精品解析：湖南省郴州市第三中学2025-2026学年上学期八年级期末考试数学试题

2025年下期期末教学质量监测试卷 八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. 太阳能热水器 B. 伸缩门 C. 自行车三脚架 D. 三角形支架 2. 近期，东江湖国家湿地公园陆续迎来大批越冬候鸟，其中中华秋沙鸭已连续9年来此栖息．科研人员测量发现，其羽毛上某种微生物的平均长度约为米，“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 9的平方根3 B. 无限小数是无理数 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若，则 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，两直角边分别是，，则第三边等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是斜边上的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（ ） A. B. C. D. 9. 约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）     A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上，且，以下结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 12. 分式，的最简公分母是______． 13. 如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为______米． 14. 如图，若，要使需添加一个条件：______．（写一个即可） 15. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是__ ． 16. 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为______． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，在边上取一点，使得，在上取一点，使得，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）已圆满结束，但广大市民对足球的热情依然很高，体育中心附近商店销售的赛事文创产品也一直很受欢迎．某商店也准备销售文创产品，用1200元购进吉祥物“湘湘”，用1800元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少20个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为20元/件，如果要使得总利润不低于1000元，那么“超超”的售价最低应定为每件多少元？ 23. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 24. 如图，是等边三角形，点是射线上的一动点（不与点，点重合），点在的外角角平分线上运动，连接与，线段与线段交于点． 【初步应用】 （1）如图1，当点运动到线段的中点，且时，_____； （2）如图2，当点在线段上运动时，若为等边三角形，求证：； 【拓展延伸】 （3）当点在直线上运动时，且时，求，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期末教学质量监测试卷 八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. 太阳能热水器 B. 伸缩门 C. 自行车三脚架 D. 三角形支架 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 2. 近期，东江湖国家湿地公园陆续迎来大批越冬候鸟，其中中华秋沙鸭已连续9年来此栖息．科研人员测量发现，其羽毛上某种微生物的平均长度约为米，“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：∵移动小数点5位后得到，且满足， ∴． 故选：A． 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 9的平方根3 B. 无限小数是无理数 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义、无理数的概念、平行线的判定定理以及不等式的性质，解题的关键是准确掌握各知识点的定义与适用条件． 判断命题真假需紧扣定义与定理；对选项A，依据平方根的定义分析；对选项B，根据无理数的概念判断；对选项C，按照平行线的判定定理验证；对选项D，通过举反例验证不等式变形的正误． 【详解】解：A、的平方根是，并非只有，此选项不符合题意； B、无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，此选项不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，这是平行线的判定定理，此选项符合题意； D、若，，满足，但，，此时，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法可判断A，根据二次根式的性质可判断B，根据二次根式的除法可判断C，根据，完全平方公式可判断D． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 故选C． 5. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， ∴ 故选B． 6. 在中，两直角边分别是，，则第三边等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，已知两直角边，利用勾股定理求斜边． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为，， ∴第三边（斜边）为． 故选D． 7. 如图，在中，，，是斜边上的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等边对等角．熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：D． 8. 如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴． 故选：B． 9. 约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得，，结合三角形外角性质得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上，且，以下结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，，，再证明≌，则可对①进行判断；由三角形全等得到，所以，则可对②进行判断；由三角形全等得到，所以，由于只有时，，这时才有，则可对③进行判断；利用三角形外角性质得到，，则，从而可对④进行判断． 【详解】解：，， 为等腰直角三角形， ． 是的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故①符合题意； ∵ ， ， 故②符合题意； ， ， ∵ ∴是等腰直角三角形， ， ∵ ∴只有时，是等腰直角三角形， ∴ ∴， 此时， 但不一定互相垂直，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 分式，的最简公分母是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求最简公分母． 根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积． 【详解】解：分母系数3和4的最小公倍数是12，字母因式的最高次幂是，的最高次幂是， 故最简公分母为． 故答案为：． 13. 如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，米， ∵一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角， ∴（米）， 故答案为：4． 14. 如图，若，要使需添加一个条件：______．（写一个即可） 【答案】(或或) 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是结合已知条件，选择合适的判定定理来补充条件． 已知，且与是对顶角，即，可根据、、等判定定理补充对应条件． 【详解】解： 在和中， （已知）， （对顶角相等）． 若添加，则可根据判定 故答案为：（答案不唯一，也可添加、） 15. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是__ ． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ， 故答案为：18． 16. 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为______． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了海伦公式与秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并进行根式运算． （1）用海伦公式，先计算半周长，再代入公式求面积； （2）用秦九韶公式，代入三边长度逐步化简计算面积． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：． （2）解：，，， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分，以及把除法化为乘法，然后化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ； 当时，原式 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂以及分母有理化，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和相关公式． （1）先计算二次根式的除法，再利用完全平方公式展开，最后合并同类项； （2）先对分式进行分母有理化，计算零指数幂，化简二次根式，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 如图，在中，，在边上取一点，使得，在上取一点，使得，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）根据等边对等角可得，利用即可判定； （2）根据等角对等边可得，再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案； 掌握全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2） 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）已圆满结束，但广大市民对足球的热情依然很高，体育中心附近商店销售的赛事文创产品也一直很受欢迎．某商店也准备销售文创产品，用1200元购进吉祥物“湘湘”，用1800元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少20个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为20元/件，如果要使得总利润不低于1000元，那么“超超”的售价最低应定为每件多少元？ 【答案】（1）15元 （2）40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据数量关系建立方程，根据利润关系建立不等式． （1）设“湘湘”的购进单价为元，可得“超超”的购进单价为元，根据数量差为个列分式方程求解； （2）先算出两种吉祥物的购进数量，再设“超超”的售价为元/件，根据总利润不低于元列不等式求解． 【小问1详解】 解：设“湘湘”的购进单价为元，则“超超”的购进单价为元． ， ， ， ． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该商店“湘湘”的购进单价为元． 【小问2详解】 解：“湘湘”的购进数量为件， “超超”的购进数量为件， 设“超超”的售价为元/件． ， ， ， ． 答：“超超”的售价最低应定为每件元． 23. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】（1）10 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【小问1详解】 如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． 【小问2详解】 解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 24. 如图，是等边三角形，点是射线上的一动点（不与点，点重合），点在的外角角平分线上运动，连接与，线段与线段交于点． 【初步应用】 （1）如图1，当点运动到线段的中点，且时，_____； （2）如图2，当点在线段上运动时，若为等边三角形，求证：； 【拓展延伸】 （3）当点在直线上运动时，且时，求，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质得，由等边三角形的三线合一的性质及求出，即可根据三角形的外角求出； （2）先根据等边三角形性质和角度和差关系可得到，，，再利用即可证明； （3）分两种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧时，利用全等三角形进行证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵当点在线段上运动时，为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴． （3）①当点在点右侧时，在上截取，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵是的外角角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∴，故， ②当点在点左侧时，在线段上截取， ∵是的外角角平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， 在和，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $