2025-2026学年安徽省合肥市九中高二上学期期末模拟数学试卷

数学试题 注意事项： 1,答卷前、考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知数列{a.}的通项公式为an=2n2-7n十3，则下列说法正确的是 A.a1<0 B.a3>0 C.a3-a D.数列(an}从第4项起是递增的 2.以下关于双曲线C:16x2一9y2=144的说法，错误的是 5 A.焦点在x轴上 B离心率e=3 C.虚轴长为6 D渐近线方程为y= 3 3.已知函数f(x)=x2e2,则f'(-1) A.e B日 C、 D.-e e 4.已知直线l:x+2y+3=0,圆M:x2十(y-a)2=5.若直线l与圆M相离，则实数a的取 值范围是 Λ(-∞，-4) B.(1,+c∞) C.(-∞，-4]U[1,+∞) D.(-∞，-4)U(1,+∞) 5已知FR分别是箱圆C导+ =1(a>b>0)的左、右焦点，直线AB过点F,且垂直 于x轴，与椭圆C交于A,B两点若△F:AB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为 √3 AN3-1 B.2-1 D. 6.已知数列{an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S.若5a3,a5,9a4成等差数 列，则 1 A126 B.124 C.26 D.24 7抛物线有这样的光学性质：平行于抛物线的对称轴射人一条光线，经抛物线上一点反射 后，反射光线一定经过抛物线的焦点.已知抛物线C:y'=12x的焦点为F,一束平行于抛 物线C的对称轴的光线从点M(5,4V3)出发，经抛物线C上的点A反射后，反射光线所 在的直线与抛物线C交于另一点N,则线段FN的长度为 A号 B吗 C.7 8.当x>1时，关于x的不等式(2x一1)e2-a(x-1)≤0仅有两个正整数解，则实数a的取 值范围是 A4e2,3e2) aa名y C.[ 749 2 D.) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-一A,B,C,D1中，P是侧面BCC,B,内一点（含边界）， 则下列说法正确的有 A若P是BB,的中点，则D驴=A店-AD+2AA D B B.存在点P,使AP⊥BD C,当点P在线段BC,上时，直线DP与平面BCC,B,所成角的正切 值最大为3 D.当点P在线段B,C上时，直线D,P与平面A,BD平行 10.已知函数)-号-+a,则下列说法正确的白 A.当a=-3时，函数f(x)有3个零点 B.当a=1时，函数f(x)有2个极值 C.若a>3,则函数∫(x)在R上单调 D.当a=-2时，函数f(x)在(2，十∞)上单调递增 风第2页（共4页） 11.已知数列{an},(bn)均为递增数列，数列{a.}的前n项和为S.,且满足am十am+1=2n, b。·b.+1=2”,则下列结论正确的有 A.0<a1<1 B.√2<b1<2 C若a1=0.5,则S.=2 D.数列(b2m}是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在数列a.中，a,=-1,上=2+5m∈N,则数列a,的通项公式为a,- antl an 13.已知空间向量a=(x,2,0),b=(3,2一x,x),且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值 范围是 14.已知函数f(x)=2x',若曲线y=f(x)在点A(a,2a)处的切线与直线x=a,y=0所 围成的三角形面积为9则。= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在数列(a.}中，am+1=3an+2n一1，a1=2. (1)证明：数列{a.十n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和S. 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F,(一√3,0)，F,(√5,0)，△PF1F2的周长为 4+23. (1)设点P的轨迹为曲线C,求曲线C的标准方程并指出曲线C是什么曲线， (2)已知点A,(-2,0),A2(2,0),B1(0,1),B,(0,一1)，设点P在第一象限，求四边形 PB:B2A,面积的最大值 17.(15分)已知圆C经过点A(-1,2)和B(1,4),且圆心C在直线x一y+1=0上 (1)求过点(3,5)且与圆C相切的直线方程； (2)已知点P在直线l:x-2y-8=0上，M(一2,0)，点Q在圆C上，求|PM|+|PQ|最 小值. 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,AB⊥AD,AB= 2CD=4,PA⊥CD.△PAD是锐角三角形，且AD=PD=3√2 (I)求证：平面PAD⊥平面ABCD, (2)在校PD上是否存在-点E,使PB/平面ACE?,若存在，求出器的值，若不存在。 请说明理由 (3)若直线AC与平面PCD所成的角为30°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. D 19.17分)已知函数f(x)=a.x-e(a∈R),g(x)=x(z-lnx).C (1)判断函数f(x)的极值点个数： (2)若f(x)≤g(x恒成立，求实数a的取值范围； (3)讨论方程f(x)=g(x)的实数根的情况. 数学参考答案及评分意见 1-8 ACCDB ABC 9-10 ABD AC 11.ACD【解析】因为数列(a.是递增效列.所以a,<a,<a.又因为a,+d,一21，所以a,+u,=2>2a,解得 a1<1ar+a,-4<2…解得a,>2.ha1十a,=2a1+a,=1,得a,-a1+2.由a,>2,得a1>0,综上，0<a1< 1,故入正确 因为a十a1=2n.所以a4,+a.1-2(n+1).两式相减，得a。,一a,=2,所以数列(a.)的奇数项和佃数项分 别是等差数列、且公差都为2.当a1=0.5时.a1=1.5,所以a.-1=0.5+2(n-1)=2n一1.5=2m一1-0.5， c-1.5+2(n-1)=2m-0.5n∈N·,所以a、=n-0.5,即数列(.)是首项为0.5，公差d=1的等差数列，所 以S.n05+n-05》=7故C正确 2 因为数列{b.)是递增数列，所以b1<b:<b1.因为b.·b1=2”.所以b.≠0b,1·6.+:=21,所以b.1=2b. 所以数列(6)是首项为b:,公比为2的等比数列.故D正确 若b.<0.则b.:=2b.<b.,与题意不符.所以b.>0.因为b,b1一2>b,所以b,<2,故B错误.故选ACD. 122}5【解折1因为。士-2+5，所以+5-2+10=22+5因为a,=-1,所以上+5=4≠0.所以 a+d a。 la. 数列后侣+5到是背项为4，公比为2的等比数列，所以士+5=4×2=2”， 所以1=21-5所以，=21-写 13.(-co,一4)【解析】因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0,且a与b不共线.因为a=(r,2,0),b=(3,2 x,x),所以a·b=3x+4一2x+0<0,解得x<一4. x=3以 若a与b共线，则存在负实数1.使得a一Ab,即2=A(2-x).方程组无解.所以实数x的取值范围是（一∞，一4）. 0=Ax, 14.士2【解析】因为f(x)=2x',所以(x)=6z2.所以曲线y-f(x)在点A(a,2)处的切线的斜率为 f'(a)=6a°，由越意得a≠0.所以切线方程为y一2a'=6a'(r-a),即y=5a'x一4a'.设切线与x轴的交点为 点B,直线1=a与：轴的交点为点C.则在切线方程中，令y=0解得x=号0，所以B(子.0因为C(a,0)。 所以△ABC的面积5-吉AC·BC-片×2e-号a-号南题意，0号-9解得a-士2 15.(1)证明：因为a.+1=3a.12n-1, 所以a+1十n十1=3a.十3切=3(a,十n）.……*…3分 又因为a1=2.所以a1十1=3， 所以数列(。十n)是首项为3，公比为3的等比数列.……………6分 (2)解：由（门）得a.十n=3X3-1=3”,所以a,=3°一.…8分 所以S.=u1+a:十…十a.=(3-1)+(32-2)++(3-n) =(30+3+…+3)-1+2+…+n)=3x1-3)_1+m 1-3 2 1 1 吃3-1）2f2刀23一1n-3》……………u…………13分 16.(1)解：因为点F,(-5,0),F:(3,0),所以1F,F:=25 因为△PF:F:的周长为4+23，所以|PF,I+|PF:|=4>25 内椭圆的定义，得点P在以F,F:为左、右焦点，长轴长为4的桶图上。………3分 因数举海案前3亮共6可 及椭闲的标准方程为名+=1（口>力>0，则在椭厕中a=2,=月，所以6：=了 所以椭圆的标准方程为y.……5分 因为点P是△PF,F:的顶点，所以点P不在直线F,F,上， 曲线C的标准方程是十y=y≠0，曲线C是热点在1轴上，不含左右顶点的椭圆。一 2)由1知点名AB8,分别是箱周+y=1左右上，下顶点 如图，△0B:A:的面积Sao:=左×2X1=1. …9分 设P(m,n)(m>0,n>0),则m +n2=1. 四边形0A,P8,的面积55a-S6+S6m-名×2Xa十×1Xm-受n≤得+时可-。 当且仅当贺=，即m=反m=2。 )时等号成立……13分 所以Sau0PB,B:A:=S△0a:4:十SB电8nA:P,≤]十√2 名时四边形PB,B,A:的面积取得量大值，为1+2.一 17.解：(1)因为圆心C在直线x一y十1=0上，所以设C(m,m十1).…………1分 因为圆C经过点A(一1,2).B(1.4),所以|CA|=1CB1,所以|CA|2=|CBP. 即(m+])+(m-1)2=(m-1)2+(m-3)3.… …3分 解得m=1,所以圆心C(1.2),半径r=|CA|=1-(-1)=2. 所以圆C的方程为（红一1）十(y一2)=4. …5分 当过点(3.5)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=3,圆心C(1.2)到直线x=3的距离为2=7，所以直线 工=3与圆C相切，符合题意………………6分 当过点(3,5)的直线的斜率存在时，设直线方程为y-5=k(x-3).即kx一y-3歌+5=0. 直线与圆C相切时，圆心C,2到直我x一y一张+5=0的距离12欢十32，解得大二，所以级 √+I 方程为y-5--》.印5x-12y十5-08分 综上，过点(3.5)且与圆C相切的直线方程为x=3或5x一12y十45=0.… ………9分 (2)设点M(-2.0)关于直线x-2y-8=0对称的点为N(a.b). -2-b-8=0 2 则 解得2， 则N(2,-8). 12分 b=-8, a+2=-2, 因为点M.N关于直线1对称.点P在直线1上，所以IPM=|PN|, 所以IPMI+IPQI-IPN1+IPQI≥|PN|+IPCI-r≥ICNI-2=√1oT-2, 当且仅当N,P,QC四点共线，且Q在线段NC上时，等号成立， 所以|PM1PQ|的最小值为10T-2,… …15分 18.(们)证明：在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD,AB⊥AD,所以CD⊥AD.…1分 又因为PA⊥CD.PA∩AD=A.PAC平面PAD.ADC平面PAD. 所以CD⊥平面PAD.…3分 又因为CDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…4分 (2)解：如图.连接BD,交AC于点O,连接OE 因为PBC平面PBD.平面PBD∩平面ACE=OE, 所者PB/早面ACE图PB/OE,器-8器 …6分 在梯形ABCD中，因为AB/CD,AB-2CD.所u88-铝-2 所以器-2 存在点E使PB/平面ACE此时明2。… (3)解：由(1)知CD⊥AD,以点D为坐标原点，分别以DA,DC所在直线为x轴y轴，速立如图所示的空间直 角坐标系 因为AB=2CD=4,AD=PD=32,所以D(0,0,0),A(32,0,0),C(0,2.0),B(32,4.0). 所以DC=(0,2,0),AC-(-32,2,0).… 10分 设∠PDA=00<0<）则P3Eco0,0.3vEn,所以Di=(3Ecos0.03Esh》. 设平面PCD的法向量为n=(x,yx). 则·c-0,m2-=0. n…D市=0,32xcos0+32:sim0=0. 令x-sm0,则x=-cos0y=0.所以n=(sin0.0.一c0s8).……12分 因为直线AC与平看PCD所彼的角为30所以如30-ox6C-方甲-0-专 √/22X1 所以c- -.)丽-慢4-)-(- ……13分 设平面PBC的法向斌为m=(1y1:, +2y,+ 52 则/·C-0. 210, m·PB=0, =0 令1=22.则x1=-夏y=3,故m=(-2.322).…… 15分 m·ml-√226 设平面PBC与平面PCD的夹角为a,则cosa=|cos(m,n)1= mn丽x13 放平西PBC与平面PCD夹角的余整值为号 …17分 19.解：(1)因为f(x)=ar-e',所以f气r)=a-c'. …1分 当a≤0时.f'(x)<0恒成立.则函数fx)在R上单调递减，函数f(红)无极值点，…2分 当a>0时，由f'(x)<0.得r>lna,则丙数fu)在(lma,十o)上单剥递或， 由f'(x)>0,得x<lna,则函数f(z)在(-oo,lnu)上单调递增 所以了=na为f(x)的极大值点，且∫(x)无极小值点………5分 综上所述.当a≤0时，函数f(x)在R上的极值点个数为0：当a>0时.函数f(x)在R上的极值点个数为L. …6分 (2)由题意.不等式f(x)≤g(x).即ax-c≤x'-rlnx,x>0. 即as 一n江十工在(0，十0四)上恒成立.……………7分 设ma)=￡-nr+.则m'1=女-De+ 当x∈(0,1)时，m'(x)<0,函数m(u)在(0,1)上单调递减： 当x∈(1，+∞)时，m'()>0,函数m(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以当x=1时，函数m(G)取得最小值，最小值为m(们)=c十1………………1】分 所以a≤c十1，放实数a的取值范围为(-6∞，c十1]………」2分 (3)方程fx)=g)即ar-g=r-rn1z>0,即g-hr+=a 设m(x)=￡-nr十，则方程)=g红)的实数根的个数，即函数m()的图象与直线y=a的交点个数。 由(2)知，丙数m(r)在(0,1)上单调递诚，在(1，十∞)上单调递增， 当x=】时，函数m(x)取得最小值e十I, 又当x+0时，m(x)++0,当r→十o∞时，m(x)十o2, 所以当a<e十」时.函数m(x)的图象与直线y=a没有交点，当a=e十1时，函数mG)的图象与直线y=u只 有1个交点，当a>c十1时，函数m(x)的图象与直线y=:有2个交点 所以当a<e十1时，方程f（x)=:(r)没有实数根：当a=e十1时，方程f(:)=g(x)有1个实数根，当a>e十 1时，方程∫江)=g(r)有2个实数根.……………………17分