重难点专题04 线段垂直平分线和角平分线（8大考点）数学新教材北师大版八年级下册

重难点专题04 线段垂直平分线和角平分线 重难点一、线段垂直平分线的性质 核心性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。应用时，只要已知或证明点在线段的垂直平分线上，即可直接得到“PA=PB”的结论。此性质主要用于：1. 证明线段相等，无需全等三角形。2. 为计算线段长度提供等量关系。它是将“位置关系”转化为“数量关系”的经典桥梁。 1．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 2．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 3．已知，如图，在中，的垂直平分线交于点是直线上的一动点．连接，若，则的周长的最小值为 ． 4．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 5．已知，如图1，直线l是线段的垂直平分线，垂足为点D，是以点B为端点的射线． (1)以为一边，过点A作， 另一边与直线l交于点C，连接． ①如图2， 若， 则的长为______； ②如图3，当射线时，过点C作于点E，过点A作于点F．求证：； (2)如图4，在射线上取一点P，连接，作的平分线交直线l于点N， 作于点G， 连接． 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 重难点二、线段垂直平分线性质定理的逆定理 逆定理用于判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。主要应用于：1. 证明点共线（如证明某点在垂直平分线上，从而三点共线构成垂直平分线）。2. 作为证明“某直线是垂直平分线”的关键一步（需证明直线上有两个点都满足到两端点距离相等）。 6．已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 7．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为 ． 8．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接交于点G．下列结论： ①； ②； ③垂直平分； ④四边形的面积为线段与乘积的一半； 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 重难点三、用尺规作图做垂线及其应用 本质是作线段的垂直平分线。1. 过中点作垂线：分别以线段两端点为圆心，大于一半长为半径画弧，连接两交点即得。2. 过线外一点作垂线：以该点为圆心，适当长为半径画弧交直线于两点，再作这两点所连线段的垂直平分线。作图原理均为“到两点距离相等的点在线段垂直平分线上”，保证所作直线垂直且平分该线段。 10．在学习了垂线的相关知识后，某数学小组进行了探究活动．请你完成以下作图和填空： 第一步：如图，在的边上有一点D，过点D作的垂线，垂足为点E．请你用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：请利用三角形的全等证明． 证明：∵， ∴，______①_______ ∴， ∴_______②______ 在和中 ∴ ∴ 11．已知在中，． (1)如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； (2)用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； (3)在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 12．如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 13．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 重难点四、角平分线的性质定理 核心性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。应用此定理的关键是“作垂线，得等距”。只要已知一条射线是角平分线，且从其上一点向两边作垂线段，则这两条垂线段长度必然相等。该性质最常用于：1. 证明线段相等。2. 为几何计算提供等量关系。这是角平分线问题最基础、最重要的工具。 14．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 16．学习完角平分线，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： 已知在中，点，分别在，的延长线上，平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，则______． (3)在中，作的平分线交于点，若，且，，求点到射线的距离． 17．如图1，等边中，分别为边上的点，，连接，交于点． (1)求：的度数． (2)如图2，作平分交于点，交于点，连接，． ①求证：平分． ②试判断线段三者之间的数量关系，并说明理由． 重难点五、角平分线的尺规作图 将几何性质转化为实际测量模型。关键建模：实际问题中（如确定到两岸距离相等的点、平分角度的仪器原理），将“距离”抽象为“点到线的垂线段长度”，将“平分”抽象为“角平分线”。解题步骤：1. 根据题意画出几何图形，标出角平分线。2. 应用“角平分线上的点到两边距离相等”建立等量关系。3. 代入具体数据计算或进行逻辑说明。 18．如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若的面积为为上一动点，则的最小值为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 21．如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 重难点六、角平分线性质定理的实际应用 将几何性质转化为实际测量模型。关键建模：实际问题中（如确定到两岸距离相等的点、平分角度的仪器原理），将“距离”抽象为“点到线的垂线段长度”，将“平分”抽象为“角平分线”。解题步骤：1. 根据题意画出几何图形，标出角平分线。2. 应用“角平分线上的点到两边距离相等”建立等量关系。3. 代入具体数据计算或进行逻辑说明。 22．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 23．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（ ） A．这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B．这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C．这个三角形任意两条高线的交点处 D．这个三角形任意两条中线的交点处 24．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处    25．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 26．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 27．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 28．如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等． (1)用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点） (2)后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米． ①求的长； ②求四边形的面积．（忽略道路的宽度） 重难点七、角平分线性质定理的逆定理 逆定理用于判定：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。主要应用于：1. 证明一条射线是角平分线（只需证明该射线上有一点到角两边距离相等）。2. 用于确定点的位置（如找到角两边等距的点的轨迹就是角平分线）。此定理是性质定理的逻辑反推，常与性质定理结合使用于证明题。 29．如图，为锐角三角形，分别以和为边作等边三角形和等边三角形，连接和并延长交于点，有以下结论：①；②；③平分．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（1）如图，，，分别是，的对应边上的高． ①求证：； ②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ； （2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，，且对应边相交于点F，连接．求证：平分． 31．如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 32．【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 重难点八、利用角平分线、线段垂直平分线性质解决最值问题 核心思路：利用对称性（翻折）将折线路径化为直线，运用“两点之间线段最短”。1. 角平分线对称模型：定点在角一边上，在另一边找点使“点到定点距离+到另一边某点距离”最小，方法是作定点关于角平分线的对称点。2. 垂直平分线模型：两点在直线同侧，在直线上找点使“到两点距离和”最小，方法是作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点交直线于所求点。 33．如图，在中，，E是边上一动点，连接，根据作图痕迹，若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 35．如图，的平分线上有一点，过点作交于点，点在射线上，若，则的最小值为 ． 36．如图，在中，，，点是上一点，且，是的角平分线，点是上的动点，连接，．则的最小值是 ． 37．如图，在中，，平分，，点分别为边上的动点，连接，则 ，的最小值为 ． 38．【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 39．综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 试卷第2页，共47页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 线段垂直平分线和角平分线 重难点一、线段垂直平分线的性质 核心性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。应用时，只要已知或证明点在线段的垂直平分线上，即可直接得到“PA=PB”的结论。此性质主要用于：1. 证明线段相等，无需全等三角形。2. 为计算线段长度提供等量关系。它是将“位置关系”转化为“数量关系”的经典桥梁。 1．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线的性质求得的值． 由垂直平分线的性质得，，由即可得解． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ，， ， ， ． 故答案为：． 3．已知，如图，在中，的垂直平分线交于点是直线上的一动点．连接，若，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置. 根据线段垂直平分线的性质即可得出点关于直线的对称点为点，当和重合时，的值最小，最小值等于的长，即可求解. 【详解】解：∵是的垂直平分线，是直线上的一动点， ∴，关于直线对称， 设直线交于，如图： ∵， ∴， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是：. 4．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 5．已知，如图1，直线l是线段的垂直平分线，垂足为点D，是以点B为端点的射线． (1)以为一边，过点A作， 另一边与直线l交于点C，连接． ①如图2， 若， 则的长为______； ②如图3，当射线时，过点C作于点E，过点A作于点F．求证：； (2)如图4，在射线上取一点P，连接，作的平分线交直线l于点N， 作于点G， 连接． 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)①2；②见解析 (2)是，定值为2，见解析 【分析】（1）①证明是含30度的直角三角形，可得出结论；②证明是等边三角形，得，，证明，得，，得，得，得，即可； （2）由角平分线性质得，证明，得，证明，得，可得，得，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； ②∵点C是线段垂直平分线上的点， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴． ∴， ∴， （2）过点N作于点Q， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，是解本题的关键． 重难点二、线段垂直平分线性质定理的逆定理 逆定理用于判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。主要应用于：1. 证明点共线（如证明某点在垂直平分线上，从而三点共线构成垂直平分线）。2. 作为证明“某直线是垂直平分线”的关键一步（需证明直线上有两个点都满足到两端点距离相等）。 6．已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，三角形内角和性质，等边对等角．由，得是的垂直平分线，从而，为等腰三角形，再结合，利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理． 由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理建立方程，即可计算的长． 【详解】解：由题意知垂直平分， ， ， ， ． 故答案为：13． 8．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接交于点G．下列结论： ①； ②； ③垂直平分； ④四边形的面积为线段与乘积的一半； 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定定理，三线合一定理，可证明，得到，据此可判断①；根据四边形内角和是360度可判断②；由三线合一定理可证明，再由可判断④；根据现有条件无法证明垂直平分，则可判断③． 【详解】解：∵， ， ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴， ∴，故①正确； 在四边形中，∵， ，故②正确； ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴四边形的面积为线段与乘积的一半，故④正确； 根据现有条件无法证明，故无法证明垂直平分，故③错误； 综上，①②④正确． 故选C． 9．如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：，， 在与中， ， ， （2）证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 重难点三、用尺规作图做垂线及其应用 本质是作线段的垂直平分线。1. 过中点作垂线：分别以线段两端点为圆心，大于一半长为半径画弧，连接两交点即得。2. 过线外一点作垂线：以该点为圆心，适当长为半径画弧交直线于两点，再作这两点所连线段的垂直平分线。作图原理均为“到两点距离相等的点在线段垂直平分线上”，保证所作直线垂直且平分该线段。 10．在学习了垂线的相关知识后，某数学小组进行了探究活动．请你完成以下作图和填空： 第一步：如图，在的边上有一点D，过点D作的垂线，垂足为点E．请你用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：请利用三角形的全等证明． 证明：∵， ∴，______①_______ ∴， ∴_______②______ 在和中 ∴ ∴ 【答案】作图见详解，①，②，③ 【分析】本题考查了尺规作垂线，全等三角形的判定与性质．理解题意，用尺规在射线上截取，过点M作直线，垂足为点F，交于点N，即可作答；再根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质进行分析再补充完整，即可作答． 【详解】解：如图所示为所求： 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ∴． 故答案为：①，②，③． 11．已知在中，． (1)如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； (2)用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； (3)在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作角平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线的方法作图即可； （2）根据尺规作线段和角平分线的方法作图即可； （3）证明，得到，进而推出的周长为即可． 【详解】（1）解：①分析：点在线段上，则， 而要使，即需要， 因此需要点在线段的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②由题意作图如下： （2）解：由题意，作图如下： （3）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴的周长为． 12．如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线的作法、勾股定理、三角形的周长，掌握垂直平分线的作图技巧及勾股定理的应用是解题关键． (1)根据垂直平分线的定义，利用尺规作图技巧作图即可； (2)由，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用垂直平分线的性质得出，最后，运用三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，分别交于，交于，连接． ∴边上的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵，，， ∴． ∵垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 13．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 重难点四、角平分线的性质定理 核心性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。应用此定理的关键是“作垂线，得等距”。只要已知一条射线是角平分线，且从其上一点向两边作垂线段，则这两条垂线段长度必然相等。该性质最常用于：1. 证明线段相等。2. 为几何计算提供等量关系。这是角平分线问题最基础、最重要的工具。 14．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，射线平分，即可判断选项A；根据角平分线的性质可得，即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质推出，即可判断选项C；根据含30度角的直角三角形的性质推出，再根据，即可判断选项D． 【详解】解：由作图可知，射线平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵即，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 15．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，平分，， ， 则点D到的距离为5， 故答案为：5． 16．学习完角平分线，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： 已知在中，点，分别在，的延长线上，平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，则______． (3)在中，作的平分线交于点，若，且，，求点到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点到射线的距离为． 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据角平分线的定义求得，在中，利用三角形内角和定理求得，据此，进行计算即可解答； （3）根据等积法求得点到的距离，利用面积法求得，再利用角平分线的定义结合面积法，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分； （2）解：平分，平分，平分， ，，， 在中，，则， 在中，，， 在中，， ，， ； 故答案为：； （3）解：，， 到的距离， 平分，平分，平分， 点到，，的距离相等，即距离都是， ， ， ， ， ∵是的平分线，平分， 点到，，的距离相等，设为， ∴， 即， ∴， 即点到射线的距离为． 17．如图1，等边中，分别为边上的点，，连接，交于点． (1)求：的度数． (2)如图2，作平分交于点，交于点，连接，． ①求证：平分． ②试判断线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，最后根据三角形的外角的性质以及等量代换即可解答； （2）①先说明平分，如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N，根据角平分线的性质定理可得，即；最后根据角平分线的判定定理即可证明结论；②再说明，再根据等角对等边可得，再说明，易证可得，最后根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①证明：∵平分， ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴平分． 如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N， ∴． ∴． ∴平分． ②结论：．理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ． ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴线段三者之间的数量关系为：． 重难点五、角平分线的尺规作图 将几何性质转化为实际测量模型。关键建模：实际问题中（如确定到两岸距离相等的点、平分角度的仪器原理），将“距离”抽象为“点到线的垂线段长度”，将“平分”抽象为“角平分线”。解题步骤：1. 根据题意画出几何图形，标出角平分线。2. 应用“角平分线上的点到两边距离相等”建立等量关系。3. 代入具体数据计算或进行逻辑说明。 18．如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，垂直平分线的定义，三角形内角和定理；由尺规作图的痕迹可知：平分，垂直平分，可得到，，然后由即可求解． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知：平分，垂直平分, ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 19．如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键． 先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以． 【详解】解：在长方形中， ∵，， ∴， 由作法得：平分， ∴． 故选：C． 20．如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若的面积为为上一动点，则的最小值为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图，垂线段最短和角平分线的性质．过G点作于H，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用面积公式计算出，则，然后根据垂线段最短得到的最小值． 【详解】解：过G点作于H，如图，    由作法得平分， ， ， 的面积， ， ， 为上一动点， 点P与H点重合时，有最小值， 的最小值为1． 故选：D． 21．如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； （2）解：能说明的依据是①； 如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①； （3）解：如图所示，过点作于点． ，，， ． ， 即， ， 解得． 重难点六、角平分线性质定理的实际应用 将几何性质转化为实际测量模型。关键建模：实际问题中（如确定到两岸距离相等的点、平分角度的仪器原理），将“距离”抽象为“点到线的垂线段长度”，将“平分”抽象为“角平分线”。解题步骤：1. 根据题意画出几何图形，标出角平分线。2. 应用“角平分线上的点到两边距离相等”建立等量关系。3. 代入具体数据计算或进行逻辑说明。 22．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 23．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（ ） A．这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B．这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C．这个三角形任意两条高线的交点处 D．这个三角形任意两条中线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，正确理解和应用“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 由三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等，可知度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处，于是得到问题的答案． 【详解】解：度假村到三条公路的距离相等，且三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等， 度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处， 故选：A． 24．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 25．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】解：如图所示：点即为中转站． 作线段的垂直平分线， 两条公路的夹角的平分线， 两条线相交于点． 26．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 27．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 28．如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等． (1)用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点） (2)后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米． ①求的长； ②求四边形的面积．（忽略道路的宽度） 【答案】(1)见解析 (2)①60米；②8000平方米． 【分析】（1）用尺规作的平分线，与的交点就是所求点Ｐ． （2）①证明，后解答即可； ②根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的证明，梯形的面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，用尺规作的平分线，与的交点就是所求点Ｐ． 故点Ｐ即为所求． （2）①解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴（米）； ②解：过点P作，垂足分别为点G，点E， 根据题意，得米， ∴四边形的面积为：（平方米）． 重难点七、角平分线性质定理的逆定理 逆定理用于判定：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。主要应用于：1. 证明一条射线是角平分线（只需证明该射线上有一点到角两边距离相等）。2. 用于确定点的位置（如找到角两边等距的点的轨迹就是角平分线）。此定理是性质定理的逻辑反推，常与性质定理结合使用于证明题。 29．如图，为锐角三角形，分别以和为边作等边三角形和等边三角形，连接和并延长交于点，有以下结论：①；②；③平分．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，四边形的内角和，先证明，得到，，结论①正确；得到，结合四边形内角和求出，结论②正确；过作于，于，证明，，根据角平分线的判定得到平分，结论③正确，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形和等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 故结论②正确； 过作于，于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， 故结论③正确， ∴正确结论的个数是， 故选：D． 30．（1）如图，，，分别是，的对应边上的高． ①求证：； ②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ； （2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，，且对应边相交于点F，连接．求证：平分． 【答案】（1）①见解析；②相等；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由全等三角形的性质可得，再利用证明，即可证明结论；②根据①即可得到答案； （2）过点C作于点G，于点H，由（1）可得，再由角平分线的判定定理可证明结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ∵，分别是，的对应边上的高， ∴， ∴， ∴； ②由①可得全等三角形对应边上的高相等； （2）如图所示，过点C作于点G，于点H， ∵，，， ∴， ∴平分． 31．如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，进一步可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点P在上，，， ∴． 32．【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【答案】（1）；（2）固定不变；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四边形面积的最值问题，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明得到； （2）设与交于点，过作于，于，先证明得到，，再由，，得到，接着证明，得到，则平分，，即固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，，根据，得到当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，，即当时，四边形面积最大，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴， 故答案为：； （2）如图2，设与交于点，过作于，于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 即， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴ ∴的大小不随着的度数变化而变化，固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，， ∴，， ∴， ∴当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，， 即当时，四边形面积最大， ∵四边形面积的最大值为18， ∴，解得（负值舍去）， ∵， ∴． 重难点八、利用角平分线、线段垂直平分线性质解决最值问题 核心思路：利用对称性（翻折）将折线路径化为直线，运用“两点之间线段最短”。1. 角平分线对称模型：定点在角一边上，在另一边找点使“点到定点距离+到另一边某点距离”最小，方法是作定点关于角平分线的对称点。2. 垂直平分线模型：两点在直线同侧，在直线上找点使“到两点距离和”最小，方法是作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点交直线于所求点。 33．如图，在中，，E是边上一动点，连接，根据作图痕迹，若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质及角平分线的性质，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时的长度等于点D到的距离，由作图痕迹可知为的角平分线，根据角平分线性质可知． 【详解】解：在中，，E是边上一动点， 根据垂线段最短的性质，当时，的值最小， 由作图痕迹可知，是的角平分线， ∵，， ∴， 故选：C． 34．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解． 【详解】解：∵于点M，，， ∴， 当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为3． 故选：B． 35．如图，的平分线上有一点，过点作交于点，点在射线上，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得当时，的长最小， 平分，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：3． 36．如图，在中，，，点是上一点，且，是的角平分线，点是上的动点，连接，．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在边上截取，连接，过点作于点，先证，得到，从而得到当点、、三点共线时，最小，最小值为，然后根据含角直角三角形的性质，勾股定理，分别在和中，解直角三角形求得的长即可． 【详解】解：如图所示，在边上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线，， ， 又， ， ， 当点、、三点共线时，最小，最小值为， 在中，， ， ， ，， 在中，， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段和差的最值问题，涉及对称的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是根据对称性构造辅助线将线段和最值问题转化为两点之间线段最短问题． 37．如图，在中，，平分，，点分别为边上的动点，连接，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短及直角三角形的性质，先利用角平分线的性质进行转化，求得；再分析何时取得最小值，最终求得最小值为BE的长度即可. 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，，此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：. 38．【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】模型解决：，，，模型应用：9；模型拓展1：100；2：， 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称的性质是解题的关键． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：1：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 2：因为，所以当最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， 模型应用：如图，设直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，的周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于、的对称点，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：100； 2：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交的延长线于点，连接，如下图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ，是上的中线， 且平分， ， ，即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴和是两个全等的等边三角形， 同理可得， ， ， 又， 当最小时（此时点E与点N重合），的周长取得最小值， ∵的最小值为， ， 此时． 39．综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 【答案】[解决问题]，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边；[知识应用]见解析；[知识拓展] 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂直平分线的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； [解决问题]根据轴对称的性质，三角形三边关系即可求解； [知识应用] 分别作关于的对称点，连接交分别于点，连接，即可求解； [知识拓展]根据作图可得垂直平分，垂直平分，设，，进而表示出，即可求解． 【详解】[解决问题]解：如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． 故答案为：，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． [知识应用]解：如图，分别作关于的对称点，连接交分别于点，连接，则即为所求， ； [知识拓展]∵作图可知关于的对称点分别是， 即垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 试卷第2页，共47页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $