）根据坐标系解答即可． 【详解】（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是， ∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置， 故答案为：高中楼 （2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示： （3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为， 故答案为： （4）解：宿舍楼如图所示： 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 【例6】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 【变式6-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题关键是发现P点的横坐标、纵坐标的规律． 观察可知点P的横坐标即为运动的次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为：， …… ∴可以得出规律：点P的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0； P点的横坐标是运动次数即，纵坐标与第一次运动到达的点的纵坐标相同即1， 第次运动后的坐标为：， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知点，点，点是线段的中点，则．．在平面直角坐标系中有三个点，点关于点的对称点（即三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，按此规律继续以三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索．通过计算对称点坐标，发现每6次操作形成一个周期循环，利用周期性规律确定点的位置． 【详解】解：关于对称：由中点公式得． 关于对称：同理得． 关于对称：得． 关于对称：得． 关于对称：得． 关于对称：得， 关于对称：由中点公式得， 形成周期为6的循环． 余，对应周期中的第3个点，其坐标为． 故选：B． 【变式6-3】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：C． 【考点二 函数初步】 知识点4 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点5 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点6 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点7 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 知识点8 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是表达式法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 表达式法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 【题型7 函数相关的概念辨析】 【例7】（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 t s 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 【变式7-1】（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 【变式7-2】（2025·山东德州·模拟预测）下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据函数的概念，对四个图象逐一分析，再作判定． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合； 用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合； 故选：C． 【变式7-3】科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 【答案】4 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【详解】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键． 【题型8 求函数自变量的取值范围】 【例8】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【变式8-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式8-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2 【答案】B 【详解】y<0时，即x轴下方的部分， ∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2. 故选B. 【变式8-3】（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴且， 故选：C． 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高， 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 【变式9-1】（2025·河南驻马店·三模）现有质量相同、初温均为的两种物质，通过红外加热器加热相同时间（即相同），已知，则的温度随加热时间变化的图象最符合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据两种物质的初温均为且M比N的温度升高得快，即可得出M和N的温度随加热时间变化的图象． 【详解】解：∵相同，两种物质的质量相同，且， ∴M比N的温度升高得快， ∵两种物质的初温均为， ∴M和N的温度随加热时间变化的图象是D． 故选：D． 【变式9-2】（2025·吉林长春·三模）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度h随时间t变化而分两个阶段， 【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度h随时间t的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度h随时间t的增大而增长较快. 故选:A. 【变式9-3】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 【题型10 从函数图象中获取信息】 【例10】（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 【变式10-1】（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 【变式10-2】（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式10-3】（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 【例11】（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 【变式11-1】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 【变式11-2】（2025·四川南充·二模）在围棋盒中有颗黑色棋子和颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是白色棋子的概率是．试写出与的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率公式，即可完成. 由题意根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可列方程求解. 【详解】解：由题意可得， ， 得到 故答案为： 【变式11-3】（2025·上海·模拟预测）如图，湖心岛上有一座凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的M处测得凉亭在北偏西上，大树在北偏东上．设凉亭与大树相距y米，点M到凉亭与大树的距离之和为x米，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的应用方向角问题及函数关系式，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．过点作于点，设米，则米，在中，求出米，，在中，求出米，，求出，即，再由点M到凉亭与大树的距离之和为x米，列式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设米，则米， 在中，， 米，， 在中，， 米，， ， ， 米，则米， ，， 点M到凉亭与大树的距离之和为x米， ， ， ， 故答案为：． 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 【例12】（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别． 根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：由翻折的性质得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴函数图象为C项图象． 故选：C． 【变式12-1】（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 【变式12-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 【变式12-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图是一个正六边形轨道示意图，机器人P（看成点）从顶点B出发，沿着轨道按逆时针方向匀速移动，其路线为．若移动时间为x，由A，B，P三个点围成的三角形（阴影部分）的面积为y，则y与x关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与实际问题，解直角三角形，矩形的性质和判定，正多边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 先分别求出点P在上和点P在上运动时的函数关系式，再说明当P在上运动时，所以随着时间x的增加，y不变，然后根据对称性可知点P在和上运动时，随着时间x的增加，y减小，即可判断图象． 【详解】解：设点P运动的速度是1，， 当点P在上时，过点P作交延长线于点 根据题意可知，则． 在中，， ∴， 即， ∴； 当点P在上时，过点P作交延长线于点G，过点C作， 根据题意可知， 在中，， ∴， 即． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 根据正六边形的对称性知， 在中，， ∴， 即， ∴ ∴； ∴点P在和上运动时，变化趋势相同，都是正比例函数（经过原点的直线），随着时间x的增加，y也随之增大； 当P在上运动时，的底不变，高不变，其面积也不变， 所以随着时间x的增加，y不变； 根据对称性可知点P在和上运动时，变化趋势相同，都是一次函数，随着时间x的增加，y也随之减小． 综上所述，图象A符合题意． 故选：A． 【题型13 由函数图象解决几何问题】 【例13】（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 【变式13-1】（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 【变式13-2】（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 【变式13-3】（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 平面直角坐标系与函数初步（举一反三复习讲义） 【8个知识点+2大考点+13个题型】 【考点一 平面直角坐标系】 2 【题型1 点所在的象限】 3 【题型2 坐标系中点的对称变换】 3 【题型3 坐标系中距离的计算】 4 【题型4 坐标与图形面积的计算】 5 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 6 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 7 【考点二 函数初步】 9 【题型7 函数相关的概念辨析】 10 【题型8 求函数自变量的取值范围】 11 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 11 【题型10 从函数图象中获取信息】 13 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 15 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 15 【题型13 由函数图象解决几何问题】 17 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握平面直角坐标系概念及各象限、坐标轴上点的坐标符号特征。能根据坐标描点，由点写坐标，理解点到坐标轴的距离。掌握函数基本概念（变量、自变量、函数值），能识别函数关系，用解析法、列表法、图像法表示简单函数，会求简单函数自变量的取值范围。 直接考查坐标系内点坐标特征（如对称点、到坐标轴距离）属基础题。核心考查趋势是与后续函数（一次函数等）、几何图形（三角形、四边形）动态变换结合，作为综合题的底层工具。函数概念多通过图像或情境判断是否为函数关系，重视对“唯一对应”本质的理解。 1. 坐标特征：利用象限符号、对称规律（关于谁对称谁不变）、距离公式（到轴距离为坐标绝对值）快速解题。 2. 函数判断：紧扣“一个自变量值对应唯一函数值”的核心定义，通过图像（作垂直于x轴的直线）或情境关系判断。 3. 数形结合：涉及图形在坐标系中的问题时，先画出草图，将几何条件（边长、面积）转化为点的坐标进行计算或建立方程。 【考点一 平面直角坐标系】 知识点1 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点2 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点3 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【题型1 点所在的象限】 【例1】（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【变式1-2】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【变式1-3】（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【题型2 坐标系中点的对称变换】 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式2-3】（2025·陕西·模拟预测）在边长为1的小正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)将向下平移3个单位长度，画出平移后的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点，的坐标． 【题型3 坐标系中距离的计算】 【例3】（2025·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．-5 D．-4 【变式3-2】在x轴上到原点距离为3的点的坐标为 ；在x轴上到点（－2，0）距离为5个单位的点的坐标是 ；在x轴上到点（－，0）距离为4.5个单位的点的坐标是 ． 【变式3-3】（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【题型4 坐标与图形面积的计算】 【例4】（2025·江苏泰州·一模）的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 【变式4-1】（2025·广东惠州·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·江西赣州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【变式4-3】（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【题型5 实际问题中用坐标表示位置】 【例5】（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的点 ． 【变式5-1】（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·甘肃金昌·三模）如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·湖南岳阳·一模）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为______的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） (3)图书馆的坐标是______； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 【题型6 平面直角坐标系中坐标规律探究】 【例6】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【变式6-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点的坐标为 ． 【变式6-2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知点，点，点是线段的中点，则．．在平面直角坐标系中有三个点，点关于点的对称点（即三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，按此规律继续以三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【考点二 函数初步】 知识点4 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点5 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点6 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点7 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 知识点8 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是表达式法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 表达式法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 【题型7 函数相关的概念辨析】 【例7】（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 【变式7-1】（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【变式7-2】（2025·山东德州·模拟预测）下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 【题型8 求函数自变量的取值范围】 【例8】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式8-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 【变式8-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2 【变式8-3】（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【题型9 在实际问题中分析判断函数图象】 【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·河南驻马店·三模）现有质量相同、初温均为的两种物质，通过红外加热器加热相同时间（即相同），已知，则的温度随加热时间变化的图象最符合的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·吉林长春·三模）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型10 从函数图象中获取信息】 【例10】（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【变式10-1】（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【变式10-2】（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【变式10-3】（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【题型11 实际问题中函数关系的建立】 【例11】（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·四川南充·二模）在围棋盒中有颗黑色棋子和颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是白色棋子的概率是．试写出与的函数关系式 ． 【变式11-3】（2025·上海·模拟预测）如图，湖心岛上有一座凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的M处测得凉亭在北偏西上，大树在北偏东上．设凉亭与大树相距y米，点M到凉亭与大树的距离之和为x米，则y关于x的函数解析式为 ． 【题型12 分析几何图形中的动点问题判断函数图像】 【例12】（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图是一个正六边形轨道示意图，机器人P（看成点）从顶点B出发，沿着轨道按逆时针方向匀速移动，其路线为．若移动时间为x，由A，B，P三个点围成的三角形（阴影部分）的面积为y，则y与x关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型13 由函数图象解决几何问题】 【例13】（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【变式13-2】（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【变式13-3】（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $