函数的基本性质 期末复习专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025年秋期人教A版高一必修一函数的基本性质期末复习讲义 一、函数与求函数值 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 二．函数定义域 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为 . 7．函数的定义域为的定义域为 ． 三．同一函数判断 8．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（多选）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 四．函数值域 10．（多选）下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（多选）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（多选）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 13．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 14．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6） （7）. 15．求下列函数的值域： (1)； (2). 五．分段函数相关求值与求解析式问题 16．已知函数. (1)求的值；(2)若，求的值；(3)解不等式. 17．已知函数 (1)求，的值；(2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 18．定义运算，函数. (1)写出的解析式；(2)在坐标系中画出的图象 (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数 （1）若，求x的取值范围； （2）若恒成立，求b的取值范围. 六．函数解析式问题（主讲换元法与构造对偶式问题） 20．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 21．已知函数满足，求的解析式. 22．(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 七．幂函数 23．已知幂函数，且在区间上是严格增函数． (1)求的值；(2)设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 八．函数单调性与奇偶性 （一）单调性 24．若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 25．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 28．（多选）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（   ） A． B．任意给定， C． D．若，则 29．（多选）下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（    ） A．， B．， C．，且，有 D．，且，有 30．（多选）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 31．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . （二）奇偶性（一般的对称性） 32．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 33．已知定义域为的函数满足，则（ ） A． B． C．0 D．2 34．已知函数满足，函数．且与的图象交点为，则（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 35．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 36．（多选）若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（    ） A．函数图象关于直线对称 B． C．函数图象关于点中心对称 D．当时， 37．（多选）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．当时，函数在上单调递增 D．当时，函数的最小值为0 38．已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，则 . 39．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是 . 40．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 41．函数图象的对称中心是 ． 42．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求证：当时，恒有； (2)求证：函数在上是增函数； (3)若，求不等式的解. 43．已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 44．已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知为给定实数，求的表达式； (3)把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 九、幂函数的求值与最值 45．若幂函数的图像经过点，则 ． 46．幂函数在上单调递减，则 47．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)若，当时，求的最大值与最小值． 十、一次函数与二次函数 48．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 49．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 50．已知函数，. (1)若，求函数的值域； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 十一、函数与基本不等式 51．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是 . 十二、应用 52．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 53．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场影响力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为120台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为240万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）. (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 54．某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期人教A版高一必修一函数的基本性质期末复习讲义答案参考答案 题号 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 答案 B B D B B AC AB CD ABD AB 题号 24 25 26 27 28 29 30 32 33 34 答案 B C D ABD ABD BCD ACD A B D 题号 35 36 37 答案 D BC ABD 1．B 解：A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合.故选：B 2．B 解：函数，令，则，而， 所以.故选：B 3．D 解：由题意知，解得且，所以定义域为.故选：D. 4．B 解：因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为.故选：B. 5．B 解：函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为.故选：B. 6． 解：因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为.故答案为：. 7． 解：因为函数的定义域为，令， ，所以的定义域为， ，即， 所以函数的定义域为.故答案为：. 8．AC 解：对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误.故选：AC 9．AB 解：对于A，函数，其定义域为， 函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确； 对于B，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误； 对于D，对函数，有，解得， 则函数的定义域为， 对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：AB. 10．CD 解：对于A选项，为定义域上减函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于B选项，为定义域上增函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于C选项，函数为二次函数开口向下，对称轴在区间内， 又代入定义域可得值域为，符合题意， 对于D选项，分离常数可得， ，则，符合题意.故选： 11．ABD 解：要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，， (， 故ABD正确，C错误.故选：ABD 12．AB 解:对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 13．解:（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 14． 解：（1）函数中，分母， 则，故值域为； （2）函数中，令得， 易见函数和都是减函数， 故函数在时是递减的，故时， 故值域为； （3）， 故值域为且； （4）， 而，， ，， 即，故值域为； （5）由题意得，解得， 则， 故，，， 由y的非负性知，，故函数的值域为； （6）函数，定义域为，，故，即值域为； （7）函数， 令，则由知，，， 根据对勾函数在递减，在递增, 可知时，，故值域为. 15．解:（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以，所以函数的值域为. 16．解:（1）因为，所以， 因为，所以； （2）当时，，又，所以，解得，舍去； 当时，，又， 所以，故. 综上，的值为； （3）当时，，所以； 当时，，所以. 综上，原不等式的解集为. 17．解:（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 18．解:（1）， 则或. 则 （2）由（1）可得图象如下： （3）当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以 综上所述：. 19．解:（1）若，则，则等价为，解得，此时； 当时，，， 当即时，满足恒成立， 当，即时，， 此时恒成立.综上所述：. （2）若恒成立，即. 令， 当时，， 当时，在上单调递增，所以， 综上，的最小值是，所以. 20．解:（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 21．解:将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 22．解:（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 23．解:（1）因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上是严格减函数，所以不符合题意； 当时，在上是严格增函数，所以符合题意. 故. （2）当时，，又，解得， 时，， 当时，，因为为奇函数，所以，又， 24．B 解:因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减.故选：B 25．C 解:由反比例函数及二次函数的单调性可知， 若函数在R上单调递增， 有，可得．故选：C 26．D 解:由对任意，都有， 所以在上单调递减， 所以， 解得，也即．故选：D． 27．ABD 解:对于A，由，得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，且，，故B正确； 对于C，因为在和上单调递减， ， 所以函数在和上单调递减，但在定义域上不单调，故C错误； 对于D，由C选项知，函数在上单调递减，又，所以函数的值域为.故D正确.故选：ABD. 28．ABD 解：任意给定，函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确，故选：ABD. 29．BCD 解:对A：构造函数，则恒成立， 当，，故不是上的增函数，故A错误； 对B：对且，令，则， 则，即， 故为上的增函数，故B正确； 对C：对且，有，则， 故为上的增函数，故C正确； 对D：对且，有， 由，则， 故为上的增函数，故D正确.故选：BCD. 30．ACD 解:对A：令得：，故A正确； 对B：由题意，故B不正确； 对C：设，则， 因为，所以，即， 所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以 ，故D正确.故选：ACD 31． 解:， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是故答案为：. 32．A 解:因为是定义在上的奇函数，所以，， 又，所以， 所以，即， 所以是一个周期为4的周期函数， 所以， 因为当时，，所以， 又，所以， 所以.故选：A 33．B 解:由， 由， 所以， 所以，所以该函数的周期为， ， ， 在中，令，得， 令， 得， 因为该函数的周期为， 所以， 所以， 所以.故选：B 34．D 解:函数满足，则函数的图像关于点对称. 函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称. 与的图像的8个交点，也两两关于点对称. 则.故选：D. 35．D 解:因为是定义在上且周期为2的偶函数， 则，又因为当时，， 所以.故选：D. 36．BC 解:因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以关于对称，故A错误； ， 所以 所以函数的周期为4 ，，故B正确； 要证明函数图象关于点中心对称，需证明。 由题意，，又因为为奇函数， 又， 因此，故C正确； 因为当时，， 设，则， 所以， 当时也成立， 所以当时，，故D错误.故选：BC. 37．ABD 解函数， ，解得， 故函数的定义域为，故A正确， 又，函数为偶函数，故B正确， ， 令，在上单调递减，而当时，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，故C错误， 令，在上单调递增，在上单调递减， 而当时，在上单调递减， 当时，内函数取得最大值1，此时函数取得最小值，故D正确.故选：ABD. 38． 解:是定义在上的奇函数，故， 又当时，，故， 所以. 故答案为： 39． 解:当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 40．1 解:由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以．故答案为：1 41． 解:由题设，故函数图象的对称中心为. 故答案为： 42．解:（1）证明：已知定义在上的函数满足， 令，则， 又当时，，所以，即， 当时，则.在中， 令，有，所以， 综上：当时，恒有 （2）证明：设是上的任意两个实数，且， 则，且， ， 由第一问可知当时，恒有，且， 所以， 因此函数在上单调递增； （3）若，求不等式的解， 在中，令，则，即， 令，则， 不等式等价于， 即，即， 所以不等式的解集为. 43．解:（1）为定义域上的奇函数， 证明：易知为定义域为，关于原点对称， 又由，故为奇函数； （2）函数在上单调递增， 证明：任取，且， 可得， 分子， 当、同号时，不妨设，，则， 此时， 当、异号时，不妨设，， 则，且， 此时， 又因为，所以， 即，故为上的增函数； （3）由为奇函数， 由，可得， 又因为为定义域上的增函数，从而有对于任意实数恒成立， 即对于任意实数恒成立， 当时，不等式化为恒成立； 当时，要使对于任意实数恒成立， 则需要满足， 解不等式组得， 综上所述，的取值范围为. 44．解:（1）当 时，， 因为 ，所以 为奇函数， 当 时，，， 所以 ，， 所以 不是奇函数也不是偶函数， 综上，当时，函数为奇函数， 当时，函数即不是奇函数也不是偶函数； （2）因为方程 的两个实根为 、， 即方程 的两个实根为 、； ，所以 ，， ， ， ， （3）（i）函数 在 上是单调递增函数； 证明：任取 ， 则， 因为 ，所以 ，， 两式相加得 ， 又因为 ， 所以 ， 所以， 又因为，所以，所以， 所以函数 在 上是单调递增函数. （ii）由（i）知函数 在 上单调递增函数， 则 ， 因为 恒成立，即 恒成立， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以，即 故 的取值范围是 . 45．8 解:设幂函数 ，由其图像经过点 ， 得：， 得：， 得：，即， 因此 ， . 故答案为 ：8. 46． 解:因为 所以，解得或， 当 时， 在 上是增函数，不符合题意， 当 时， 在 上是减函数，符合题意， 综上，.故答案为： 47．解:（1）由幂函数，得，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以. （2）由（1）得，则， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以的最大值与最小值分别为. 48． 解:函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，.故答案：. 49．解:（1）函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若在上单调递增，则，即， 所以实数的最大值为； （2）当时，. （i）令，则，即，解得. 所以不等式的解集为； （ii）易知在上单调递减，在上单调递增，且，. 若在上的值域为，则. 当时，. 在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 若在上的值域为，则，即，即， 解得.综上所述，实数m的取值范围为． 50．解:（1）当时，， 所以函数的值域为. （2）不等式，即，即， 对任意，不等式恒成立， 即不等式对任意恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）由题意得，， 函数在上单调递增， 所以， 函数的对称轴为， ，， 当时，函数在上单调递增， 所以， 此时，不可能是的子集，不符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以， 所以，解得.综上所述，的取值范围为. 51．解:当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得.故答案为： 52．解:（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 53．解:（1）由题意可知：， 当时， ； 当时，； 所以, （2）因为， 若，则，当且仅当时，等号成立； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是280万元. 54．解:（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $