专题07探索三角形全等的条件寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题07探索三角形全等的条件寒假预习讲义 · 吃透3 个核心判定定理（SSS/SAS/ASA），秒辨全等条件； · 能快速找题中对应边、对应角，解锁识图小技巧； · 会用判定定理简单证全等，迈出几何推理第一步； · 避开 “边边角” 等常见易错点，练就审题火眼金睛； · 能结合图形梳理推理思路，培养几何逻辑思维。 预习必备 知识点梳理 1.全等三角形判定的基础前提 2.全等三角形5大判定定理 3.判定定理的使用原则 4.全等证明的核心步骤 5.证明中常见的隐含相等条件 6.易混易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.SSS判定三角形全等 2.SSS判定的间接应用 3.SSS判定与性质综合 4.尺规作图:三角形的绘制 5.三角形的稳定性技巧实际应用 6.ASA与AAS判定三角形全等 7.ASA/AAS判定与性质综合 8.SAS判定三角形全等 9.SAS判定与性质综合 10.全等三角形判定方法的灵活选用 11.尺规作图与全等综合 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.全等三角形判定的基础前提】 判定核心：边、角必须严格对应相等，仅边 / 角相等但不对应，无法判定三角形全等。 基本依据：全等三角形的定义（对应边、对应角都相等），判定定理是定义的简化应用，无需验证所有 6 组对应元素。 【知识点02.全等三角形的5大判定定理】 通用判定（适用于所有三角形） ✅SSS（边边边） 内容：三边对应相等的两个三角形全等。 关键：只要三条边的长度对应匹配，形状、大小完全一致，与角的位置无关。 在△ABC和△DEF中， ∵ AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∴ △ABC≌△DEF（SSS） ✅SAS（边角边） 内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 核心易错点：必须是两边的夹角，SSA（两边及其中一边的对角） 不能判定全等（无唯一解，三角形形状不固定）。 ✅ASA（角边角） 内容：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 关键：夹边是两个角的公共边，需精准找准对应夹边。 在△ABC和△DEF中， ∵ ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E， ∴ △ABC≌△DEF（ASA） ✅AAS（角角边） 内容：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 补充：ASA 和 AAS 可互通，已知两角相等，第三个角必然相等，只需一组对应边相等即可。 专属判定（仅适用于直角三角形） ✅HL（斜边、直角边） 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：① 仅直角三角形可用，普通三角形无此判定；② 直角三角形也可使用通用判定（SSS/SAS/ASA/AAS），HL 为更简便的专属方法。 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∵ AC=DF（斜边），AB=DE（直角边）， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 【知识点03.判定定理的使用原则】 选定理技巧：根据已知条件找对应元素，缺什么找什么（如已知三边→用 SSS，已知两边一角→先看是否为夹角→SAS）。 多条件整合：单个条件不足时，结合隐含条件推导对应边 / 角相等，再判定。 唯一性：只要满足任意一个有效判定定理，即可确定三角形全等，无需重复验证。 【知识点04.全等证明的核心步骤(规范书写)】 标：在图形中标出已知的相等边、角（公共边 / 角、对顶角用符号标注，方便观察）； 找：从已知条件 + 隐含条件中，找出满足某一判定定理的三组对应相等元素； 定：确定适用的判定定理（如 SSS、SAS）； 写：规范书写证明过程（格式：在△××× 和△××× 中，{列出三组对应相等元素}，∴△×××≌△×××（判定定理））。 【知识点05.证明中常见的隐含相等条件(直接用)】 公共边：两个三角形共有的边，直接作为一组对应相等的边； 公共角：两个三角形共有的角，直接作为一组对应相等的角； 对顶角：对顶角相等，可直接作为一组对应相等的角； 垂直：两直线垂直→夹角为 90°，可直接得到一组相等的直角； 角平分线：角平分线分角为两个相等的角，直接得到一组对应相等的角； 中点：线段中点分线段为两条相等的线段，直接得到一组对应相等的边。 【知识点06.易混易错点总结】 1.混淆 “夹角” 和 “对角”，误用 SSA 判定全等 2.忽略 “对应”，直接将边 / 角相等当作对应相等 3.直角三角形盲目用 HL，HL 要求斜边 + 直角边，若已知两条直角边，应使用 SAS 而非 HL； 4.证明过程书写不规范，未按 “在两个三角形中→列条件→下结论” 的格式书写，遗漏判定定理标注。 【题型1.SSS判定三角形全等】 【典例】如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【跟踪专练1】用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”） 【跟踪专练2】如图，在△ABC和△DEB中，点C在BD边上，AC与BE交于F，若AB=DE，BC=EB，AC=DB，则∠ACB等于（   ） A．∠D B．∠E C．2∠ABF D．∠AFB 【题型2.SSS判定的间接应用】 【典例】小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是 （填“正确”或“错误”）． 【跟踪专练1】数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【跟踪专练2】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【题型3.SSS判定与性质综合】 【典例】如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（    ） A．SSS B． C． D． 【跟踪专练1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是 ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.尺规作图:三角形的绘制】 【典例.】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【题型5.三角形的稳定性及其实际应用】 【典例】下列图形中具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【题型6.ASA与AAS判定三角形全等】 【典例】如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【跟踪专练1】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的原理． 【跟踪专练2】为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【题型7.ASA/AAS判定与性质综合】 【典例】如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【跟踪专练1】如图，是的中线，E，F分别是，延长线上的点，连接，，且，有下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 【题型8.SAS判定三角形全等】 【典例】如图，全等的两个三角形是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 【题型9.SAS判定与性质综合】 【典例】如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据 ． 【跟踪专练1】如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【跟踪专练2】如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为 ． 【题型10.全等三角形判定方法的灵活选用】 【典例】如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是（    ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．乙 【跟踪专练1】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【跟踪专练2】如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【题型11.尺规作图与全等综合】 【典例】如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．    【跟踪专练2】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 1．如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 2．如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 3．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 4．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 5．已知三条线段，，，用尺规作出，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 6．[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 7．如图，，，C是BD上一点，且． (1)如图①，．试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)如图②，，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由． (3)图②中，若，，求四边形CDEF的面积． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07探索三角形全等的条件寒假预习讲义 · 吃透3 个核心判定定理（SSS/SAS/ASA），秒辨全等条件； · 能快速找题中对应边、对应角，解锁识图小技巧； · 会用判定定理简单证全等，迈出几何推理第一步； · 避开 “边边角” 等常见易错点，练就审题火眼金睛； · 能结合图形梳理推理思路，培养几何逻辑思维。 预习必备 知识点梳理 1.全等三角形判定的基础前提 2.全等三角形5大判定定理 3.判定定理的使用原则 4.全等证明的核心步骤 5.证明中常见的隐含相等条件 6.易混易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.SSS判定三角形全等 2.SSS判定的间接应用 3.SSS判定与性质综合 4.尺规作图:三角形的绘制 5.三角形的稳定性技巧实际应用 6.ASA与AAS判定三角形全等 7.ASA/AAS判定与性质综合 8.SAS判定三角形全等 9.SAS判定与性质综合 10.全等三角形判定方法的灵活选用 11.尺规作图与全等综合 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.全等三角形判定的基础前提】 判定核心：边、角必须严格对应相等，仅边 / 角相等但不对应，无法判定三角形全等。 基本依据：全等三角形的定义（对应边、对应角都相等），判定定理是定义的简化应用，无需验证所有 6 组对应元素。 【知识点02.全等三角形的5大判定定理】 通用判定（适用于所有三角形） ✅SSS（边边边） 内容：三边对应相等的两个三角形全等。 关键：只要三条边的长度对应匹配，形状、大小完全一致，与角的位置无关。 在△ABC和△DEF中， ∵ AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∴ △ABC≌△DEF（SSS） ✅SAS（边角边） 内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 核心易错点：必须是两边的夹角，SSA（两边及其中一边的对角） 不能判定全等（无唯一解，三角形形状不固定）。 ✅ASA（角边角） 内容：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 关键：夹边是两个角的公共边，需精准找准对应夹边。 在△ABC和△DEF中， ∵ ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E， ∴ △ABC≌△DEF（ASA） ✅AAS（角角边） 内容：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 补充：ASA 和 AAS 可互通，已知两角相等，第三个角必然相等，只需一组对应边相等即可。 专属判定（仅适用于直角三角形） ✅HL（斜边、直角边） 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：① 仅直角三角形可用，普通三角形无此判定；② 直角三角形也可使用通用判定（SSS/SAS/ASA/AAS），HL 为更简便的专属方法。 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∵ AC=DF（斜边），AB=DE（直角边）， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 【知识点03.判定定理的使用原则】 选定理技巧：根据已知条件找对应元素，缺什么找什么（如已知三边→用 SSS，已知两边一角→先看是否为夹角→SAS）。 多条件整合：单个条件不足时，结合隐含条件推导对应边 / 角相等，再判定。 唯一性：只要满足任意一个有效判定定理，即可确定三角形全等，无需重复验证。 【知识点04.全等证明的核心步骤(规范书写)】 标：在图形中标出已知的相等边、角（公共边 / 角、对顶角用符号标注，方便观察）； 找：从已知条件 + 隐含条件中，找出满足某一判定定理的三组对应相等元素； 定：确定适用的判定定理（如 SSS、SAS）； 写：规范书写证明过程（格式：在△××× 和△××× 中，{列出三组对应相等元素}，∴△×××≌△×××（判定定理））。 【知识点05.证明中常见的隐含相等条件(直接用)】 公共边：两个三角形共有的边，直接作为一组对应相等的边； 公共角：两个三角形共有的角，直接作为一组对应相等的角； 对顶角：对顶角相等，可直接作为一组对应相等的角； 垂直：两直线垂直→夹角为 90°，可直接得到一组相等的直角； 角平分线：角平分线分角为两个相等的角，直接得到一组对应相等的角； 中点：线段中点分线段为两条相等的线段，直接得到一组对应相等的边。 【知识点06.易混易错点总结】 1.混淆 “夹角” 和 “对角”，误用 SSA 判定全等 2.忽略 “对应”，直接将边 / 角相等当作对应相等 3.直角三角形盲目用 HL，HL 要求斜边 + 直角边，若已知两条直角边，应使用 SAS 而非 HL； 4.证明过程书写不规范，未按 “在两个三角形中→列条件→下结论” 的格式书写，遗漏判定定理标注。 【题型1.SSS判定三角形全等】 【典例】如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 在和中， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在△ABC和△DEB中，点C在BD边上，AC与BE交于F，若AB=DE，BC=EB，AC=DB，则∠ACB等于（   ） A．∠D B．∠E C．2∠ABF D．∠AFB 【答案】D 【分析】先根据SSS定理得出△ABC≌△DEB（SSS），故∠ACB=∠EBD，再根据∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，由此可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出结论． 【详解】解：在△ABC与△DEB中， ， ∴△ABC≌△DEB（SSS）， ∴∠ACB=∠EBD． ∵∠AFB是△BFC的外角， ∴∠AFB=∠ACB+∠EBD， ∴∠AFB=2∠ACB，即∠AFB=∠ACB， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键． 【题型2.SSS判定的间接应用】 【典例】小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是 （填“正确”或“错误”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知三角形全等判定的相关定理是解题的关键． 根据“边边边”定理即可判断小明的说法是正确的． 【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的． 故答案为：正确． 【跟踪专练1】数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 【题型3.SSS判定与性质综合】 【典例】如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（    ） A．SSS B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴； 故选：A 【跟踪专练1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴，所以依据是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故选项A正确； ∵， ∴；故选项B正确； ∴， ∴；故选项D正确； 在中，为斜边， ∴， ∴；故选项C错误； 故选：C． 【题型4.尺规作图:三角形的绘制】 【典例.】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 【跟踪专练1】已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 【题型5.三角形的稳定性及其实际应用】 【典例】下列图形中具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由这一性质即可求解． 【详解】解：由于三角形具有稳定性， 故选：C． 【跟踪专练1】空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【题型6.ASA与AAS判定三角形全等】 【典例】如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等；先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【详解】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25所相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④； 故选：D． 【跟踪专练1】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的原理． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定方法解答． 【详解】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：2． 【跟踪专练2】为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 【题型7.ASA/AAS判定与性质综合】 【典例】如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， , , ． 故答案为：13． 【跟踪专练1】如图，是的中线，E，F分别是，延长线上的点，连接，，且，有下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． 根据平行线的性质得，可判断⑤正确；然后利用“角角边”证明和全等，可判断④正确；根据全等三角形对应边相等可得，，可判断①③正确；最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵， ∴，故⑤正确， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确， ∴，，故①③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 【答案】7或3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．由为边上的高，得到，再结合，证明，得到，再根据的位置分情况讨论，分别求出的长，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：在中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴有以下两种情况： 当点E在的延长线上时，如图1所示： ， ∴点E运动的时间为：， 当点E在的延长线上时，如图2所示： ， ∴点E运动的时间为：， 综上所述：当点E运动7或时，． 故答案为：7或3． 【题型8.SAS判定三角形全等】 【典例】如图，全等的两个三角形是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可解答． 【详解】解：选取三角形①②时，利用可证明两个三角形全等， 其余都不符合全等三角形的判定定理． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可． 【详解】解：如图： 由网格可知， ∴， 由网格可知均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故A可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故B可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故D可以证明全等，不符合题意； 如图： 由上可得，而是钝角三角形， 故与不可能全等，故C符合题意， 故选：C． 【题型9.SAS判定与性质综合】 【典例】如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据中点的性质得出相等的线段，根据对顶角得出相等的角，然后可证明三角形全等，得出依据． 【详解】解：∵对顶角相等，中点分成的线段相等， ∴两个三角形全等的依据, 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选C． 【跟踪专练2】如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型10.全等三角形判定方法的灵活选用】 【典例】如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是（    ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．乙 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法逐个分析即可得出结论． 【详解】解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等， 乙有两边及其夹角，利用能判断两三角形全等， 丙得出两角及其一角对边，利用能判断两三角形全等， 综上所述，和全等的图形是乙丙． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可． 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 【跟踪专练2】如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的全等三角形的判定方法有：，，，，，做题时需根据题意灵活运用． 根据题干所给条件分析推理即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，全等的三角形有4对， 故选：C． 【题型11.尺规作图与全等综合】 【典例】如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．    【答案】6/六 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：如图所示， 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等； 所以共有6个三角形和原三角形全等， 故答案为：6．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【跟踪专练2】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 1．如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 2．如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 3．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 4．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 5．已知三条线段，，，用尺规作出，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，作射线，以B为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于C，再分别以B为圆心，线段c的长为半径画弧与以C为圆心，线段b的长为半径的圆交于A，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 6．[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 7．如图，，，C是BD上一点，且． (1)如图①，．试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)如图②，，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由． (3)图②中，若，，求四边形CDEF的面积． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】（1）要判断与的位置关系，可先通过证明和全等，再利用全等三角形的对应角相等推导垂直关系； （2）同理，先通过证明和全等，再利用角的关系推导与的位置关系； （3）结合全等三角形的面积相等，以及线段比例关系，计算四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积的比例关系，解题关键是通过全等三角形的对应角相等推导垂直关系，利用面积比例和全等性质计算图形面积． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $