4.4利用三角形全等测距离 寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

4.4利用三角形全等测距离寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 1. 回顾并熟记三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），能准确区分各定理的适用条件； 2.理解利用三角形全等测距离的核心原理：通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离转化为可测量的线段长度； 3.初步掌握构造全等三角形测距离的基本方法，能识别实际场景中可用于构造全等的已知条件（如公共边、对顶角、直角等）； 4.感受三角形全等在生活中的实际应用价值，体会数学与现实生活的紧密联系。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】利用三角形全等测距离 1.构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等来测量距离． 2.如果两端都可以达到，用 SAS； 3.如果只有一端可以达到，用 AAS； 4.如果两端都不能达到，用 SAS； 【知识点2】全等三角形的形成方式 （1） 平移：将一个三角形沿某一方向移动一定的距离； （2） 旋转：将一个三角形绕着一个定点（旋转中心）转动一定的角度； （3） 翻折：也称轴对称，将一个三角形沿某一条直线（对称轴）折叠. 【知识点3】应用场景 （1） 测量两点间无直达路径的距离（如池塘两端无法直接跨越测量）； （2） 测量点到物体的垂直距离或有遮挡的两点距离（如河宽）； （3） 直角三角形场景下的测距（如测量垂直于地面的旗杆高度、悬崖垂直深度等） 【知识点4】易错点提示 （1）如果一个三角形被放大或缩小（位似），虽然形状相同，但大小改变，不是全等三角形； （2）对应关系的确定： ①平移：按顺序对应； ②翻折：对应点在对称轴两侧； ③旋转：对应点与旋转中心连线的夹角相等。 💦 核心考点★精讲精练 题型1添加条件使三角形全等 例1．如图，是的高．下列不能使的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了判定三角形全等的条件，熟练掌握判定三角形全等的条件是解题的关键； 逐一分析选项所给条件与题干条件相结合能否判定两个三角形全等． 【详解】解：∵AD是的高 ∴ ∴在和中，， A、当时，无法满足判定三角形全等的任一判定定理，符合题意； B、当时，可根据“两边夹一角”即SAS判定两个三角形全等，不符合题意； C、当时，可根据“两角夹一边”即ASA判定两个三角形全等，不符合题意； D 、当时，可根据“两角夹一边”即ASA判定两个三角形全等，不符合题意； 故选：A ． 变式1．如图，AC，BD相交于点O，连接AB，CD，如果，要使，还需添加的一个条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或 变式2．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 【答案】(1)①（①或②都可以） (2)见解析 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到；添加②，由两个三角形全等的判定定理得到. （2）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】（1）解：添加①或②都可以 （2）证明：若添加①， ， ， 在与中， ， ， ； 若添加②， ， ， 在与中， ， ， ． 题型2倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 例2．中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接，如下图： ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ 根据三角形的三边关系得∶ ， 即： ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变式1．已知：中，是中线．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长至点，使得，证明，得到，再利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，则， 是中线， ， 又，， ， ， ， ， ， 故答案为： 变式2．【探究】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 题型3旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 例3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 变式1．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 变式2．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 题型4垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 例4．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 变式1．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 变式2．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 题型5其他模型（全等三角形的辅助线问题） 例5．如图，，是的中点，平分，则的度数为 ． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 变式1．如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 变式2．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型6证明一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 例6．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 题型7全等三角形综合问题 例7．如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定()与性质的综合运用，同时考查角的和差运算与等量代换、对顶角性质及三角形内角和定理的应用，先通过角的等量代换推出，用证得到边的等量关系；再依次用证多组三角形全等，逐一验证①②④⑤结论成立，根据已知条件排除③，结合选项确定最终答案为①④⑤． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， 如解图，连接 根据题目已知条件，无法判断和全等， 则不一定等于， ∴不一定等于， 故②不一定正确； ∵题目条件并未体现和和之间的角度关系， 故③不一定正确； 又∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，故④⑤正确， 综上所述，一定正确的是①④⑤． 故选：D． 变式1．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为 ； （2）当点在点右侧时，的值为 ． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 变式2．如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，，作图； 三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图； 三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形； ∴说法错误的是， 故选：． 2．如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，，再加上公共边可利用定理判定，故此选项不合题意； B、，再加上公共边可利用定理判定，故此选项不合题意； C、，再加上公共边，没有定理判定，故此选项符合题意； D、，再加上公共边，可利用定理判定，故此选项不合题意； 故选：C． 3．已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 4．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 5．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．如图， ，要证明，还需要的条件是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件证明两个三角形全等，掌握知识点是解题的关键． 根据证明即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 8．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为 秒； （2）当t的值为 秒时，与全等． 【答案】 7 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）根据长方形的性质得出，，根据得出，，说明此时点P在点C处，即可得出点P移动的距离为，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴此时点P在点C处， ∴此时点P移动的距离为， ∴； 故答案为：7； （2）在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 三、解答题 9． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： (1)直接写出乙的方案是否可行． (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】(1)可行 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用“”证明，即可解题； （2）根据全等三角形判定定理，添加合适的条件，证明，即可解题． 【详解】（1）解：乙的方案可行，理由如下： 由作图过程可知，， 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离； （2）解：添加条件为：， ， ， 理由如下： 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离． 10．如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2）解：由（1）知： 所以，即． 11．阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)①见详解；②． 【分析】（1）根据绕点按逆时针方向旋转得到可得，，结合可得，根据边角边定理即可得到证明，在中利用勾股定理即可得到答案； （2）①连接，根据定理即可得到，即可得到证明； ②连接，过作交延长线于一点，根据折叠得到，，由①可得，，即可得到，从而得到，根据正方形性质可得，，结合可得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， 在 中，， ， ， 故答案为：，； （2）①连接， 沿翻折至位置，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ∴ ； ②连接，过作交延长线于一点， 沿翻折至位置， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线． 12．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【详解】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 13．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段和线段垂直 (2)存在或使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，证明，得出，求出，即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段和线段垂直； （2）解：①若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：， ②若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：； 综上所述，存在或使得与全等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4利用三角形全等测距离寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 1. 回顾并熟记三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），能准确区分各定理的适用条件； 2.理解利用三角形全等测距离的核心原理：通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离转化为可测量的线段长度； 3.初步掌握构造全等三角形测距离的基本方法，能识别实际场景中可用于构造全等的已知条件（如公共边、对顶角、直角等）； 4.感受三角形全等在生活中的实际应用价值，体会数学与现实生活的紧密联系。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】利用三角形全等测距离 1.构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等来测量距离． 2.如果两端都可以达到，用 SAS； 3.如果只有一端可以达到，用 AAS； 4.如果两端都不能达到，用 SAS； 【知识点2】全等三角形的形成方式 （1） 平移：将一个三角形沿某一方向移动一定的距离； （2） 旋转：将一个三角形绕着一个定点（旋转中心）转动一定的角度； （3） 翻折：也称轴对称，将一个三角形沿某一条直线（对称轴）折叠. 【知识点3】应用场景 （1） 测量两点间无直达路径的距离（如池塘两端无法直接跨越测量）； （2） 测量点到物体的垂直距离或有遮挡的两点距离（如河宽）； （3） 直角三角形场景下的测距（如测量垂直于地面的旗杆高度、悬崖垂直深度等） 【知识点4】易错点提示 （1）如果一个三角形被放大或缩小（位似），虽然形状相同，但大小改变，不是全等三角形； （2）对应关系的确定： ①平移：按顺序对应； ②翻折：对应点在对称轴两侧； ③旋转：对应点与旋转中心连线的夹角相等。 💦 核心考点★精讲精练 题型1添加条件使三角形全等 例1．如图，是的高．下列不能使的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，AC，BD相交于点O，连接AB，CD，如果，要使，还需添加的一个条件是 ． 变式2．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 题型2倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 例2．中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知：中，是中线．则的取值范围是 ． 变式2．【探究】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 题型3旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 例3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 变式1．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 变式2．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 题型4垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 例4．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 变式1．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    变式2．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 题型5其他模型（全等三角形的辅助线问题） 例5．如图，，是的中点，平分，则的度数为 ． 变式1．如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 变式2．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 题型6证明一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 例6．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 题型7全等三角形综合问题 例7．如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 变式1．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为 ； （2）当点在点右侧时，的值为 ． 变式2．如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 2．如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 二、填空题 6．如图， ，要证明，还需要的条件是： ． 7．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 8．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为 秒； （2）当t的值为 秒时，与全等． 三、解答题 9． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： (1)直接写出乙的方案是否可行． (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 10．如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 11．阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 12．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 13．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $