专题05 导数的综合问题（思维导图+9大知识点+9大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题05 导数的综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：构造函数求解不等式 4 知识点二：不等式的证明 4 知识点三：恒成立问题 4 知识点四：能成立问题（存在性问题） 5 知识点五：函数零点问题 5 知识点六：方程的根的求解问题 6 知识点七：双变量综合问题 6 知识点八：导数实际应用问题 7 知识点九：极值点偏移问题 7 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：构造函数解不等式问题 9 题型二：不等式的证明问题 9 题型三：恒成立求参问题 9 题型四：能成立（存在性）问题 10 题型五：函数零点判定问题 11 题型六：方程的根的分布问题 12 题型七：双变量恒成立与最值问题 13 题型八：导数的实际应用问题 14 题型九：极值点偏移探究问题 15 05 强化训练 18 知识点一：构造函数求解不等式 核心方法：根据不等式结构特征，构造单调性可判断的辅助函数，利用函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系． 常用技巧 （1）移项使不等式一端为0，将另一端设为辅助函数（如构造）； （2）常见构造模型：构造、构造、构造； （3）先求辅助函数的定义域，再求导判断单调性，结合已知特殊点（如、）确定自变量范围． 知识点二：不等式的证明 核心方法：将证明问题转化为函数最值/极值问题，通过求函数的最值证明“函数恒大于/小于某常数”． 常用技巧 （1）单变量证明：移项构造函数，求导找的单调区间，证明或； （2）含参数证明：若参数范围已知，可通过参数放缩转化为无参函数证明；若参数任意，可先求参数的最值再结合函数证明； （3）常见放缩技巧：、（）、（），需注明等号成立条件； （4）分段证明：当函数在不同区间单调性不同时，分区间讨论最值． 知识点三：恒成立问题 核心方法：分离参数法或直接构造函数法，转化为“函数最值问题”，核心结论： 恒成立 ； 恒成立 ． 常用技巧 （1）分离参数优先：将参数与自变量分离（如），构造新函数求最值，避免分类讨论； （2）无法分离参数时：直接构造含参函数，对求导，根据参数范围分类讨论函数的单调性与最值； （3）端点验证法：若不等式在区间端点成立，可先验证端点处函数值，再结合导数判断区间内单调性． 知识点四：能成立问题（存在性问题） 核心方法：转化为函数能取到某一范围的值，核心结论与恒成立相反： 存在使能成立 ； 存在使能成立 ； 存在使 ． 常用技巧 （1）区分“任意”与“存在”：核心是判断取最大值还是最小值，可通过“任意找最大，存在找最小”快速记忆； （2）双变量存在性问题：分别求两个函数的最值，再比较最值大小； （3）与恒成立结合的问题：先拆分两个问题的最值要求，再联立求解参数范围． 知识点五：函数零点问题 核心方法：利用零点存在性定理+函数单调性，判断零点个数；若含参数，结合参数范围讨论零点的个数与分布． 常用技巧 （1）零点存在性定理：若函数在[a，b]上连续，且，则内至少有一个零点； （2）唯一零点证明：先证在区间上单调，再证区间两端点函数值异号； （3）多个零点讨论：求导找函数的单调区间与极值点，计算极值与区间端点的函数值，根据极值的正负判断零点个数； （4）极限分析：当区间为开区间（如或），通过极限判断函数值的趋势（如）． 知识点六：方程的根的求解问题 核心方法：将方程根的问题转化为函数零点问题，即的根的零点，后续方法同知识点五． 常用技巧 （1）方程变形：将复杂方程（如含指数、对数）变形为两个简单函数相等，即，根的个数与图像的交点个数； （2）数形结合：当变形后的函数图像易绘制时（如一次、二次函数，反比例函数），通过画图直观判断交点个数与根的范围； （3）根的个数讨论：结合参数范围，分析函数与的单调性、极值、最值，判断交点个数的变化． 知识点七：双变量综合问题 核心方法：消元法或构造单变量函数，将双变量（）问题转化为单变量问题，常见思路：设（齐次式）或，将其中一个变量用另一个变量表示． 常用技巧 （1）齐次式处理：若条件为，且函数含齐次项，设（且），消去一个变量； （2）定主元：将其中一个变量视为自变量，另一个视为参数，求导分析单调性； （3）利用函数单调性：若单调，由可得；若不单调，结合极值点划分区间讨论； （4）常见模型：、、的范围求解，可结合极值点偏移思路（知识点九）． 知识点八：导数实际应用问题 核心方法：建立数学模型，将实际问题转化为“函数最值问题”，步骤：设变量→列函数解析式→求导求最值→验证实际意义． 常用技巧 （1）变量设定：选择影响问题的核心量为自变量（如长度、时间、产量），注意自变量的实际取值范围（如、）； （2）解析式构建：根据实际问题的数量关系（如利润=收入-成本、面积=长×宽）列函数，注意化简（如合并同类项、分离常数）； （3）最值求解：求导找极值点，判断极值点是否在自变量取值范围内，若在，则极值点即为最值点；若不在，则取区间端点为最值点； （4）实际验证：求解结果需符合实际意义，如长度、产量为正数，利润为非负数等． 知识点九：极值点偏移问题 核心方法：构造对称函数，证明“极值点两侧的函数值变化快慢不同”，核心思路：若的极值点为，且（），证明（或）． 常用技巧 （1）步骤固定：①求的极值点；②构造对称函数；③求的导数，判断在某区间的单调性；④结合，得的正负，进而推出与的大小关系；⑤由，结合单调性得与的大小关系，证明结论； （2）常见构造：若极值点为，则构造；若极值点为，则构造； （3）对数平均不等式：对于正数，有，可快速证明极值点偏移问题（需先证明不等式成立）； （4）双变量换元：设，将转化为关于的单变量不等式，再证明． 题型一：构造函数解不等式问题 【例1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型二：不等式的证明问题 【例2】已知函数．当，时，求证：．（参考数据：） 【变式2-1】（2026·广西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【变式2-2】（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【变式2-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 题型三：恒成立求参问题 【例3】（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是减函数，求的取值范围； (3)当时，，求的最大值； 【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【变式3-2】（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【变式3-3】（25-26高三上·福建泉州·月考）已知函数的图像在点处的切线方程为． (1)用实数a分别表示出实数b和c； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 题型四：能成立（存在性）问题 【例4】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【变式4-2】（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【变式4-3】（25-26高三上·广东揭阳·月考）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式，并求在点处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 题型五：函数零点判定问题 【例5】已知函数，当时，试判断的零点个数并证明． 【变式5-1】（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【变式5-2】（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数． (1)若，求单调区间与最值； (2)讨论导函数的零点个数情况； 【变式5-3】（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 题型六：方程的根的分布问题 【例6】（2026·贵州毕节·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【变式6-1】（25-26高三上·安徽·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 【变式6-2】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【变式6-3】（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 题型七：双变量恒成立与最值问题 【例7】已知函数.若存在，，使得.证明：. 【变式7-1】（24-25高三下·海南·月考）已知. (1)求的单调区间； (2)设，是两个不相等的正数，证明： 【变式7-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 题型八：导数的实际应用问题 【例8】（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【变式8-1】（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【变式8-2】（25-26高三上·山东烟台·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【变式8-3】（24-25高二下·河北张家口·月考）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 题型九：极值点偏移探究问题 【例9】已知是函数的两个零点，且，求证：． 【变式9-1】设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【变式9-2】（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【变式9-3】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 1．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 4．（25-26高三上·河北沧州·月考）设函数，. (1)若存在大于0的零点，求a的取值范围； (2)设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 5．已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 6．（2026·四川绵阳·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的值. 7．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 8．（25-26高三上·全国·月考）已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 9．已知函数，讨论函数的零点个数. 10．已知，，，若方程在区间上有两个不相等的解，求的取值范围. 11．（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 12．（25-26高三上·湖北孝感·月考）已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 13．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 14．（23-24高三上·陕西西安·月考）已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 15．（24-25高二下·江苏苏州·月考）用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，设圆锥的高为h． (1)试将圆锥容积表示成关于高h的函数； (2)当扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大? 16．（24-25高二下·河北邢台·月考）将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）    (1)试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数． (2)试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？ 17．（2023·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 18．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数的综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：构造函数求解不等式 4 知识点二：不等式的证明 4 知识点三：恒成立问题 4 知识点四：能成立问题（存在性问题） 5 知识点五：函数零点问题 5 知识点六：方程的根的求解问题 6 知识点七：双变量综合问题 6 知识点八：导数实际应用问题 7 知识点九：极值点偏移问题 7 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：构造函数解不等式问题 9 题型二：不等式的证明问题 9 题型三：恒成立求参问题 11 题型四：能成立（存在性）问题 13 题型五：函数零点判定问题 16 题型六：方程的根的分布问题 19 题型七：双变量恒成立与最值问题 23 题型八：导数的实际应用问题 26 题型九：极值点偏移探究问题 31 05 强化训练 38 知识点一：构造函数求解不等式 核心方法：根据不等式结构特征，构造单调性可判断的辅助函数，利用函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系． 常用技巧 （1）移项使不等式一端为0，将另一端设为辅助函数（如构造）； （2）常见构造模型：构造、构造、构造； （3）先求辅助函数的定义域，再求导判断单调性，结合已知特殊点（如、）确定自变量范围． 知识点二：不等式的证明 核心方法：将证明问题转化为函数最值/极值问题，通过求函数的最值证明“函数恒大于/小于某常数”． 常用技巧 （1）单变量证明：移项构造函数，求导找的单调区间，证明或； （2）含参数证明：若参数范围已知，可通过参数放缩转化为无参函数证明；若参数任意，可先求参数的最值再结合函数证明； （3）常见放缩技巧：、（）、（），需注明等号成立条件； （4）分段证明：当函数在不同区间单调性不同时，分区间讨论最值． 知识点三：恒成立问题 核心方法：分离参数法或直接构造函数法，转化为“函数最值问题”，核心结论： 恒成立 ； 恒成立 ． 常用技巧 （1）分离参数优先：将参数与自变量分离（如），构造新函数求最值，避免分类讨论； （2）无法分离参数时：直接构造含参函数，对求导，根据参数范围分类讨论函数的单调性与最值； （3）端点验证法：若不等式在区间端点成立，可先验证端点处函数值，再结合导数判断区间内单调性． 知识点四：能成立问题（存在性问题） 核心方法：转化为函数能取到某一范围的值，核心结论与恒成立相反： 存在使能成立 ； 存在使能成立 ； 存在使 ． 常用技巧 （1）区分“任意”与“存在”：核心是判断取最大值还是最小值，可通过“任意找最大，存在找最小”快速记忆； （2）双变量存在性问题：分别求两个函数的最值，再比较最值大小； （3）与恒成立结合的问题：先拆分两个问题的最值要求，再联立求解参数范围． 知识点五：函数零点问题 核心方法：利用零点存在性定理+函数单调性，判断零点个数；若含参数，结合参数范围讨论零点的个数与分布． 常用技巧 （1）零点存在性定理：若函数在[a，b]上连续，且，则内至少有一个零点； （2）唯一零点证明：先证在区间上单调，再证区间两端点函数值异号； （3）多个零点讨论：求导找函数的单调区间与极值点，计算极值与区间端点的函数值，根据极值的正负判断零点个数； （4）极限分析：当区间为开区间（如或），通过极限判断函数值的趋势（如）． 知识点六：方程的根的求解问题 核心方法：将方程根的问题转化为函数零点问题，即的根的零点，后续方法同知识点五． 常用技巧 （1）方程变形：将复杂方程（如含指数、对数）变形为两个简单函数相等，即，根的个数与图像的交点个数； （2）数形结合：当变形后的函数图像易绘制时（如一次、二次函数，反比例函数），通过画图直观判断交点个数与根的范围； （3）根的个数讨论：结合参数范围，分析函数与的单调性、极值、最值，判断交点个数的变化． 知识点七：双变量综合问题 核心方法：消元法或构造单变量函数，将双变量（）问题转化为单变量问题，常见思路：设（齐次式）或，将其中一个变量用另一个变量表示． 常用技巧 （1）齐次式处理：若条件为，且函数含齐次项，设（且），消去一个变量； （2）定主元：将其中一个变量视为自变量，另一个视为参数，求导分析单调性； （3）利用函数单调性：若单调，由可得；若不单调，结合极值点划分区间讨论； （4）常见模型：、、的范围求解，可结合极值点偏移思路（知识点九）． 知识点八：导数实际应用问题 核心方法：建立数学模型，将实际问题转化为“函数最值问题”，步骤：设变量→列函数解析式→求导求最值→验证实际意义． 常用技巧 （1）变量设定：选择影响问题的核心量为自变量（如长度、时间、产量），注意自变量的实际取值范围（如、）； （2）解析式构建：根据实际问题的数量关系（如利润=收入-成本、面积=长×宽）列函数，注意化简（如合并同类项、分离常数）； （3）最值求解：求导找极值点，判断极值点是否在自变量取值范围内，若在，则极值点即为最值点；若不在，则取区间端点为最值点； （4）实际验证：求解结果需符合实际意义，如长度、产量为正数，利润为非负数等． 知识点九：极值点偏移问题 核心方法：构造对称函数，证明“极值点两侧的函数值变化快慢不同”，核心思路：若的极值点为，且（），证明（或）． 常用技巧 （1）步骤固定：①求的极值点；②构造对称函数；③求的导数，判断在某区间的单调性；④结合，得的正负，进而推出与的大小关系；⑤由，结合单调性得与的大小关系，证明结论； （2）常见构造：若极值点为，则构造；若极值点为，则构造； （3）对数平均不等式：对于正数，有，可快速证明极值点偏移问题（需先证明不等式成立）； （4）双变量换元：设，将转化为关于的单变量不等式，再证明． 题型一：构造函数解不等式问题 【例1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设，又，所以. 由，即. 所以，即. 故选：B 【变式1-2】（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得， 因为对任意时，都有， 所以，在上单调递增， 又因为函数为上的偶函数，可得也是上的偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，且图象关于轴对称， 由不等式，即， 即，所以，可得， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 题型二：不等式的证明问题 【例2】已知函数．当，时，求证：．（参考数据：） 【解析】当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 【变式2-1】（2026·广西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【解析】（1）因为，所以， 当时，可得，此时在上单调递增， 当时，令，， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， （2）由题意得， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，而， 可得，即得证. 【变式2-2】（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【解析】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 【变式2-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【解析】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 题型三：恒成立求参问题 【例3】（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是减函数，求的取值范围； (3)当时，，求的最大值； 【解析】（1）当时， 的定义域为，且． 令，得；令，得； 因此，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为在单调递减， 所以，即在恒成立． 令，则． 令，则 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的最大值为，所以的取值范围． （3）的定义域为，． 因为在上单调递增，所以． ①当时，对，有，所以在上单调递增， 则对，，所以符合题意． ②当时，令，得，所以在上单调递减， 所以当时，，所以不合题意，舍去． 综上，，所以的最大值为． 【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【解析】（1）由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. （2）由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 【变式3-2】（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 【变式3-3】（25-26高三上·福建泉州·月考）已知函数的图像在点处的切线方程为． (1)用实数a分别表示出实数b和c； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）的定义域为，，又由切线方程可得， 所以且， 则，； （2）由（1）可知， 则可转化为在上恒成立， 设，定义域为，，， ， 当时，即时，当时，， ∴在内单调递减， ∴，这与题意不符， 当时，时，当时，，∴在内单调递增， ∴，即恒成立，仅当时等号成立， 综上所述，实数a的取值范围为. 题型四：能成立（存在性）问题 【例4】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【变式4-1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【变式4-2】（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 【变式4-3】（25-26高三上·广东揭阳·月考）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式，并求在点处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【解析】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，符合题意； ，又 于是在点处的切线方程为，即. （2）由，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是. 于是在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，最小值为， 若存在，使得不等式成立， 则当时，，所以，即. 题型五：函数零点判定问题 【例5】已知函数，当时，试判断的零点个数并证明． 【解析】解法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，单调递减． 时，，单调递增．   当时，，． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增，所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和．      解法二：当时，，故2是的一个零点， 令，又，所以． 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以．     下证． 令，则．   当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而，所以当时，， 所以， 即 令，则有，则．       易得当时，， 所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点 【变式5-1】（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，故， 令，得，， 曲线在点处的切线方程为， 因为切线与轴相交于点， 将代入切线方程得， 即，. 即，， ，令，得或， 当或时，，故在，上单调递增； 当时，，故在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）由（1）知函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 故函数在处取得极大值，在处取得极小值， 因为函数有三个零点，即方程有三个实数根， 且当时，，当时，， 故，所以， 即实数的取值范围是. 【变式5-2】（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数． (1)若，求单调区间与最值； (2)讨论导函数的零点个数情况； 【解析】（1）当时，，求导得. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 的最小值为，无最大值. （2），其零点个数等价于方程的解的个数. 令（），求导得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 的最大值为；当时，；当时，. 当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 【变式5-3】（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 【解析】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 题型六：方程的根的分布问题 【例6】（2026·贵州毕节·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以. 又，， 所以在点处的切线方程为：. （2）因为函数定义域为，， 因为时，，所以在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以，当时，有极小值，且. 且当时，， 时，， 所以若关于的方程有两个不相等的实数解，. 【变式6-1】（25-26高三上·安徽·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题知 所以. 由题意可知， 解得或(舍去)，所以； （2）由(1)知 ， 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 即函数的极大值 ，函数的极小值 . 由于当时，，当 时， ，当时，， 可知当有三个实数根时，. 【变式6-2】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 【变式6-3】（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数，，， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． （2）设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值为，在处取得极大值为， 由过点存在条直线与曲线相切，得方程有个互不相同的解， 即直线与函数的图象有个交点， 观察图象得当时，直线与函数的图象有个交点， 所以实数的取值范围是． 题型七：双变量恒成立与最值问题 【例7】已知函数.若存在，，使得.证明：. 【解析】由函数，可得，， 设，由，可得，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，故， 由，得，即， ，即，整理得， ， 故，得证! 【变式7-1】（24-25高三下·海南·月考）已知. (1)求的单调区间； (2)设，是两个不相等的正数，证明： 【解析】（1）由，，得， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以的单调递增区间为，无递减区间. （2）证明：不妨设，因为， 又， 所以， 设，则 . 设，， 因为， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以，即. 【变式7-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【解析】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． （2）由（1）知，，即， 当时，  ． ． ． （3） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得，      要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 题型八：导数的实际应用问题 【例8】（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【解析】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 【变式8-1】（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【解析】（1）当时， ； 当时， ， 所以，其中. （2）当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 【变式8-2】（25-26高三上·山东烟台·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【解析】（1）由 题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上，； （2）当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 【变式8-3】（24-25高二下·河北张家口·月考）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 【解析】（1）设产品单价为元，根据题意有（为比例系数），当时，， 所以，从而有，故. 设总利润为（单位：万元），则. （2）由，可得， 令，得，当时，；当时，， 所以当时，取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为万件. 题型九：极值点偏移探究问题 【例9】已知是函数的两个零点，且，求证：． 【解析】当时，，0不是的零点； 当，问题可以转化为曲线与直线有两个交点， 曲线求导得，当时，；当时，；当时，， 在和上单调递减，在上单调递增，且时，， 当时，，当时，，如下图所示， ，且，，则有， 要证，即证，即证． 令，，，不等式转化为，即证明， 设，求导得， 令，求导得，，， 单调递增，， 单调递增，． 原不等式成立，即，命题得证． 【变式9-1】设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【解析】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 【变式9-2】（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【解析】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 【变式9-3】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【解析】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 1．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 因为在上，恒成立，则， 可知在上单调递增，不等式即， 又，则， 所以，由在上单调递增， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 3．（2025·陕西汉中·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【解析】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 4．（25-26高三上·河北沧州·月考）设函数，. (1)若存在大于0的零点，求a的取值范围； (2)设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 【解析】（1）易知函数在R上单调递增，且时，， 若存在大于0的零点，则，即. 令，易知函数在R上单调递增， 因为，所以要使，只需， 即的取值范围为. （2）易知，设切点为， 则切线为， 由于是切线上一点，故， 要证，即证， 等价于证明， 设，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，故， 也即得证. 5．已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解析】当时，恒成立，此时；              当时，问题转化为对任意的恒成立，     令，则， 令， 则， 因为，所以，则在上单调递增， 又因为，故当时， 则在上单调递减； 当时，则在上单调递增， 所以，所以 当时，问题转化为对任意的恒成立， 仿上设函数，则有， 因为，所以，则函数在上单调递减， 所以， 故当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，所以 综上所述，的取值范围为． 6．（2026·四川绵阳·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的值. 【解析】（1）当时，， , ,, 在点处的切线方程为， 即； （2），令， 则， ，， ①当时， 时，，单调递减， 由于，则， 时，，单调递增， 由于，则时，， 时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以符合题意； ②当时，，存在使得， 当时，，单调递减， 不符合题意； ③当时，， 则存在，使得当时，，单调递增， 则不符合题意； 综上. 7．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【解析】（1）因为，且是极值点， 所以，即，得，此时， 由得；得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点， 综上，； （2）原命题的否定为，，， 假设其为真命题，则，解得， 下面证明：时，在恒成立， 因为， 令，则， 由得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即证. 所以当命题，使得为真命题时，， 故a的取值范围为 8．（25-26高三上·全国·月考）已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）方法一：存在使得成立， 即存在使得成立 设，， 令，， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， ， 方法二：，， ①当时，，函数在上单调递增，因为， 所以总存在使得成立 ②当时，令解得；令解得， 故此时函数在上单调递增，在上单调递减， 因为存在使得成立， ， 综上所述，； （2）由（1）可知，当时，在恒成立， 所以函数在恒成立， 方法一：问题转化为在恒成立， 设，，， 设，当，， 在单调递增， 当，， 故，在单调递增， 根据洛必达法则，， ， ； 方法二：设，， ①当时， 在恒成立，在单调递增， ，即在恒成立， ②当时， 由，解得，在单调递增， 由，解得，在单调递减， ， 即在不能恒成立，舍去； 综上所述，. 9．已知函数，讨论函数的零点个数. 【解析】由，得, 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以， 据此可画出大致图象如图， 所以①当或时，无零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有两个零点. 10．已知，，，若方程在区间上有两个不相等的解，求的取值范围. 【解析】∵方程在区间上有两个不相等的解， 即在上有两个不同的解， ∴与，有两个不同的交点， ， 由得；得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， 又，则， 故的取值范围是. 11．（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，函数的定义域为， 求导得，由可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，，化简得， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，恒成立，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值， 且当；当，且， 故可作出函数的图象如下. 由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.， 故的取值范围为. 12．（25-26高三上·湖北孝感·月考）已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数，，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 所以函数的最大值是18，最小值. （2）设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点存在3条直线与曲线相切，得方程有3个互不相同的解， 即直线与函数的图象有三个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象得当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以实数的取值范围是. 13．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以（c为常数）． 因为，所以， 所以． 又， 所以曲线在点处的切线的方程为， 即， 所以经过定点． （2）令，可得． 因为，满足，且， 所以关于的方程有两个不相等的正实数根， 则， 所以 ， 令函数， 则， 令，得， 因为当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，， 所以的取值范围为， 即的取值范围为． 14．（23-24高三上·陕西西安·月考）已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 【解析】（1）因为函数，定义域为， 所以， 当时，在上恒成立，所以在单调递增； 当时，令，即，解得， 令，解得或， 所以在单调递增，在单调递减； （2）由题可知，，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根， 则， 所以 ， 所以，要证， 即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， 所以，在上单调递增，则， 即， 所以原不等式成立． 15．（24-25高二下·江苏苏州·月考）用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，设圆锥的高为h． (1)试将圆锥容积表示成关于高h的函数； (2)当扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大? 【解析】（1）设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 即. （2）由（1）可得， 则， 令，解得． ∴ 当时容积最大，把代入得， 由得，即圆心角为时容积最大． 16．（24-25高二下·河北邢台·月考）将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）    (1)试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数． (2)试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？ 【解析】（1） 根据已知条件，得到如上图所示图形， 已知条件有正八边形的内角为，所以， ，，设，， 在中，，解得， 在中，，，所以， 所以， 正八边形面积为：， 所以正八棱柱纸盒的容积： ，. 即，. （2）因为，， 所以，， 所以，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，，单调递减， 由此可知当时，取得极大值即最大值. 17．（2023·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【解析】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 18．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【解析】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $