专题09 条件概率与全概率公式（思维导图+2大知识点+5大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题09 条件概率与全概率公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：条件概率 4 知识点二：全概率公式与贝叶斯公式 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基于定义的条件概率计算问题 6 题型二：条件概率的性质及相关问题求解 6 题型三：全概率公式及其在概率计算中的应用 7 题型四：贝叶斯公式及其在概率计算中的应用 7 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合解题应用 8 05 强化训练 11 知识点一：条件概率 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 知识点二：全概率公式与贝叶斯公式 1、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 2、贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 3、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 题型一：基于定义的条件概率计算问题 【例1】（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·河南·月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 题型二：条件概率的性质及相关问题求解 【例2】（22-23高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：全概率公式及其在概率计算中的应用 【例3】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 题型四：贝叶斯公式及其在概率计算中的应用 【例4】（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【变式4-1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【变式4-2】贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【变式4-3】（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合解题应用 【例5】（25-26高三上·河北·期中）某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【变式5-1】袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【变式5-2】某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【变式5-3】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【变式5-4】（24-25高二下·浙江宁波·期末）在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 1．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 2．（多选题）（25-26高二上·广西北海·期末）已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 3．（多选题）（25-26高三上·山东济南·期末）已知为随机事件，且，，则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 4．（多选题）（25-26高二上·江西九江·期末）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 5．（多选题）（25-26高二上·山东日照·月考）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 6．（多选题）（2026·河北·模拟预测）有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（    ） A． B． C． D．事件 与不独立 7．（多选题）（25-26高三上·重庆·月考）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 8．现从甲、乙、丙等6人中先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞.若在甲、乙中只有一人被抽到的条件下，丙不被抽到去跳舞的概率是 . 9．（25-26高三上·天津滨海新·月考）某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 10．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 . 11．（2026·重庆九龙坡·一模）盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 . 12．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知事件相互独立，且，则 . 13．（25-26高二上·广西桂林·期末）某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为 . 14．（25-26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 15．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 16．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 17．（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 18．（24-25高二上·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 条件概率与全概率公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：条件概率 4 知识点二：全概率公式与贝叶斯公式 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基于定义的条件概率计算问题 6 题型二：条件概率的性质及相关问题求解 8 题型三：全概率公式及其在概率计算中的应用 10 题型四：贝叶斯公式及其在概率计算中的应用 11 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合解题应用 13 05 强化训练 17 知识点一：条件概率 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 知识点二：全概率公式与贝叶斯公式 1、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 2、贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 3、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 题型一：基于定义的条件概率计算问题 【例1】（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若， 则，所以，故， 所以，所以， 所以， 则. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高三上·河南·月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”， 事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”， 则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球， 有，共10种情况， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共3种， 故， 故所求概率为. 故选：B. 【变式1-2】（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为， 再安排给3人，总方法数为， 其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以， 而事件与都发生的所有可能结果有，即， 所以所求概率为． 故选：C． 【变式1-3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 题型二：条件概率的性质及相关问题求解 【例2】（22-23高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 【变式2-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 【变式2-3】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 题型三：全概率公式及其在概率计算中的应用 【例3】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【解析】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”， 则. 设“取到产品是次品”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【答案】C 【解析】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 题型四：贝叶斯公式及其在概率计算中的应用 【例4】（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【答案】 【解析】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 【变式4-1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【解析】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 【变式4-2】贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【解析】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 【答案】 【解析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合解题应用 【例5】（25-26高三上·河北·期中）某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【解析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 【变式5-1】袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【解析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 【变式5-2】某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【解析】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”， 则， 所以． （2）所以． 【变式5-3】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【解析】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 【变式5-4】（24-25高二下·浙江宁波·期末）在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【解析】（1）如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. （2）如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. （3）如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 1．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【解析】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 2．（多选题）（25-26高二上·广西北海·期末）已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 【答案】ABD 【解析】对于A，由概率加法公式得， 解得，故A正确， 对于B，因为，所以， 则事件相互独立，故B正确， 对于C，由条件概率公式得，故C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以由条件概率公式得， 可得，则， 解得，则A与C互斥，故D正确. 故选：ABD 3．（多选题）（25-26高三上·山东济南·期末）已知为随机事件，且，，则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 【答案】AD 【解析】因， ， 由题意得，化简得， 即，即， 即事件相互独立，故AD符合题意， 和不一定成立，故BC不合题意. 故选：AD. 4．（多选题）（25-26高二上·江西九江·期末）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【解析】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 5．（多选题）（25-26高二上·山东日照·月考）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【解析】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 则，，， 抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：，故A正确； 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：，故B正确； 抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为： ， ； 抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为： ，故C错误； 抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为， ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 6．（多选题）（2026·河北·模拟预测）有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（    ） A． B． C． D．事件 与不独立 【答案】BCD 【解析】先将4人分成2、1、1三组，共种分法，再将三组分配给三个景点，共种分法，一共有种分法. 事件表示甲前往庐山，固定甲去庐山后，需将乙、丙、丁分配到三个景点， 且三清山和龙虎山均至少一人.乙、丙、丁的分配方式共种， 排除三清山空（只去庐山和龙虎山）的种、龙虎山空的8种，以及两景点均空的1种， 满足条件的分配数为，故，故选项A错误； 同理得：； 事件表示甲去庐山且乙去三清山，固定甲去庐山、乙去三清山后， 需分配丙、丁，且龙虎山至少一人，丙、丁分配共种， 龙虎山空（只去庐山或三清山）的有种， 故满足条件的分配数为，因此，选项C正确； 由条件概率公式得：. 故，选项B正确； 因为， 所以事件与不独立，选项D正确. 故选： 7．（多选题）（25-26高三上·重庆·月考）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【解析】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故， 由全概率公式可得：， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 8．现从甲、乙、丙等6人中先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞.若在甲、乙中只有一人被抽到的条件下，丙不被抽到去跳舞的概率是 . 【答案】 【解析】记“甲、乙中只有一人表演节目”为事件，“丙不参加舞蹈节目”为事件. 事件包含的基本事件个数为， 方法一：①若丙不被抽中参加节目，则有种抽法； ②若丙被抽中参加节目，则只能参加歌唱节目，有种抽法； 所以事件包含的基本事件个数为， 因而， 则在甲、乙只有一人表演节目的条件下，丙不参加舞蹈节目的概率为.                               方法二： 由于事件的对立事件为“丙被抽到去跳舞”， 则事件包含的基本事件个数为种抽法； 所以事件包含的基本事件个数为种抽法，     因而， 则在甲、乙只有一人表演节目的条件下，丙不参加舞蹈节目的概率为. 故答案为： 9．（25-26高三上·天津滨海新·月考）某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 【答案】 / / 【解析】从五年级科技课外兴趣小组的12人中随机挑选2个学生，记“其中一个是男生”为事件，“另一个也是男生”为事件， 由题意知12人中有7男5女， 则. 先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两名同学参赛，记“从甲班中选两个同学”为事件，“从乙班中选两个同学”为事件，“两个都是男生”为事件， 因为等可能地从两个班中随机选择一个班，所以， 又， 所以 . 故答案为：；. 10．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 . 【答案】 【解析】设事件为第一次取到白球，事件表示第二次取到白球，则为第一次取到红球， 则，，，， 所以. 所以 故答案为： 11．（2026·重庆九龙坡·一模）盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 . 【答案】 / / 【解析】记事件“第次取到红球”， 则， ， 所以， 即第2次取到红球的概率为； ， 所以， 即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为. 故答案为：；. 12．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知事件相互独立，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为事件相互独立，, 所以， 所以 故答案为： 13．（25-26高二上·广西桂林·期末）某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为 . 【答案】 【解析】设“第一次投篮命中”为事件，“第二次投篮命中”为事件，则“连续两次投篮命中”为事件； 已知，， 根据条件概率公式，变形得， 代入数值计算：. 故答案为：. 14．（25-26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【解析】（1）设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. （3）设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 15．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 【解析】（1）记“部件甲合格”为事件，“部件乙合格”为事件. 由题意知，. 记“该电子元件能正常使用”为事件， 则. （2）记“该电子元件恰好只有一个部件不合格”为事件， 则. （3）根据题意，要求的是， 则. 16．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 【解析】（1）设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”， 则，， 因为两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件， 所以.   根据概率的加法公式，，解得， 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得，且.   因为， 所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）由（1）知：， 根据条件概率公式，可得， 故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为. 17．（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【解析】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为 18．（24-25高二上·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【解析】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $