精品解析：安徽省淮南市潘集区2025-2026学年 上学期九年级第三次联考数学试卷

潘集区2025~2026学年度九年级第三次联考 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接利用抛物线的顶点式特点确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 4. 如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A. 64° B. 52° C. 62° D. 56° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 5. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 6. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用， ，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用， ，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 共六种可能， 只有是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点 的横坐标为， ∴点 的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 8. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，因为，所以，因为，所以，则方程与所有实数根的乘积等于，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴方程与所有实数根的乘积等于， 故选：A． 9. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵BC＝8，AD是中线， ∴CD＝BD＝4， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32， ∴AC＝4； 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 10. 定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值， 【详解】解：由题意可知： ，， ， ∴， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 12. 已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴和开口方向，结合开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的二次项系数为正， 故开口向上，对称轴直线为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线经过和两点，且， ∴， ∴， ∴或， 解得 或 ． 故答案为：或． 13. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的底面半径是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 则， 解得． 故答案为：9． 14. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接 ，．则 的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，设点B坐标为，且，根据A、B关于原点对称，得，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设点B坐标为：，且， ∵A、B关于原点对称， ∴点A坐标为：， ∵过点A作轴于点C， ∴点C坐标为：，， ∴， 故答案为：6． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法即可解一元二次方程； （2）根据公式法即可解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： ∵，， ∴ 解得：，． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边 的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将 放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1） 如图所示，点D即为边 的中点， 点D的坐标为． （2） 如图所示，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售 品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为______个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）500 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解题的关键； （1）根据题意列式计算即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为x元，则此时销量为个，根据总利润=单个利润数量列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，月销量为个， 故答案为：500； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价为x元/个， 依题意得：， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 18. 如图，在 中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点A作交的延长线于点D，若．求证： 为 的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定．过点作于点，先证明，进而证明得出，即可证明 为 的切线． 【详解】证明：过点作于点 ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， 又． 为 的切线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【答案】（1）200，144 （2） 补全条形图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出 类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：200，144； 【小问2详解】 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 【小问3详解】 由题意，列表如下： A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. 20. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 六、（本题满分12分） 21. 如图，点O是等边 内的一点．，将绕点C按顺时针旋转得到，连接． （1）当时， ；当时， ； （2）若，，．求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握旋转的性质； （1）根据旋转的性质可证是等边三角形，可得，再根据角的和差关系即可得解； （2）先求出，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点C按顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 当时，， ， 当时，则， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由(1)可知，， 当时，， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交y轴于点B，交x轴于点D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握根据点的坐标求反比例函数和一次函数的解析式的方法是解本题的关键， （1）将点的坐标代入表达式用待定系数法求出即可； （2）先求出，用割补法求出面积即可； （3）结合图象写出结论即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为：； 把代入，得： ∴， 把，代入，得： ， 解得： ∴ 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 当 时，，解得：， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 根据图象，时x的取值范围为：或． 八、（本题满分14分） 23. 某农户建设蔬菜大棚，其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为y轴，以地面 为x轴建立平面直角坐标系，现要在大棚内点E处焊接内部加固钢材， ，且，，并为大棚安装供暖设备．设计部门按照要求给出两种安装方案，并将这两种方案中的大棚截面图放入平面直角坐标系中，如图所示． 方案一：如图1，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点H，I在抛物线上，米； 方案二：如图2，在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中米，米． 已知大棚的跨径米，顶端C点到保温墙的距离为4米，到地面 的距离为3.6米． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当点E到保温墙的距离为7.5米时，这两种设计方案中哪种供暖设备所占面积更大？请说明理由． 【答案】（1） （2）这两种设计方案中方案一供暖设备所占面积更大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）分别求出两种方案的供暖设备所占面积，再比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，， 设抛物线对应的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， ． 【小问2详解】 解：这两种设计方案中方案一供暖设备所占面积更大． 理由如下：由题意，得点E的横坐标为7.5， 将代入，得 ， ． 方案一：四边形是矩形， ， ∴点H，I的纵坐标为． 将代入 得， 解得，， ，， ， 矩形的面积为（平方米）， 方案二：由题意得：， ，， ∵点M的横坐标为，点P的纵坐标为1.1， 将它们分别代入． ∴， ， 解得或（舍） 解得点M的纵坐标为1.575，点P的横坐标为9， ，，， ，， 方案二中矩形的总面积为（平方米）． ， 这两种设计方案中方案一供暖设备所占面积更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潘集区2025~2026学年度九年级第三次联考 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A. 64° B. 52° C. 62° D. 56° 5. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A. B. 4 C. D. 5 6. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 9. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 10. 定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 12. 已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 13. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的底面半径是________． 14. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接 ，．则 的面积是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边 的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将 放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售 品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为______个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 18. 如图，在 中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点A作交的延长线于点D，若．求证： 为 的切线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 20. 如图，，，，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 如图，点O是等边 内的一点．，将绕点C按顺时针旋转得到，连接． （1）当时， ；当时， ； （2）若，，．求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交y轴于点B，交x轴于点D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出时x的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 某农户建设蔬菜大棚，其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为y轴，以地面 为x轴建立平面直角坐标系，现要在大棚内点E处焊接内部加固钢材， ，且，，并为大棚安装供暖设备．设计部门按照要求给出两种安装方案，并将这两种方案中的大棚截面图放入平面直角坐标系中，如图所示． 方案一：如图1，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点H，I在抛物线上，米； 方案二：如图2，在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中米，米． 已知大棚的跨径米，顶端C点到保温墙的距离为4米，到地面 的距离为3.6米． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当点E到保温墙的距离为7.5米时，这两种设计方案中哪种供暖设备所占面积更大？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $