精品解析：广东省广州市南沙区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期七年级期末考试 数学（A卷） 本试卷共6页，25小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025年10月9日上午，第十五届全国运动会和全国第十二届残疾人运动会暨第九届特殊奥林匹克运动会火种首次从南海1522米深处可燃冰中采集而来，实现了体育盛事与深海科技的完美融合．把1522用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个数的相反数等于它本身，这个数是（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 单项式与是同类项，则常数的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 某地一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的方程的解，则的值是（ ） A. 4 B. C. 10 D. 7. 一个角的余角是，则它的补角度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题，今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．题目大意是：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少天两蔓相遇．（注：1尺寸）若设经过天两蔓相遇，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 10. 若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. ______． 12. 如图是正方体的展开图，每个面均有一个汉字，把展开图折叠成正方体后，“学”的相对面是“习”，则“勤”与“力”的位置关系是______．（填“相邻”或“相对”） 13. 一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数为4．写出符合上述要求的一个单项式______． 14. 如图，圆形方孔铜钱是我国古代的一种货币，铜钱外部圆的半径为，内部正方形的边长为，用含的代数式表示铜钱的面积为______． 15. 已知关于的方程有正整数解，则整数的值为______． 16. 已知是不为1有理数，我们把称为的差倒数，如：3的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，______，若，则______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，已知，，，是内部的射线，平分，平分，，求和的度数． 21. 学校食堂要购进20筐土豆，以每筐为标准质量，超过或者不足的部分分别用正、负数表示，记录如下： 质量 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 （1）这20筐土豆中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？ （2）与标准质量相比，这20筐土豆总计超过或不足多少千克？ （3）若每千克土豆的单价为元，则买这20筐土豆共需多少元？ 22. 如图，点为线段上一点，且，． （1）尺规作图：延长至点，使得点是中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，完成以下问题： ①求的长； ②若点在直线上，且，求的长． 23. 2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，某学校计划订购一批益智玩具“数字华容道”和“鲁班锁”，经调查发现，同一款式的“数字华容道”和“鲁班锁”在甲、乙两家商店标价均相同（如表1），两家商店近期分别开展了不同的促销活动（如表2），具体信息如下： 表1 益智玩具 数字华容道 鲁班锁 标价 10元/个 5元/个 表2 甲商店 数字华容道和鲁班锁都打9折 乙商店 买2个数字华容道送1个鲁班锁 若该学校计划订购30个“数字华容道”，若干个“鲁班锁”（多于15个），请完成以下问题： （1）若订购20个“鲁班锁”，求单独在甲商店订购“数字华容道”和“鲁班锁”的总费用是多少元？ （2）若订购个“鲁班锁”． ①分别求出单独在甲、乙商店订购这批“数字华容道”和“鲁班锁”的总费用（用含的代数式表示）； ②若单独在甲、乙两家商店订购这批“数字华容道”和“鲁班锁”的总费用相同，求的值． 24. 如图，已知数轴上有，，三个点，它们表示的数分别是，，，且，． （1）填空：______，______； （2）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．设点运动的时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由； （3）现有动点，都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，当，两点间的距离是2时，求的值． 25. 如图①，点是直线上的一点，，平分． （1）若，则______°，______°． （2）将图①中的绕点旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； （3）将图①中的绕点旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期七年级期末考试 数学（A卷） 本试卷共6页，25小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025年10月9日上午，第十五届全国运动会和全国第十二届残疾人运动会暨第九届特殊奥林匹克运动会火种首次从南海1522米深处的可燃冰中采集而来，实现了体育盛事与深海科技的完美融合．把1522用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：1522用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 若一个数的相反数等于它本身，这个数是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键； 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数，的相反数是，即可求解． 【详解】解：一个数的相反数等于它本身，则这个数是； 故选：A． 3. 单项式与是同类项，则常数的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项定义，熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．根据同类项要求相同字母的指数相同，进行求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 故选：C． 4. 某地一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，根据温度变化直接列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴半夜的气温是， 故选：D． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减运算，字母和字母的指数保持不变，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 已知是关于的方程的解，则的值是（ ） A. 4 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， 解得， 故选：A． 7. 一个角的余角是，则它的补角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了补角和余角的有关计算，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角的度数即可． 【详解】解：设这个角为α， ∵α的余角是， ∴， ∴α的补角． 故选：C． 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题，今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．题目大意是：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少天两蔓相遇．（注：1尺寸）若设经过天两蔓相遇，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，两蔓相遇时，瓜蔓和葫芦蔓生长的长度之和等于墙的高度，据此可列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 9. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算余角的性质，熟练掌握三角板中角的特点，是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，即可得到答案． 【详解】解：①图形中，根据同角余角相等可得，故①符合题意； ②图形中，，和不一定相等，故②不符合题意； ③图形中，，故③符合题意； ④图形中，，，，故④不符合题意； 综上，正确的有①③． 故选：B． 10. 若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴，即a和c异号， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. ______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 如图是正方体的展开图，每个面均有一个汉字，把展开图折叠成正方体后，“学”的相对面是“习”，则“勤”与“力”的位置关系是______．（填“相邻”或“相对”） 【答案】相邻 【解析】 【分析】本题考查了正方体展开图中的相对面问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键．根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 【详解】解：根据题意，“勤”与“力”的位置关系是相邻． 故答案为：相邻． 13. 一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数为4．写出符合上述要求的一个单项式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据单项式次数定义，单项式的次数是其所有字母的指数之和，因此需要两个字母且指数和为4，据此可得答案 【详解】解：由题意得，符合要求的单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，圆形方孔铜钱是我国古代一种货币，铜钱外部圆的半径为，内部正方形的边长为，用含的代数式表示铜钱的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，用圆的面积减去正方形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，铜钱的面积为， 故答案为：． 15. 已知关于的方程有正整数解，则整数的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程．解方程得到，根据为正整数，确定整数的值． 【详解】解：解方程， 合并同类项，得， 显然， 解得， ∵为整数，关于的方程的解为正整数， ∴， 解得， 故答案为：0． 16. 已知是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：3的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，______，若，则______． 【答案】 ①. ②. 101 【解析】 【分析】本题考查了数字类的规律探索，一元一次方程的应用，根据定义求出，则可得到规律这列数从开始，每3个数为一个循环，依次为，且这3个数字的和为，再根据 n 除以3的余数分类讨论，列方程求解． 【详解】解：由题意得，； ∴， ， ， ……， 以此类推可知，这列数从开始，每3个数为一个循环，依次为，且这3个数字的和为， 当（k为正整数）时，则，解得，不符合题意； 当（k为正整数）时，则，解得，符合题意，则； 当（k为正整数）时，则，解得，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数加减混合运算法则计算； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握移项、去分母等解方程的基本步骤． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）先去分母，再移项、合并同类项、系数化为1求解． 【小问1详解】 解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【小问2详解】 解： 去分母（两边乘12），得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，已知，，，是内部的射线，平分，平分，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 由角平分线得到，则，再由角平分线得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 21. 学校食堂要购进20筐土豆，以每筐为标准质量，超过或者不足的部分分别用正、负数表示，记录如下： 质量 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 （1）这20筐土豆中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？ （2）与标准质量相比，这20筐土豆总计超过或不足多少千克？ （3）若每千克土豆的单价为元，则买这20筐土豆共需多少元？ 【答案】（1）最重的一筐比最轻的一筐要重5.5千克 （2）与标准质量相比，这20筐土豆总计超过8.5千克 （3）买这20筐土豆共需元 【解析】 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可直接进行求解； （2）根据题意及表格可直接列式进行求解； （3）先得到20筐土豆的总质量，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 答：最重的一筐比最轻的一筐要重5.5千克． 【小问2详解】 解：由题意得： （千克）； 答：与标准质量相比，这20筐土豆总计超过8.5千克． 【小问3详解】 解：由题意得： （千克）， （元）； 答：买这20筐土豆共需元． 22. 如图，点为线段上一点，且，． （1）尺规作图：延长至点，使得点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，完成以下问题： ①求的长； ②若点在直线上，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，尺规作线段，线段中点定义，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． （1）以点B为圆心，为半径画弧，交的延长线于点D； （2）①先根据中点定义得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可； ②分两种情况：当点E在点A右侧时，当点E在点A左侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问2详解】 解：①∵点是的中点，， ∴， ∴； ②当点E点A右侧时，如图所示： ∵，， ∴； 当点E在点A左侧时，如图所示： ∵，， ∴； 综上，或． 23. 2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，某学校计划订购一批益智玩具“数字华容道”和“鲁班锁”，经调查发现，同一款式的“数字华容道”和“鲁班锁”在甲、乙两家商店标价均相同（如表1），两家商店近期分别开展了不同的促销活动（如表2），具体信息如下： 表1 益智玩具 数字华容道 鲁班锁 标价 10元/个 5元/个 表2 甲商店 数字华容道和鲁班锁都打9折 乙商店 买2个数字华容道送1个鲁班锁 若该学校计划订购30个“数字华容道”，若干个“鲁班锁”（多于15个），请完成以下问题： （1）若订购20个“鲁班锁”，求单独在甲商店订购“数字华容道”和“鲁班锁”的总费用是多少元？ （2）若订购个“鲁班锁”． ①分别求出单独在甲、乙商店订购这批“数字华容道”和“鲁班锁”的总费用（用含的代数式表示）； ②若单独在甲、乙两家商店订购这批“数字华容道”和“鲁班锁”的总费用相同，求的值． 【答案】（1）360元 （2）甲商店：元；乙商店：元；的值为 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程． （1）根据数字华容道和鲁班锁都打9折求解即可； （2）①根据促销规则列出代数式；②根据总费用相同列方程求解． 【小问1详解】 解：甲商店总费用为（元）； 【小问2详解】 解：①甲商店总费用为元； 乙商店：买30个数字华容道送15个鲁班锁，需付费鲁班锁个，总费用为元， ②设总费用相同，则 解得， ∴的值为． 24. 如图，已知数轴上有，，三个点，它们表示的数分别是，，，且，． （1）填空：______，______； （2）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．设点运动的时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由； （3）现有动点，都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，当，两点间的距离是2时，求的值． 【答案】（1）4；12 （2）不变，理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （）先根据非负数的性质求出a、c的值，再求出b的值，最后根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论即可； （）先分别求出秒后、、三点所对应的数，就可以表示出，的值，从而求出的值而得出结论； （）先求出经过秒后，、两点所对应的数，分类讨论当时，点还在点处，当时，点在点的右边，当时，点在点的右边，分别列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：不变，理由： ∵经过秒后，、、三点所对应的数分别是：，，， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而改变； 【小问3详解】 解：经过m秒后，、两点所对应的数分别是，， 由， 解得：； 当时，点还在点处， ∴， 解得：； 当时，点在点的右边， ∴， 解得：； 当时，点在点的右边， ∴， 解得：； 综上，当，两点间的距离是2时，或或． 25. 如图①，点是直线上的一点，，平分． （1）若，则______°，______°． （2）将图①中的绕点旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； （3）将图①中的绕点旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 【答案】（1）40；20 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查角的计算与角平分线的定义，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）设，则，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案； （3）分两种情况：当平分时，当的反向延长线平分时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴；， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当平分时，如图所示： 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当的反向延长线平分时，如图所示： 则，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $