精品解析：湖北省襄阳市襄州区2025-2026学年九年级上学期三校联考二模数学试题

湖北省襄阳市襄州区2025-2026学年度上学期九年级三校联考数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 三角形内角和为 B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C. 打开电视机，正在播放新闻节目 D. 在一个标准大气压下，水加热到会沸腾 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件的定义，熟练掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解答本题的关键．根据随机事件的定义，分别判断各选项事件的性质即可． 【详解】解：A选项：三角形的内角和为，是必然事件，故不符合题意； B选项：骰子点数最大为6，点数为7是不可能事件，故不符合题意； C选项：打开电视机播放节目内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他节目，是随机事件，故符合题意； D选项：水在标准大气压下加热至必然沸腾，是必然事件，故不符合题意． 故选：C． 3. 已知是方程的解，则b的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 将代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 4. 一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式为，其中r为底面半径，l为母线长． 根据圆锥的侧面积计算即可． 【详解】解：∵底面直径， ∴半径． ∵母线长， ∴侧面积． 故选：A． 5. 如图，将绕点C旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出，由旋转的性质得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 由旋转的性质得，， ∴． 故选B． 6. 如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理的逆定理、在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据条件得出直径，半径，再根据勾股定理的逆定理求出为直角三角形，最后根据在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直得出点、点重合，再求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦交于点，，， ∴, ∴， ∴． ∵，，， 得：， ∴为直角三角形，． ∵，， ∴点、点重合， ∴． 故选：D． 7. 已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（ ） A. 其图象位于第一、三象限 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 其图象经过点 D. 当时，y的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． 由点求出，得到函数解析式，再逐一判断选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即， ∴， ∴图象在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，A、B错误； 当时，，即其图象经过点而非，C错误； 当时，，则当时，y的取值范围是，D正确； 故选：D． 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的平移规律． 将原抛物线解析式化为顶点式，然后根据上加下减，左加右减的规律作答即可． 【详解】解： ， 向左平移1个单位，得到， 向下平移2个单位，得到． 故选：A． 9. 如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图连接， 由圆内接四边形的性质可得：， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据对称轴公式得到，即可判断④；根据二次函数的图象即可判断，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；由图象可得，当时，，即可代入求解判断③． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 由图象可得，， ∴由得，， ∵抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有个交点， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴把代入，则，故③错误， ∴正确的有个， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的性质，对于顶点式，其中顶点坐标为 根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______． 【答案】6 【解析】 【分析】设点的坐标为，则，先利用三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为， 轴于点， ， 的面积为3， ， 解得， 将点代入得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键． 13. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设两次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设两次降价的百分率为，则： 解得：（舍去） 故两次降价的百分率为： 故答案为：． 【点睛】本题考查增长率与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 14. 如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求出y的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴球能达到的最大高度为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则①________；②的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理．根据勾股定理求得，根据旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，即可求得旋转角，进而过点作于点，设交于点，证明得出，求得，再根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵旋转， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 如图所示，过点作于点，设交于点， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，则 ∴， ∴， 设，则 ∵即 解得： ∴ ∴ ∴ 如图，在等边三角形中，过点作于点， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：，． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数计算，结合绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负指数幂计算是解题的关键． 根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接、，求证：． 【答案】 证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴，，， ，即． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定．由旋转的性质可得到，，，依据等式的性质可得到，依据可证明，依据全等三角形的性质进行证明即可． 【详解】略 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别为、，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程中，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，根与系数的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两根分别为， ∴ ∴ ， ∵， ∴， 解得：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）8 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）设一次函数与y轴交于点C，则点C的坐标为，再根据列式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为； 把点B的坐标代入反比例函数解析式得，解得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，设一次函数与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或． 20. 为响应“书香校园”建设，某校随机抽取了部分学生，调查他们平均每周阅读课外书籍的时间，将调查结果分为A（小时）、B（小时）、C（小时）、D（小时）四个等级，并绘制了如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）． （1）本次调查的学生人数为________，扇形统计图中等级B对应的圆心角为________； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，估计该校平均每周阅读课外书籍时间不少于4小时的学生人数． 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如下： （3）估计该校平均每周阅读课外书籍时间不少于4小时的学生人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用． （1）用B的人数除以百分比即可求出总数，用B的百分比乘以即可求出等级B对应的圆心角； （2）用总数减去其他等级的人数求出A的人数，进而作图即可； （3）用总数乘以不少于4小时的比例计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为，扇形统计图中等级B对应的圆心角为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：A的人数为， 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校平均每周阅读课外书籍时间不少于4小时的学生人数为人． 21. 如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵点C在上，过点C作的切线， ∴， ∴， ∴ ， ∵是的直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接, 推导出，，得到 ， ，继而推导出，则，即可解答． （2）由，可得，可得，可得，得，由， ，得 ，得，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，熟练掌握切线的性质，圆周角定理推论，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角函数，相似三角形判定和性质，掌握知识点是解题的关键． 22. 某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． （1）求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，最大利润为元； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用（利润问题）、二次函数最值等，能够理解题意是解题的关键． （1）根据利润 (单价 成本) 销量求解即可； （2）将（1）所得的解析式化简为顶点式即可求解； （3）根据题意列出扣除捐赠后的利润的解析式，再写出对称轴，然后结合随的增大而增大求解即可． 【小问1详解】 解：∵销售单价为元，成本为每件元， ∴单件利润为元， 据题意得：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，有最大值为：元； 【小问3详解】 解：∵每销售一件商品就捐赠元， ∴单件利润为元． 据题意得：， ， ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵扣除捐赠后的利润随的增大而增大， ∴， 解得：． 23. 在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，如果，求的长； （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，，， ． 在与中， ， ． ． （2） （3） 解：如图，连接． ，， 是等腰直角三角形． ． ， ． 由（1）得：， 也是等腰直角三角形． 根据折叠的性质，四边形是正方形， ． 是等腰三角形． ． ， ． ，， ． 设，则，． ． ． ． 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）由，，并由（1）得，可知，求出和的长，可知的长．又因，，可得是等边三角形，可得出的长； （3）如图，连接．可得是等腰直角三角形，从而得出．由（1）得：，则也是等腰直角三角形．根据折叠的性质，四边形是正方形，可得．则是等腰三角形．可得，据三角形内角和为，可求出，则，，可知．设，则，． ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ，， ，，． 由（1）得：． ，． ． ， ，． ． ，， 是等边三角形， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）点； （3）有最小值为． 【解析】 【分析】（1）将点、、代入即可求解； （2）先设设点，求出，根据的面积求出，即可求解； （3）先将抛物线化成顶点式，接着作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，设点，推出点，，，再根据旋转的性质证明，求出点的坐标，最后根据距离坐标公式结合二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过、、， 则：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方， ∴设点， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ， ， ， ∴点； 【小问3详解】 解：∵， ∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点， 将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设点， ∵垂直于直线交直线于点， ∴点， ∴，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴． ∵垂直于直线，垂直于直线， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∴点， ∴点． ∵点，点， ∴， ， ， ， ∵， ∴当，有最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的待定系数法、二次函数面积综合题、旋转的性质、两点间的距离公式、二次函数的最值问题等，能够根据题意作出图像并作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市襄州区2025-2026学年度上学期九年级三校联考数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 三角形内角和为 B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C. 打开电视机，正在播放新闻节目 D. 在一个标准大气压下，水加热到会沸腾 3. 已知是方程的解，则b的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（ ） A. 其图象位于第一、三象限 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 其图象经过点 D. 当时，y的取值范围是 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 12. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______． 13. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 14. 如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则①________；②的面积为________． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接、，求证：． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别为、，且，求k的值． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，x的取值范围． 20. 为响应“书香校园”建设，某校随机抽取了部分学生，调查他们平均每周阅读课外书籍的时间，将调查结果分为A（小时）、B（小时）、C（小时）、D（小时）四个等级，并绘制了如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）． （1）本次调查的学生人数为________，扇形统计图中等级B对应的圆心角为________； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，估计该校平均每周阅读课外书籍时间不少于4小时的学生人数． 21. 如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接． （1）求证：； （2）若 ，求的半径． 22. 某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． （1）求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 23. 在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，如果，求的长； （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $