专题08 二项式定理（思维导图+2大知识点+8大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题08 二项式定理 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：二项式定理 4 知识点二、二项展开式的通顶公式及性质 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：二项式定理的正向应用与逆向运用 6 题型二：二项展开式通项公式的综合应用 7 题型三：求两个多项式乘积中的特定项（含常数项、指定次数项） 10 题型四：利用二项式定理解决余数问题与整除问题 11 题型五：借助二项式定理进行近似计算 13 题型六：二项展开式中各项系数和的求解问题 14 题型七：二项式系数的性质及实际应用 16 题型八：三项式及多项式展开的相关问题（含通项、特定项求解） 18 05 强化训练 21 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 知识点二、二项展开式的通顶公式及性质 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 题型一：二项式定理的正向应用与逆向运用 【例1】（24-25高二下·天津河东·期中）根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 【变式1-1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·月考）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 【变式1-2】写出的展开式． 【解析】在二项式定理中令，可得 ． 【变式1-3】（1）求的展开式. （2）化简：. 【解析】（1）法一: . 法二: （2） . 题型二：二项展开式通项公式的综合应用 【例2】化简下列式子： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 【解析】（1），， 从而，； （2），证明如下： ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即； （3），等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为 ， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证. 【变式2-2】已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【解析】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 【变式2-3】已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【解析】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 题型三：求两个多项式乘积中的特定项（含常数项、指定次数项） 【例3】（25-26高二上·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【答案】A 【解析】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【答案】A 【解析】的展开式的通项为，， 所以在的展开式中，含的项为： ， 所以的系数为. 故选：A． 【变式3-2】（25-26高二上·辽宁大连·期末）的展开式的常数项是（    ） A．400 B． C． D．80 【答案】D 【解析】原式， 其中的常数项是， 的常数项是中含项的系数， 即，所以的常数项是， 所以的展开式中常数项是. 故选：D 【变式3-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：C. 题型四：利用二项式定理解决余数问题与整除问题 【例4】（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【解析】 所以除17余数为，即. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【解析】 因能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 因为，所以，，， 又（mod），所以值可以是. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·吉林长春·期末）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】由 ， 展开式中除了最后的6均能被7整除， 则被7除所得的余数为6. 故选：D 【变式4-3】（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 题型五：借助二项式定理进行近似计算 【例5】某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为 ．（四舍五入，精确到0.01） 【答案】1.13 【解析】根据题意，6个交易日后该公司的股票指数为： ． 故答案为：1.13 【变式5-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【解析】由 . 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高二上·江西九江·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【答案】3.07 【解析】. 故答案为：3.07 【变式5-3】（22-23高三上·福建泉州·月考） （精确到0.01） 【答案】30.84 【解析】原式 故答案为：30.84． 题型六：二项展开式中各项系数和的求解问题 【例6】（多选题）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 【变式6-1】（多选题）（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 【答案】BCD 【解析】由题意有：，所以，令， 所以， 令，所以，令， 所以①， 所以，故A错误； 由，令， 所以，故B正确； 令，所以②， 由①②解得，， 所以，故C正确； 由 ， 所以除以6所得的余数为5，故D正确； 故选：BCD. 【变式6-2】（多选题）（25-26高二上·河南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】的展开式的通项为. 令，得. 对于A，令，得，所以A错误. 对于B，令，得，所以，所以B正确. 对于C，由通项可知，为奇数时，对应项的系数为负数，即均小于零；为偶数时，对应项的系数为正数，即均大于零. 所以. 令，得. 所以，所以C正确. 对于D，令，得 由通项，令，得. 所以，所以D错误. 故选：BC. 【变式6-3】（多选题）（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：令得，A错误； 对于B：令得①， 令得②， ①+②得， 所以，B正确； 对于C：①-②得， 所以，C错误； 对于D：令得， 又，所以，D正确； 故选：BD. 题型七：二项式系数的性质及实际应用 【例7】（多选题）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）下列关于二项式展开式的结论，正确的有（    ） A．第5项与第6项的二项式系数相等 B．含的项的系数为18 C．共有5项无理式 D．系数最大的项是第6项 【答案】ABC 【解析】二项式的通项公式为， 第5项的二项式系数为，第6项的二项式系数为，，故A正确， 令，解得，含的项的系数为，故B正确， 二项式的展开式中，当不为整数时，即为无理项， 当时，为无理项，共有5项，故C正确. 设第项系数最大，系数为， 则，代入公式化简得，即， 故系数最大的项是第7项，故D错误. 故选：ABC. 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（   ） A． B．展开式中无常数项 C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式的各项系数之和是 【答案】ABC 【解析】由题意可知，则，故A正确； 设展开式的通项为， 显然无整数解，故B正确. 因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大， 即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确； 令，则，故D错误； 故选：ABC. 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．展开式的各二项式系数的和为32 C．展开式的第6项的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 【答案】ACD 【解析】对于A，展开式的项数为项，故A正确； 对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B错误； 对于C，展开式的第6项为，故其系数为，故C正确； 对于D，因展开式有7项，其二项式系数依次为， 根据组合数的性质，的值最大，故二项式系数最大的项是第4项，故D正确 故选：ACD. 【变式7-3】（多选题）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有项 B．展开式的各二项式系数的和为 C．展开式中的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第项 【答案】BD 【解析】对于A选项，的展开式共有项，A错； 对于B选项，展开式的各二项式系数的和为，B对； 对于C选项，展开式通项为， 所以展开式中的系数为，C错； 对于D选项，展开式中二项式系数最大的项是第项，D对. 故选：BD. 题型八：三项式及多项式展开的相关问题（含通项、特定项求解） 【例8】（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【解析】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【解析】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 【变式8-2】（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】C 【解析】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 【变式8-3】（25-26高三上·广东·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 【答案】B 【解析】因为， 要想得到常数项，则有两种可能性： （1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为； （2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为. 根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为. 故选：B 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解析】的展开式中二项式系数和为，，， 设为常数项，则， 故，解得，则. 故选：C. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】， 其中含有的项分别是和， 这两项系数之和为， 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【解析】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 4．（25-26高二上·北京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】由题意得：， 令，解得， 所以，所以的系数为， 故选：D. 5．（多选题）（25-26高二·全国·假期作业）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．所有项的系数之和为1 C．含的项的系数为 D．常数项为 【答案】BC 【解析】对于A，由，则其展开式共有项，中间为第项， 所以二项式系数最大的项为第项，故A错误； 对于B，令，则， 所以所有项的系数之和为，故B正确； 对于CD，由， 则其展开式的通项， 令，解得， 则含的项的系数为，故C正确； 令，该方程无整数解， 则展开式中无常数项，故D错误. 故选：BC. 6．（25-26高三上·北京东城·月考）已知，则 ， ． 【答案】 1 16 【解析】由题意令，可得， 令，则， 令，得， 令，得， 所以． 故答案为：1；16． 7．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为 【答案】 【解析】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 8．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为10，则的值为 . 【答案】2 【解析】二项式的展开式的第项为， 令，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知，若，则的值为 . 【答案】6 【解析】根据二项式定理展开式得：， ， ， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即，解得， 所以的值为 故答案为： 10．（25-26高三上·湖南·月考）已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为 ． 【答案】6 【解析】二项式的展开式的第项为： ， 所以第6项的系数为，第7项的系数． 又第6项系数与第7项系数之比为，所以， 所以，所以，解得． 故答案为：6 11．（25-26高三上·河北张家口·期末）在的二项展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】80 【解析】展开式的通项为， 令，得4，所以的系数为. 故答案为：80 12．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）二项式的展开式中常数项为 . 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项为， 令，得，所以常数项为. 因此二项式的展开式中常数项为. 故答案为： 13．（25-26高二上·北京·期末）若，则 ； ． 【答案】 【解析】令，代入得， 令，代入得， 代入，代入可得. 故答案为：①；② 14．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是 . 【答案】210 【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 15．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知，则 ． 【答案】16 【解析】令，则， 令，得①， 令，得②， 可得． 故答案为：16． 16．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【解析】（1）令，则， 令，则， 所以，故. （2）由二项式系数之和为，得，解得. （i）为展开式中的系数，即. 计算，故，得，即. （ii）当时，展开式中第项的系数为（）. 计算相邻两项系数的比值：，， 要使（），需为系数序列的最大值，满足： ①.序列递增到：对，，即， 此时对，，故，满足. ②.序列递减自：对，，即， 此时对，，故，满足. 综上所述，的取值范围是. 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)各项系数和. 【解析】（1）因为二项式系数的和为64， 所以，解得. （2）由（1）知，则二项式变为， 由二项式定理可得展开式的通项为， 令，得，故含的项为. （3）令，则各项系数和为. 18．（25-26高二上·山东潍坊·月考）（1）潍坊市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等6名教师被随机地分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法.（结果用数字作答） （2）求除以的余数. 【解析】（1）因为6名教师分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师， 所以先将6名教师分成4组，每组至少一个，故有两种分组结构：和. 分两类完成，第一类按分组，有（种）， 然后再分配到四个不同的中学去，有（种），所以有（种）不同的分配方法； 第二类按分组，有（种）， 然后再分配到四个不同的中学去，有（种），所以有（种）， 根据分类加法计数原理共有（种）不同的分配方法. （2） ， 所以除以的余数为999. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二项式定理 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：二项式定理 4 知识点二、二项展开式的通顶公式及性质 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：二项式定理的正向应用与逆向运用 6 题型二：二项展开式通项公式的综合应用 6 题型三：求两个多项式乘积中的特定项（含常数项、指定次数项） 7 题型四：利用二项式定理解决余数问题与整除问题 8 题型五：借助二项式定理进行近似计算 8 题型六：二项展开式中各项系数和的求解问题 9 题型七：二项式系数的性质及实际应用 9 题型八：三项式及多项式展开的相关问题（含通项、特定项求解） 10 05 强化训练 12 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 知识点二、二项展开式的通顶公式及性质 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 题型一：二项式定理的正向应用与逆向运用 【例1】（24-25高二下·天津河东·期中）根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【变式1-1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·月考）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【变式1-2】写出的展开式． 【变式1-3】（1）求的展开式. （2）化简：. 题型二：二项展开式通项公式的综合应用 【例2】化简下列式子： (1)； (2)． 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 【变式2-2】已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【变式2-3】已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 题型三：求两个多项式乘积中的特定项（含常数项、指定次数项） 【例3】（25-26高二上·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【变式3-1】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【变式3-2】（25-26高二上·辽宁大连·期末）的展开式的常数项是（    ） A．400 B． C． D．80 【变式3-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 题型四：利用二项式定理解决余数问题与整除问题 【例4】（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式4-1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式4-2】（25-26高二上·吉林长春·期末）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式4-3】（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 题型五：借助二项式定理进行近似计算 【例5】某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为 ．（四舍五入，精确到0.01） 【变式5-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【变式5-2】（23-24高二上·江西九江·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【变式5-3】（22-23高三上·福建泉州·月考） （精确到0.01） 题型六：二项展开式中各项系数和的求解问题 【例6】（多选题）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选题）（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 【变式6-2】（多选题）（25-26高二上·河南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 题型七：二项式系数的性质及实际应用 【例7】（多选题）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）下列关于二项式展开式的结论，正确的有（    ） A．第5项与第6项的二项式系数相等 B．含的项的系数为18 C．共有5项无理式 D．系数最大的项是第6项 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（   ） A． B．展开式中无常数项 C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式的各项系数之和是 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．展开式的各二项式系数的和为32 C．展开式的第6项的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 【变式7-3】（多选题）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有项 B．展开式的各二项式系数的和为 C．展开式中的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第项 题型八：三项式及多项式展开的相关问题（含通项、特定项求解） 【例8】（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【变式8-1】（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【变式8-2】（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【变式8-3】（25-26高三上·广东·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 4．（25-26高二上·北京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．4 B． C．8 D． 5．（多选题）（25-26高二·全国·假期作业）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．所有项的系数之和为1 C．含的项的系数为 D．常数项为 6．（25-26高三上·北京东城·月考）已知，则 ， ． 7．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为 8．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为10，则的值为 . 9．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知，若，则的值为 . 10．（25-26高三上·湖南·月考）已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为 ． 11．（25-26高三上·河北张家口·期末）在的二项展开式中，的系数为 （用数字作答）． 12．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）二项式的展开式中常数项为 . 13．（25-26高二上·北京·期末）若，则 ； ． 14．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是 . 15．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知，则 ． 16．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)各项系数和. 18．（25-26高二上·山东潍坊·月考）（1）潍坊市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等6名教师被随机地分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法.（结果用数字作答） （2）求除以的余数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $