第10讲 概率统计与其它知识点的交汇讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳）-2026年高考数学二轮复习概率统计部分（新高考通用）

第10讲：概率统计与其它知识点的交汇 目录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 5 题型01: 概率、统计和函数的综合问题 6 题型02：概率、统计和数列的综合问题 12 题型03：概率、统计与导数结合 24 题型04：概率、统计与立体几何的综合问题 33 题型05：概率、统计与立体几何的综合问题 38 题型06：概率、统计与三角向量的综合问题 39 题型07：概率、统计与其他知识点结合 41 巩固提升 47 概率统计作为高考数学的核心模块，近年高频与函数、导数、数列、立体几何、解析几何、不等式、计数原理等知识点交汇命题，侧重考查综合建模、数据处理和跨模块推理能力，是解答题的重要拉分点，选择填空也常出基础交汇小题，契合高考“素养立意、能力导向”的命题趋势。 一、高考命题核心特征 1. 分值占比：交汇题型约占概率统计总分的60%-70%，多以解答题第18/19题（中档偏难）为主，部分卷种在选填压轴题出现，总分值12-17分。 2. 考查素养：聚焦数学建模（实际问题转化为概率/统计模型）、逻辑推理（跨模块推导）、数学运算（统计计算+函数/导数运算）、数据分析（图表解读、数据处理）。 3. 命题趋势：弱化纯公式记忆，强化“实际背景+跨模块求解”，如结合生活中的抽样、建模、决策问题，融合函数最值、数列递推、几何度量等核心考点。 4. 难度梯度：基础交汇（概率+计数原理、统计+不等式）多在选填；中档交汇（概率+函数、统计+数列）为解答题主体；难题交汇（概率+导数、统计+解析几何）多为卷种压轴或次压轴。 二、核心交汇类型及考情拆解 （一）概率统计 + 函数与导数（高频压轴型） 1. 考查重点：以概率分布（二项分布、超几何分布、正态分布）为载体，求随机变量的期望/方差，转化为函数解析式，再通过导数求最值、单调性、参数范围；或利用导数证明期望/方差的不等式关系。 2. 高考考频：全国卷、新高考Ⅰ/Ⅱ卷每年必考，是解答题拉分核心。 3. 典型考向： ①二项分布的期望E(X)=np（含参数p），构建关于p的函数，导数求最值； ② 连续型随机变量的概率密度函数结合导数求参数、判断单调性； ③利用导数证明统计量（如样本均值、方差）的取值范围。 （二）概率统计 + 计数原理与排列组合（基础必会型） 1. 考查重点：计数原理为概率求解的基础，古典概型、条件概率、独立事件概率的计算均需结合排列、组合、分步乘法/分类加法计数，是选填基础题和解答题第一问的核心。 2. 高考考频：100%覆盖，无交汇则无法求解基础概率问题。 3. 典型考向： ①古典概型中复杂样本空间的计数（含有限制条件的排列组合）； ②超几何分布的抽取问题（组合计数）； ③独立重复试验的二项分布（分步计数）。 （三）概率统计 + 数列（中档递推型） 1. 考查重点：以递推概率为载体，构建数列递推关系（如 = a + b），转化为等差/等比数列求解，考查“概率建模+数列递推求解”的综合能力。 2. 高考考频：新高考卷、浙江卷常考，多为解答题中档题。 3. 典型考向： ①摸球、闯关、比赛等问题，求第n次成功的概率P_n，构建递推公式； ②结合数列通项求期望、方差的极限值。 （四）概率统计 + 立体几何（情景应用型） 1. 考查重点：以立体几何模型（正方体、长方体、棱锥、球）为背景，求几何图形中随机点、线、面的概率，或结合几何概型（长度、面积、体积型）求解。 2. 高考考频：选填高频，解答题偶见，难度中等。 3. 典型考向： ①古典概型：从立体几何的顶点、棱、面中抽取元素，求满足条件的概率； ②几何概型：在立体几何图形内随机取点，求点满足某一几何条件的概率（如在正方体内取点，点到面的距离满足某一范围）。 （五）概率统计 + 解析几何（偏难创新型） 1. 考查重点：以解析几何（直线、圆、椭圆、抛物线）为背景，结合几何概型（面积型为主）或随机抽样，求点、线满足条件的概率，或利用统计数据拟合解析几何曲线（如线性回归拟合直线、非线性回归拟合抛物线）。 2. 高考考频：创新卷（如北京卷、上海卷）常考，多为选填压轴或解答题创新问，难度较大。 3. 典型考向： ①面积型几何概型：在解析几何图形（如圆、椭圆）内随机取点，求点满足某一条件的概率； ②统计拟合：利用样本数据拟合解析几何曲线，求曲线参数并进行概率预测。 （六）概率统计 + 不等式（工具应用型） 1. 考查重点：不等式作为求解工具，用于统计量的范围判断（如样本均值、方差的取值范围）、概率的最值求解（如利用基本不等式求期望的最值），或结合线性规划求解随机变量的取值范围。 2. 高考考频：全覆盖，贯穿概率统计各类题型，为基础工具考点。 3. 典型考向： ①利用基本不等式求期望、方差的最值； ②利用一元二次不等式求解概率的参数范围； ③线性规划结合随机变量的分布列，求参数的取值范围。 （七）概率统计 + 统计案例（综合应用型） 1. 考查重点：融合独立性检验、线性回归（线性/非线性）、分层抽样/系统抽样，结合函数、不等式求解回归方程、判断独立性，或利用回归方程进行预测并结合概率决策。 2. 高考考频：新高考卷必考，多为解答题主体，难度中档。 3. 典型考向： ①非线性回归（如y=ae^{bx}）通过换元转化为线性回归，求参数并结合函数求预测值的范围； ②独立性检验结合概率计算，进行实际问题的决策（如判断两个变量是否相关，并求相关事件的概率）。 三、高考备考核心策略 1. 夯实基础，打通模块衔接 熟练掌握概率统计的核心公式（分布列、期望、方差、古典概型、几何概型）和其他模块的基础考点（函数解析式、导数公式、数列递推、几何度量），做到“模块考点不脱节，公式应用无差错”。 2. 强化建模，突破实际情景 针对交汇题型的实际背景（摸球、比赛、抽样、决策、几何模型），训练“情景转化为数学模型”的能力：先判断概率统计模型（古典/几何概型、二项/超几何分布），再挖掘跨模块考点（如递推关系、函数解析式、几何度量），最后分步求解。 3. 聚焦高频，突破核心交汇 优先攻克概率+函数导数、概率+计数原理、概率+统计案例三大高频交汇类型，总结解题模板： • 概率+导数：建分布列→求期望/方差（构函数）→求导→分析单调性/最值； • 概率+数列：找递推关系→证等差/等比→求通项→求概率/期望； • 统计案例+函数：数据处理→拟合模型（线性/非线性）→求参数→结合函数预测/求范围。 4. 规范解题，注重步骤得分 交汇题型多为解答题，需注意步骤规范： • 概率建模：明确“样本空间、基本事件、概率模型”，写出判断依据； • 跨模块推导：如导数求最值，需写出“求导→令导数为0→求极值点→判断单调性→求最值”的完整步骤； • 实际决策：结合计算结果，给出明确的决策结论（如“当p=0.5时，期望最大，故选择该方案”）。 5. 刷题精练，总结错题规律 针对不同交汇类型，分类刷高考真题和模拟题，重点总结错题原因：是模型判断错误，还是跨模块运算失误，或是步骤规范缺失；整理高频错题的解题思路，形成“交汇题型错题本”，避免重复犯错。 围绕高考“素养立意、能力导向”要求，从基础衔接、模型构建、综合应用、素养提升四层设定目标，实现概率统计与函数、导数、数列等模块的知识融合、方法互通，能高效解决各类交汇型考题，同时落实数学建模、数据分析等核心素养。 一、基础层：打通模块衔接，夯实交汇前提 1. 熟练掌握概率统计核心知识（分布列、期望方差、古典/几何概型、统计案例等），能准确复述公式、判断模型，无基础应用错误。 2. 快速关联交汇模块基础考点（函数解析式/导数公式、数列递推类型、几何度量方法、不等式求解技巧等），明确各模块与概率统计的衔接切入点。 3. 完成基础交汇计算（如排列组合求古典概型概率、基本不等式求期望最值），做到运算准确、步骤完整，正确率≥90%。 二、方法层：掌握建模技巧，形成交汇解题逻辑 1. 能从实际情景/考题背景中，快速剥离概率统计核心模型（如二项分布、递推概率、几何概型），同时识别跨模块考点（如导数求最值、数列求通项）。 2. 掌握各类核心交汇类型的标准化解题流程，如“概率+导数”：建分布列→求期望/方差构函数→求导分析单调性→求最值/参数范围；“概率+数列”：找递推关系→转化等差/等比数列→求通项→解概率问题。 3. 能灵活选用跨模块工具解决概率统计问题，如用导数处理连续型变量的概率密度、用线性规划限定随机变量参数范围、用几何度量求几何概型概率。 三、应用层：突破综合题型，提升解题实战能力 1. 能独立解答中档交汇解答题（高考18/19题难度），涵盖概率+计数原理、概率+统计案例、概率+基础函数/不等式等类型，做到模型判断准、步骤规范、结果正确。 2. 能拆解难题交汇题型（压轴/次压轴难度），如概率+导数综合最值、概率+解析几何面积型几何概型、概率+数列递推综合，能分步突破多问型考题，攻克关键得分点。 3. 能结合实际问题进行概率统计建模与决策，如利用回归方程预测+概率分析、期望最值计算+实际方案选择，实现“数学建模→计算求解→实际应用”的闭环。 4. 减少交汇题型的典型错误，如避免模型判断错误（将超几何分布误判为二项分布）、跨模块运算失误（导数求导错误、数列递推转化错误）、步骤缺失（概率建模无依据、最值求解无单调性分析）。 四、素养层：落实核心素养，形成数学思维能力 1. 强化数学建模素养：能将抽象的交汇问题、实际的生活情景转化为可求解的数学模型，提升模型构建与转化能力。 2. 提升数据分析与逻辑推理素养：能解读考题中的数据、图表，通过跨模块推导完成概率统计结论的论证，做到推理严谨、依据充分。 3. 培养综合运算与问题解决素养：能融合概率统计、函数、几何等模块的运算技巧，处理复杂的综合计算，同时具备多问型考题的整体解题思维，兼顾局部得分与整体突破。 4. 形成举一反三的迁移能力：能从典型交汇考题中提炼解题规律，应用到同类创新型交汇题型中，适应高考创新命题趋势。 五、应试层：适配高考要求，实现精准得分 1. 明确高考交汇题型的分值分布与得分要点，能在解答题中规范书写步骤，踩准得分点（如概率建模的文字说明、函数求导的步骤、数列递推的转化过程），实现“会做的题得满分，不会做的题得步骤分”。 2. 能把控交汇题型的解题时间，中档解答题耗时控制在10-15分钟，难题拆解后能在规定时间内攻克关键得分点，适配高考整体答题节奏。 3. 掌握交汇题型的错题复盘方法，能精准定位错误原因（知识漏洞/方法不当/运算失误/审题不清），并针对性补漏，形成个人错题规律与解题技巧库。 题型01:概率和函数的综合问题 规律方法　构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制． 【典型例题1】抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数没有极值点，转化为的，再列举符合条件的基本事件,得出概率结果. 【详解】，若没有极值点， 则，即． 由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足的有，，，，，，，，，共有9个， 所以． 故选：A. 【典型例题2】已知p，q是方程的根，则函数在上是递增函数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程的解集，得出p，q的所有取值，再得到所求事件所需条件的p，q取值，即可得到所求事件的概率. 【详解】因为方程的根的集合为， 所以有． 记事件A为“函数在上是递增函数”． 对函数求导，得． 由题意，知在上恒成立， 有，且． 当时，有，所以p可以取到1，2，3，4这4个值； 当时，有，所以p可以取到2，3，4这3个值； 当时，有，所以p可以取到3，4这2个值； 当时，有，所以p的值不存在． 综合以上，事件A包含的基本事件共有种． 因为，所以所有的基本事件共有种． 则所求事件的概率为． 故选：D． 【典型例题3】设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x的最大整数，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】赋值法求出，结合导数判断，确定结合等差数列求和公式得，将转化为点点距的平方进而求解. 【详解】令可得，，， 设，则， 令，得 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 则 故对任意的， 故，故，即 ， 则的几何意义为点到点的距离的平方， 最小值即点到的距离的平方， 与的交点横坐标， 且点到直线的距离， 点到直线的距离， 的最小值为 故答案为: 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数最值及点点距的应用，关键是利用导数判断出，进而确定. 【典型例题4】近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. (1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； (2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； (3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值. 参考数据：. 【答案】(1)； (2)； (3)30. 【分析】 （1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算； （2）设出事件，利用全概率公式进行求解； （3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用导函数得到其单调性，结合特殊值，求出答案. 【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率 . （2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心， 则， 由全概率公式得. 故丁周日选择健身中心健身的概率为. （3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则， 设抽取次数为，则的分布列为 1 2 3 故， 又， 两式相减得， 所以 ， 令，则， 因为，故令得， 即， 令时，， 故在且时单调递增， 结合， 可知当时，； 当时，； 当时，. 若抽取次数的期望值不超过3，则的最大值为30. 【变式训练1-1】设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】先后任意地抛一枚质地均匀的正方体骰子两次，所得点分别记为和，则函数存在极值的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．设，则为等比数列 D．设，则 【变式训练1-5】一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为 ． 【变式训练1-6】已知n个人独立解决某问题的概率均为 ，且互不影响，现将这n个人分在一组，若解决这个问题概率超过 ，则n的最小值是 【变式训练1-7】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率. (1)求 (2)当时，求的表达式. (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值. 【变式训练1-8】2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. (1)若，求； (2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【变式训练1-9】某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立．已知生产一件产品的利润如下表： 等级 一等 二等 三等 利润(万元/每件) 0.8 0.6 －0.3 (1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率； (2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的均值； (3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升n－ln n(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由． (ln 2≈0.69，ln 3≈1.1) 题型02：概率和数列的综合问题 规律方法　概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型： (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式． (2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和． (3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限． 【典型例题1】若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解. 【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数， ，，故A错误； 为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数， ， ，，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可. 【典型例题2】马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【详解】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， （2）因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 【典型例题3】一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题： (1)若取出的小球不再放回， ①求最后取完的小球是黄球的概率； ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； ③设随机变量为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求； (2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取次球，设随机变量为取球次数，证明：. 【答案】(1)①；②；③， (2)证明见解析 【分析】（1）①最后一次取出的是黄色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出的所有取值，利用期望公式，结合组合数的性质可求答案. （2）先求的分布列，写出期望，结合错位相减法可求答案. 【详解】（1）①最后取完的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄色小球，设事件A:第40次取球恰好为黄色小球. 则. ②设事件B:最后取完的小球是黄球，事件：最后取完的小球是绿球，事件D:红球比其余两种颜色更早取完. ; ③的可能取值为10,11,12，，40. ， . 因为，所以. （2）设，则的分布列为 1 2 3 两式相减可得 . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用组合数的性质进行转化求解；二是利用数列的错位相减法求和. 【典型例题4】在某公司组织的团建活动中，，，三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在手中时，传给的概率为，传给自己的概率也为；当排球在手中时，传给的概率为，传给的概率为；当排球在手中时，传给，的概率均为.游戏开始时，排球在手中，经过次传球后，设排球在手中的概率为，排球在手中的概率为. (1)求，的值； (2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由. 【答案】(1) (2)手中的概率最大，理由见解析 【分析】（1）由题意得，，，，由递推式可求出，从而可求出，的值； （2）由（1）可求出，作差可比较大小. 【详解】（1）由题意得，经过次传球后，排球在手中的概率为， ， 第次传球后，排球在手中的概率为，在手中的概率为，在手中的概率为， 则由题意得，则， 由，得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， ， ，，而也满足上式， 所以， ，，，而也满足上式， 所以， 所以，. （2）由（1）得， 当时，，，， 因为 ， 所以， 因为 ， 所以， 所以， 所以经过50次传球后，排球在手中的概率最大. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率与数列的综合问题，解题的关键是根据题意駷合概率知识求出递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 【典型例题5】将4个面上分别写有数字的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率． (1)当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差； (2)若正四面体有瑕疵，即． ①设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：； ②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率． 【解析】（1）因为正四面体的质地是均匀的，为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率， 所以，进一步得，， 所以， ， 所以的数学期望和方差分别为和． （2）①因为是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 所以是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 当时， 当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时， 第次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次， 所以， 当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时， 第次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次， 所以， 由互斥事件概率的加法法则得， 即； ②设，结合①所得关系，则， 即且，又， 所以， 所以， 所以抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为． 【变式训练2-1】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【变式训练2-4】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（    ） A．， B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．的数学期望 【变式训练2-5】甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】下列结论正确的有（    ） A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种. B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是； C．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12. D．若随机变量X服从二项分布，则； 【变式训练2-7】已知等差数列的前项和为，公差. (1)若，求的通项公式； (2)从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率. 【变式训练2-8】某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中. (1)求传球次后，球恰好在乙手中次的概率； (2)次传球后（），记球在丙手中的概率为. ①求数列的通项公式； ②设，求证：. 【变式训练2-9】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【变式训练2-10】设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能情况，并求； (2)证明：是等比数列，并求； (3)设抛掷n次硬币后的期望为，求． 【变式训练2-11】对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. (1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. (2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. (3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 【变式训练2-12】假设市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为，阴天的概率为；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为，阴天的概率为；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为，下雨的概率为；已知市4月第1天的天气情况为下雨. (1)求市4月第3天的天气情况为晴天的概率； (2)记为市四月第天的天气情况为晴天的概率， （i）求出的通项公式； （ii）市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议. 【变式训练2-13】甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗， (1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率； (2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率； (3)若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率. 【变式训练2-14】在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． (1)若这个人开始时位于点处，且． （ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率； （ⅲ）已知，若，求； (2)已知是关于的连续函数． （ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）； （ⅱ）求关于的表达式． 【变式训练2-15】商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束． (1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望； (2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为； ①证明：是等差数列； ②求顾客获得一等奖的概率． 【变式训练2-16】甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【变式训练2-17】菏泽牡丹栽培始于隋，兴于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡丹甲天下”的美誉.四月，菏泽大地上牡丹次第绽放，观赏牡丹拥有9大色系､10大花型､1280余个品种，以最亮眼的姿态恭迎八方游人.某旅行团带游客来菏泽观赏牡丹，游客可自由选择曹州牡丹园和中国牡丹园的一处游览，若每位游客选择曹州牡丹园的概率是，选择中国牡丹园的概率是，游客之间选择意愿相互独立. (1)从游客中随机选取人，记人中选择曹州牡丹区的人数为，求的分布列､均值与方差； (2)现对游客进行问卷调查，若选择曹州牡丹园记分，选择中国牡丹园记1分，记已调查过的累计得分为分的概率为，求. 题型03： 概率与导数结合 【典型例题1】某学校高三年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛） (1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； (2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； (3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可； （2）先应用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可； （3）先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求出概率的最小值. 【详解】（1）设为甲的答题数，则可能取， ， ， ， 所以甲进入初赛的概率为． （2）由题知，可能取， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 所以． （3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即， 因为， 因为， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以． 【点睛】关键点点睛：求解概率最小值的关键是设函数应用导函数得出函数单调性进而求出函数的最小值即可. 【典型例题2】湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动. (1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率. (2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为. ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】(1) (2)①；②的最大值为，的值为. 【分析】（1）利用随机事件的关系结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式求解即可； （2）①由题意可知，要摘到最适合他的福袋，有两种情况，最适合他的福袋是第3个和最适合他的福袋是最后1个，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果； ②记事件表示最适合的福袋被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可． 【详解】（1）8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母， 由抽取规则可知，甲同学取到写有卡片的概率为 （2）①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有种情况， 要摘到最大的福袋，有以下两种情况： 最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况， 最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况， 故所求概率为； ②记事件表示最大的福袋被摘到，事件表示最大的福袋在福袋中排在第个， 因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以， 以给定所在位置的序号作为条件，， 当时，最大的福袋在前个福袋之中，不会被摘到，此时， 当时，最大的福袋被摘到，当且仅当前个福袋中的最大的一个在前个福袋中时，所以， 由全概率公式知， 令函数， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当时，取得最大值，最大值为，此时， 即的最大值为，此时的值为. 【典型例题3】一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次. (1)已知质点每次向右移动的概率为. ①当 时，求质点最终回到原点的概率； ②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了次，分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小 (2)现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数. ①请用含的式子表示该游戏得分的数学期望； ②若 则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？ 【答案】(1)①；② ， (2)① ；② 【分析】（1）①根据独立事件的概率公式计算即可求解；②表示第一次必然向右，后两次至少有一次向右；表示前2次均向右，后三次至少有一次向右；和第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右，根据独立事件的概率公式计算求出，结合作差法即可比较大小. （2）①利用独立事件的概率公式求出第一阶段通过的概率，即可求出数学期望；②由题意可得，令，利用导数求出的最大值即可. 【详解】（1）①质点最终回到原点的情况为:向右走3次，向左走3次， ②设和时质点最终落在原点右侧的概率分别为， 情况为:第一次必然向右，后两次至少有一次向右， 则. 包含2种情况: (i)前2次均向右，后三次至少有一次向右； (ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右， ， ，则. （2）①第一阶段通过的情况为3次均向右或者有2次向右，1次向左， 其概率为: ， 设为最终得分，则可以为0，1，3， 则其数学期望为； ②若，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即当时，该游戏得分的期望值最大. 【点睛】关键点点睛：解决本题第（2）问的②关键在于根据独立事件的概率公式计算得到，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【典型例题4】第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率： (2)已知．现有两种初赛人员派出方案： 方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲 设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值． 【答案】(1) (2)，，． (3)． 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【详解】（1）设事件A表示该小组获胜．则． 所以该小组初赛胜利的概率为． （2）的可能取值为1， 2，3． 则． 此时 的可能取值为1，2，3． 则． 此时． 所以 因为． 所以．所以． （3）由题意可得，． 则． 令． 则．令． 所以当时，，为减函数． 当时．，为增函数． 所以． 所以的最小值为． 【变式训练3-1】某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为. (1)求乙同学第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使成立，求整数的最小值. 【变式训练3-2】某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案： 方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测； 方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（，），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测. 已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X是方案二这n瓶待测试剂的检测次数，为方案二的检测次数的数学期望. (1)记的最大值为E，求证：； (2)能否认为恒成立?说明理由，并以此说明方案二的合理性； (3)给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由. 【变式训练3-3】泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【变式训练3-4】第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【变式训练3-5】第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望. (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值. 【变式训练3-6】小郅同学的左、右口袋中分别装有3个糖果，每次取糖他都有的概率从右口袋中取，每次取糖过程相互独立.当他发现某个口袋中没有糖时停止取糖. (1)求当他右口袋为空时，左口袋中剩余2个糖的概率，并求出的值使最大. (2)若，求小郅最终发现其右口袋没有糖的概率. (3)对于，求证成立不等式：. 【变式训练3-7】为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大． 【变式训练3-8】设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. (1)若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. (2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. (3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为. 题型05：概率、统计与立体几何的综合问题 【典型例题】在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，分别是，的中点，是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为.当平面时，当P在平面中时，到的距离为. (1)求直三棱柱的侧棱长； (2)当P到的距离为1时，求二面角的余弦值； (3)P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率. 【解析】（1）如图，延长交于点Q，连接， 设高为， 因为平面，P在平面中， 平面平面，平面， 所以， 根据几何关系得到， 即侧棱长为； （2）以AC中点O为原点，建立如图的坐标系， 则，，， 或， 故，， 设平面的法向量为， 则有，可取， ，或， 设平面的法向量为， 则有， 当时，可取， 此时， 当时，可取， 此时， 综上所述，二面角的余弦值为或； （3）由题意得下图： 由夹角得到与P点轨迹平面相交的圆，圆内和圆上的点符合题意图中， P从A出发，只需考虑净结果， 一：净向左1，2，3，4，5步均可， 设向左步， 得到 所以， 当为偶数时， 当为奇数时； 二：净向右4，5，6，7，8步均可， 设向右步， 得到， 当为偶数时， 当为奇数时， 综上：当n为偶数时， 当为奇数时. 【变式训练4-1】某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示. (1)求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数； (2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望； (3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率. 【变式训练4-2】如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； (3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 题型05：概率、统计与解析几何的综合问题 【典型例题1】已知直线与轴分别交于点，以线段（为坐标原点）为直径作圆，若在线段上任取一点，则该点取自圆外的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线方程，令，可得；令，可得， 所以，可得， 以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离，则圆与相交， 设交点为，所以， 所以，故所求概率为. 故选：A. 【典型例题2】设O为平面坐标系的坐标原点，P为区域内的点，则直线OP的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为区域表示以为圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线OP的倾斜角不大于的范围在第一象限对应的圆心角为， 结合对称性可得所求概率为. 故选：B 【变式训练5-1】在区间内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练5-2】在上随机取一个数，则“直线与圆无公共点”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练5-4】设m，，曲线C：，则下列说法正确的为（    ） A．曲线C表示双曲线的概率为 B．曲线C表示椭圆的概率为 C．曲线C表示圆的概率为 D．曲线C表示两条直线的概率为 题型06：概率、统计与三角向量的综合问题 【典型例题1】若正六边形的边长为1，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， ，， ， 所以五个点中有两个点满足题意，所以概率为. 故选：D. 【典型例题2】小丽今天晚自习准备复习历史、地理或政治中的一科，她用数学游戏的结果来决定选哪一科，游戏规则是：在平面直角坐标系中，以原点为起点，再分别以，，，，这5个点为终点，得到5个向量，任取其中两个向量，计算这两个向量的数量积，若，就复习历史，若，就复习地理，若，就复习政治. (1)写出的所有可能取值； (2)求小丽复习历史的概率和复习地理的概率. 【解析】（1）依题意计算 ，                  ，        ，        所以的所有可能取值为． （2）任取两个向量的所有可能情况总数有10种，             其中的情况有4种，所以小丽复习历史的概率为，    的情况有3种，所以小丽复习地理的概率为． 【变式训练6-1】正2022边形内接于单位圆O，任取其两个不同顶点，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知函数，其中且在上有且仅有2个零点，2个极值点． (1)求的最小正周期； (2)设集合且，已知△，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，求使得△存在的概率． 【变式训练6-3】如图，设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量. (1)求的概率； (2)求的分布列及数学期望. 【变式训练6-4】有编号为A、的两个盒子，A盒子中有6个球，其中有2个球上写有数字，3个球上写有数字1，1个球上写有数字，盒子中也有6个球，其中有2个球上写有数字，2个球上写有数字1，2个球上写有数字.现从A盒子取2个球，从盒子取1个球，设取出的3个球数字之积为随机变量. (1)求随机变量的分布列和数学期望； (2)记“函数向右平移个单位长度得到一个对称中心为的函数”为事件，求事件发生的概率. 题型07：概率与其他知识点结合 【典型例题1】某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率. (1)随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？ (2)经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130] 患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18 指标 [70，75] 未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围； (3)在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；无关 (2) (3)；误诊率为，漏诊率为 【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较即可判断误判与性别的相关程度； （2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，继而得到临界值的范围； （3）结合频率分布表分段写出误判率的表达式，即可求解. 【详解】（1）依题意，列出列联表为： 误判人数 未误判人数 总计 男性人数 2 498 500 女性人数 8 492 500 总计 10 990 1000 由上表，， 故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关； （2）因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有； 又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有. 综上，临界值的范围为； （3）由（2）已得，设误判率为， 当时，， 当时， ， 所以当时，误判率最小， 相应的误诊率为，漏诊率为：. 【点睛】关键点点睛：本题证据要考查独立性检验、百分位数的应用，属于较难题. 解决通过统计图表求百分位数的问题，需要正确理解相关概念的具体含义，结合统计表或分布图表，列出相应的方程或不等式求解. 【典型例题2】近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的居民 40 10 50 年龄超过45岁的居民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系． (2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为；如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为，求小张周二选择在平台买菜的概率. (3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量，并记随机变量，求X，Y的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05 (2) (3)的数学期望，方差，的数学期望，方差 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比较即可求解； （2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答； （3）由二项分布的期望、方差公式求解随机变量X的数学期望和方差，再利用数学期望和方差的性质求解Y的数学期望和方差即可. 【详解】（1）统计假设：该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄无关系， 由给定的2×2列联表，得 根据小概率值的独立性检验，否定假设， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05； （2）设表示周在平台买菜，表示周在平台买菜，. 由题可得． 由全概率公式，小张周二选择在平台买菜的概率 ； （3）依题意，该社区居民喜欢网上买菜的概率估计值为. 从该社区随机抽取10名居民，其中喜欢网上买菜的居民人数， 所以的数学期望，方差. 又，所以的数学期望，方差. 【变式训练7-1】某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【变式训练7-2】某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． (2)在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 【变式训练7-3】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率. (1)求 (2)当时，求的表达式. (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值. 【变式训练7-4】某商场为吸引顾客，设计了一个趣味小游戏，地面上划有边长为1的小正方形网格，游戏参与者从网格的某一个顶点出发，每一步沿一个小正方形的对角线向右上方或右下方移动，如图所示．已知游戏参与者每步选择向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的选择是相互独立的． (1)商场规定：某顾客从出发，沿小正方形的对角线向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，当他走完第四步后，得分为，求的分布列； (2)商场制定了一个游戏规则：若顾客和老板都从出发，走到点的位置．设走完第步后，顾客位于点，老板位于点，其中且；若对任意且都有，则认为顾客方获胜．记顾客获胜的概率为． （i）当时，求顾客获胜的概率； （ⅱ）求，并说明顾客和老板在游戏中哪一方获胜的概率更大． 参考公式：． 一：选择题 1．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，在圆上任取一点，则的概率为（    ） A． B． C． D． 3．图1是我国古代数学家赵爽创造的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个三角形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2所示，已知，若在这个图形中随机取一点，此点取自小正三角形（阴影部分）的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．（多选题）从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（    ） A．是锐角的概率为 B．是直角的概率为 C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为 二：解答题 1．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当时，比较与的大小； (2)当时，求； (3)函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 2．为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为． (1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望； (2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率． （i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）； （ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数． 3．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324 441 529 625 729 841 1024 1225 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.0052 其中. (1)根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：） (2)模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好； (3)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：. 4．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 5．篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人进球与否互不影响． (1)若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 6．传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． (1)记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为． ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 7．为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． (1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； (3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 8．某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投篮命中率为，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量. (1)求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率； (2)求该同学投篮次数（不超过）的分布列； (3)在（2）的前提下，若，求的最小值. 9．甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，； (2)求，； (3)求数列的通项公式，并证明. 10．一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． (1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 (2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 11．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗，该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染．现有n只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时，接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量X表示n只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立． (1)若，求数学期望； (2)设接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量，表示第i组被感染的白鼠数．现将随机变量)的实验结果绘制成频数分布图，如图所示． ①试写出事件“”发生的概率表达式(用p表示，组合数不必计算)； ②现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关，团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为．在统计学中，若参数时使得概率最大，称是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计．参考数据：． 12．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 13．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. (1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； (2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. 14．在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为． (1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式； (2)当N足够大时，证明：（其中）； (3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）． 15．生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的. (1)直接写出的数学期望. (2)用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. (3)若某种细胞发生基因突变，当时. （ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率. 16.某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为． (1)若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率； (2)该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明． 17.分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 18.甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 19.如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 20.随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 21.某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分． (1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？ (2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为，记甲以取胜的概率为，当最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分的分布列及期望． 22.某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生，这45名学生中，，B，C三个班级的人数比为4:3:2. (1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为，求的分布列和数学期望； (2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为，若共有5组进行发言，用表示恰有3组来自研发实验的概率，证明:的最大值不会超过. 23.如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.    (1)求三棱锥的侧面积的最大值； (2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值. 24.如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点. (1)问：上是否存在点，使得平面？请说明理由； (2)在（1）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率. 25.已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. (1)求概率的值； (2)求的分布列，并求其数学期望． 26.如图，已知面积为4的正三角形三边的中点分别为、、，从，，，，，六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为（三点共线时，规定） （1）求概率（）； （2）求的概率分布列，并求其数学期望. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：概率统计与其它知识点的交汇 目录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 5 题型01: 概率、统计和函数的综合问题 6 题型02：概率、统计和数列的综合问题 21 题型03：概率、统计与导数结合 49 题型04：概率、统计与立体几何的综合问题 67 题型05：概率、统计与立体几何的综合问题 74 题型06：概率、统计与三角向量的综合问题 76 题型07：概率、统计与其他知识点结合 80 巩固提升 91 概率统计作为高考数学的核心模块，近年高频与函数、导数、数列、立体几何、解析几何、不等式、计数原理等知识点交汇命题，侧重考查综合建模、数据处理和跨模块推理能力，是解答题的重要拉分点，选择填空也常出基础交汇小题，契合高考“素养立意、能力导向”的命题趋势。 一、高考命题核心特征 1. 分值占比：交汇题型约占概率统计总分的60%-70%，多以解答题第18/19题（中档偏难）为主，部分卷种在选填压轴题出现，总分值12-17分。 2. 考查素养：聚焦数学建模（实际问题转化为概率/统计模型）、逻辑推理（跨模块推导）、数学运算（统计计算+函数/导数运算）、数据分析（图表解读、数据处理）。 3. 命题趋势：弱化纯公式记忆，强化“实际背景+跨模块求解”，如结合生活中的抽样、建模、决策问题，融合函数最值、数列递推、几何度量等核心考点。 4. 难度梯度：基础交汇（概率+计数原理、统计+不等式）多在选填；中档交汇（概率+函数、统计+数列）为解答题主体；难题交汇（概率+导数、统计+解析几何）多为卷种压轴或次压轴。 二、核心交汇类型及考情拆解 （一）概率统计 + 函数与导数（高频压轴型） 1. 考查重点：以概率分布（二项分布、超几何分布、正态分布）为载体，求随机变量的期望/方差，转化为函数解析式，再通过导数求最值、单调性、参数范围；或利用导数证明期望/方差的不等式关系。 2. 高考考频：全国卷、新高考Ⅰ/Ⅱ卷每年必考，是解答题拉分核心。 3. 典型考向： ①二项分布的期望E(X)=np（含参数p），构建关于p的函数，导数求最值； ② 连续型随机变量的概率密度函数结合导数求参数、判断单调性； ③利用导数证明统计量（如样本均值、方差）的取值范围。 （二）概率统计 + 计数原理与排列组合（基础必会型） 1. 考查重点：计数原理为概率求解的基础，古典概型、条件概率、独立事件概率的计算均需结合排列、组合、分步乘法/分类加法计数，是选填基础题和解答题第一问的核心。 2. 高考考频：100%覆盖，无交汇则无法求解基础概率问题。 3. 典型考向： ①古典概型中复杂样本空间的计数（含有限制条件的排列组合）； ②超几何分布的抽取问题（组合计数）； ③独立重复试验的二项分布（分步计数）。 （三）概率统计 + 数列（中档递推型） 1. 考查重点：以递推概率为载体，构建数列递推关系（如 = a + b），转化为等差/等比数列求解，考查“概率建模+数列递推求解”的综合能力。 2. 高考考频：新高考卷、浙江卷常考，多为解答题中档题。 3. 典型考向： ①摸球、闯关、比赛等问题，求第n次成功的概率P_n，构建递推公式； ②结合数列通项求期望、方差的极限值。 （四）概率统计 + 立体几何（情景应用型） 1. 考查重点：以立体几何模型（正方体、长方体、棱锥、球）为背景，求几何图形中随机点、线、面的概率，或结合几何概型（长度、面积、体积型）求解。 2. 高考考频：选填高频，解答题偶见，难度中等。 3. 典型考向： ①古典概型：从立体几何的顶点、棱、面中抽取元素，求满足条件的概率； ②几何概型：在立体几何图形内随机取点，求点满足某一几何条件的概率（如在正方体内取点，点到面的距离满足某一范围）。 （五）概率统计 + 解析几何（偏难创新型） 1. 考查重点：以解析几何（直线、圆、椭圆、抛物线）为背景，结合几何概型（面积型为主）或随机抽样，求点、线满足条件的概率，或利用统计数据拟合解析几何曲线（如线性回归拟合直线、非线性回归拟合抛物线）。 2. 高考考频：创新卷（如北京卷、上海卷）常考，多为选填压轴或解答题创新问，难度较大。 3. 典型考向： ①面积型几何概型：在解析几何图形（如圆、椭圆）内随机取点，求点满足某一条件的概率； ②统计拟合：利用样本数据拟合解析几何曲线，求曲线参数并进行概率预测。 （六）概率统计 + 不等式（工具应用型） 1. 考查重点：不等式作为求解工具，用于统计量的范围判断（如样本均值、方差的取值范围）、概率的最值求解（如利用基本不等式求期望的最值），或结合线性规划求解随机变量的取值范围。 2. 高考考频：全覆盖，贯穿概率统计各类题型，为基础工具考点。 3. 典型考向： ①利用基本不等式求期望、方差的最值； ②利用一元二次不等式求解概率的参数范围； ③线性规划结合随机变量的分布列，求参数的取值范围。 （七）概率统计 + 统计案例（综合应用型） 1. 考查重点：融合独立性检验、线性回归（线性/非线性）、分层抽样/系统抽样，结合函数、不等式求解回归方程、判断独立性，或利用回归方程进行预测并结合概率决策。 2. 高考考频：新高考卷必考，多为解答题主体，难度中档。 3. 典型考向： ①非线性回归（如y=ae^{bx}）通过换元转化为线性回归，求参数并结合函数求预测值的范围； ②独立性检验结合概率计算，进行实际问题的决策（如判断两个变量是否相关，并求相关事件的概率）。 三、高考备考核心策略 1. 夯实基础，打通模块衔接 熟练掌握概率统计的核心公式（分布列、期望、方差、古典概型、几何概型）和其他模块的基础考点（函数解析式、导数公式、数列递推、几何度量），做到“模块考点不脱节，公式应用无差错”。 2. 强化建模，突破实际情景 针对交汇题型的实际背景（摸球、比赛、抽样、决策、几何模型），训练“情景转化为数学模型”的能力：先判断概率统计模型（古典/几何概型、二项/超几何分布），再挖掘跨模块考点（如递推关系、函数解析式、几何度量），最后分步求解。 3. 聚焦高频，突破核心交汇 优先攻克概率+函数导数、概率+计数原理、概率+统计案例三大高频交汇类型，总结解题模板： • 概率+导数：建分布列→求期望/方差（构函数）→求导→分析单调性/最值； • 概率+数列：找递推关系→证等差/等比→求通项→求概率/期望； • 统计案例+函数：数据处理→拟合模型（线性/非线性）→求参数→结合函数预测/求范围。 4. 规范解题，注重步骤得分 交汇题型多为解答题，需注意步骤规范： • 概率建模：明确“样本空间、基本事件、概率模型”，写出判断依据； • 跨模块推导：如导数求最值，需写出“求导→令导数为0→求极值点→判断单调性→求最值”的完整步骤； • 实际决策：结合计算结果，给出明确的决策结论（如“当p=0.5时，期望最大，故选择该方案”）。 5. 刷题精练，总结错题规律 针对不同交汇类型，分类刷高考真题和模拟题，重点总结错题原因：是模型判断错误，还是跨模块运算失误，或是步骤规范缺失；整理高频错题的解题思路，形成“交汇题型错题本”，避免重复犯错。 围绕高考“素养立意、能力导向”要求，从基础衔接、模型构建、综合应用、素养提升四层设定目标，实现概率统计与函数、导数、数列等模块的知识融合、方法互通，能高效解决各类交汇型考题，同时落实数学建模、数据分析等核心素养。 一、基础层：打通模块衔接，夯实交汇前提 1. 熟练掌握概率统计核心知识（分布列、期望方差、古典/几何概型、统计案例等），能准确复述公式、判断模型，无基础应用错误。 2. 快速关联交汇模块基础考点（函数解析式/导数公式、数列递推类型、几何度量方法、不等式求解技巧等），明确各模块与概率统计的衔接切入点。 3. 完成基础交汇计算（如排列组合求古典概型概率、基本不等式求期望最值），做到运算准确、步骤完整，正确率≥90%。 二、方法层：掌握建模技巧，形成交汇解题逻辑 1. 能从实际情景/考题背景中，快速剥离概率统计核心模型（如二项分布、递推概率、几何概型），同时识别跨模块考点（如导数求最值、数列求通项）。 2. 掌握各类核心交汇类型的标准化解题流程，如“概率+导数”：建分布列→求期望/方差构函数→求导分析单调性→求最值/参数范围；“概率+数列”：找递推关系→转化等差/等比数列→求通项→解概率问题。 3. 能灵活选用跨模块工具解决概率统计问题，如用导数处理连续型变量的概率密度、用线性规划限定随机变量参数范围、用几何度量求几何概型概率。 三、应用层：突破综合题型，提升解题实战能力 1. 能独立解答中档交汇解答题（高考18/19题难度），涵盖概率+计数原理、概率+统计案例、概率+基础函数/不等式等类型，做到模型判断准、步骤规范、结果正确。 2. 能拆解难题交汇题型（压轴/次压轴难度），如概率+导数综合最值、概率+解析几何面积型几何概型、概率+数列递推综合，能分步突破多问型考题，攻克关键得分点。 3. 能结合实际问题进行概率统计建模与决策，如利用回归方程预测+概率分析、期望最值计算+实际方案选择，实现“数学建模→计算求解→实际应用”的闭环。 4. 减少交汇题型的典型错误，如避免模型判断错误（将超几何分布误判为二项分布）、跨模块运算失误（导数求导错误、数列递推转化错误）、步骤缺失（概率建模无依据、最值求解无单调性分析）。 四、素养层：落实核心素养，形成数学思维能力 1. 强化数学建模素养：能将抽象的交汇问题、实际的生活情景转化为可求解的数学模型，提升模型构建与转化能力。 2. 提升数据分析与逻辑推理素养：能解读考题中的数据、图表，通过跨模块推导完成概率统计结论的论证，做到推理严谨、依据充分。 3. 培养综合运算与问题解决素养：能融合概率统计、函数、几何等模块的运算技巧，处理复杂的综合计算，同时具备多问型考题的整体解题思维，兼顾局部得分与整体突破。 4. 形成举一反三的迁移能力：能从典型交汇考题中提炼解题规律，应用到同类创新型交汇题型中，适应高考创新命题趋势。 五、应试层：适配高考要求，实现精准得分 1. 明确高考交汇题型的分值分布与得分要点，能在解答题中规范书写步骤，踩准得分点（如概率建模的文字说明、函数求导的步骤、数列递推的转化过程），实现“会做的题得满分，不会做的题得步骤分”。 2. 能把控交汇题型的解题时间，中档解答题耗时控制在10-15分钟，难题拆解后能在规定时间内攻克关键得分点，适配高考整体答题节奏。 3. 掌握交汇题型的错题复盘方法，能精准定位错误原因（知识漏洞/方法不当/运算失误/审题不清），并针对性补漏，形成个人错题规律与解题技巧库。 题型01:概率和函数的综合问题 规律方法　构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制． 【典型例题1】抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数没有极值点，转化为的，再列举符合条件的基本事件,得出概率结果. 【详解】，若没有极值点， 则，即． 由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足的有，，，，，，，，，共有9个， 所以． 故选：A. 【典型例题2】已知p，q是方程的根，则函数在上是递增函数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程的解集，得出p，q的所有取值，再得到所求事件所需条件的p，q取值，即可得到所求事件的概率. 【详解】因为方程的根的集合为， 所以有． 记事件A为“函数在上是递增函数”． 对函数求导，得． 由题意，知在上恒成立， 有，且． 当时，有，所以p可以取到1，2，3，4这4个值； 当时，有，所以p可以取到2，3，4这3个值； 当时，有，所以p可以取到3，4这2个值； 当时，有，所以p的值不存在． 综合以上，事件A包含的基本事件共有种． 因为，所以所有的基本事件共有种． 则所求事件的概率为． 故选：D． 【典型例题3】设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x的最大整数，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】赋值法求出，结合导数判断，确定结合等差数列求和公式得，将转化为点点距的平方进而求解. 【详解】令可得，，， 设，则， 令，得 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 则 故对任意的， 故，故，即 ， 则的几何意义为点到点的距离的平方， 最小值即点到的距离的平方， 与的交点横坐标， 且点到直线的距离， 点到直线的距离， 的最小值为 故答案为: 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数最值及点点距的应用，关键是利用导数判断出，进而确定. 【典型例题4】近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. (1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； (2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； (3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值. 参考数据：. 【答案】(1)； (2)； (3)30. 【分析】 （1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算； （2）设出事件，利用全概率公式进行求解； （3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用导函数得到其单调性，结合特殊值，求出答案. 【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率 . （2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心， 则， 由全概率公式得. 故丁周日选择健身中心健身的概率为. （3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则， 设抽取次数为，则的分布列为 1 2 3 故， 又， 两式相减得， 所以 ， 令，则， 因为，故令得， 即， 令时，， 故在且时单调递增， 结合， 可知当时，； 当时，； 当时，. 若抽取次数的期望值不超过3，则的最大值为30. 【变式训练1-1】设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，无最小值；当时，；当时，利用导数可求得时的，结合时可构造不等式组，结合的单调性和可求得的范围，从而确定的取值；列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果. 【详解】若，当时，为增函数，且，不合题意； 若，，则最小值为； 若，当时，的最小值为； 当时，，则若，则；若，则； 在上单调递减，在上递增，此时的最小值为； ，，则； 设，则在上单调递增，又， 的解为； 综上所述：实数的取值范围为，又，或； 设事件：“恒成立”， 所有取值构成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个； . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与概率的综合应用问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合导数的知识求得的单调性，从而利用最小值来构造不等式求得的值，进而采用列举法来求得所求概率. 【变式训练1-2】先后任意地抛一枚质地均匀的正方体骰子两次，所得点分别记为和，则函数存在极值的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数存在极值，得，用列举法计算出满足条件的情况，即可得到本题答案. 【详解】由题意得：， 若在上存在极值点，则有两个不相等的实数根， 所以，，即， 当时，共4种， 当时，共4种， 当时，共3种， 当时，共2种， 当时，共2种， 当时，共2种， 满足条件的共有种情况，总情况有36种， 所以函数在上存在极值点的概率. 故选：B 【变式训练1-3】若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记函数的定义域为R为事件A，求得，记函数为偶函数为事件B，求得，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，共36种情况，如下 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 记函数的定义域为R为事件A， 即恒成立，需满足，即， 满足的有26种情况，故. 记函数为偶函数为事件B， 函数的定义域为，由偶函数的定义知，即或. 满足或的有6种情况，故, 故, 故选：B 【变式训练1-4】日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．设，则为等比数列 D．设，则 【答案】BCD 【分析】设植物总数为，寿命为年的植物数为，由题意，在此基础上利用变形推理得出，即可判断AC，再由的关系求出判断B，根据错位相减法求和判断D. 【详解】设植物总数为，寿命为年的植物数为， 由题意，， 则① ② ②①得，， 即，故，故A错误； 由， 故，故B正确； 由， 故，即为等比数列，故C正确； 因为， 设，则， ， 相减可得 ， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：难点在于理解对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为，这句话的数量表示是本题推理论证的的基础，能否理解并用数学式子表示是解题的关键与难点. 【变式训练1-5】一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】计算并化简得到，根据对勾函数的性质计算最值得到答案. 【详解】， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 故当或时，有最小值为，故. 故答案为： 【变式训练1-6】已知n个人独立解决某问题的概率均为 ，且互不影响，现将这n个人分在一组，若解决这个问题概率超过 ，则n的最小值是 【答案】9 【分析】 根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，n个人都没有解决问题的概率为，因此这个小组能解决问题的概率为， 于是，整理得，函数是递增的， 而，，因此成立时， 所以n的最小值是9. 故答案为：9 【变式训练1-7】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率. (1)求 (2)当时，求的表达式. (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）当时，， 当时，； 当时，， 即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由关于单调递增， 故当时，有的最大值为， 又， 所以当时，的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键. 【变式训练1-8】2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. (1)若，求； (2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时的值为. 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率. （2）利用全概率公式求出，再构造函数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况， 要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况： ①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况； ②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 所以所求概率为. （2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时； 当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时， 因此， 令，求导得，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 【变式训练1-9】某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立．已知生产一件产品的利润如下表： 等级 一等 二等 三等 利润(万元/每件) 0.8 0.6 －0.3 (1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率； (2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的均值； (3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升n－ln n(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由． (ln 2≈0.69，ln 3≈1.1) 【解析】(1)设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件，P(A)＝0.5，P()＝0.5,2件产品至少有一件为一等品事件为AA＋A＋A， 其概率P＝P(AA)＋CP(A)P()＝0.52＋2×0.5×0.5＝0.75. (2)设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C， 则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1， 则ξ的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3，－0.6， P(ξ＝－0.6)＝[P(C)]2＝0.01， P(ξ＝0.3)＝CP(B)P(C)＝2×0.4×0.1＝0.08， P(ξ＝0.5)＝CP(A)P(C)＝2×0.5×0.1＝0.1， P(ξ＝1.2)＝[P(B)]2＝0.16， P(ξ＝1.4)＝CP(A)P(B)＝2×0.5×0.4＝0.4， P(ξ＝1.6)＝[P(A)]2＝0.25， 则ξ的分布列为 ξ －0.6 0.3 0.5 1.2 1.4 1.6 P 0.01 0.08 0.1 0.16 0.4 0.25 E(ξ)＝－0.6×0.01＋0.3×0.08＋0.5×0.1＋1.2×0.16＋1.4×0.4＋1.6×0.25＝1.22. (3)由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22÷2＝0.61(万元)，则增加n件产品，利润增加为0.61n万元，成本也相应提高(n－ln n)万元， 所以净利润为0.61n－n＋ln n＝ln n－0.39n，n∈N*， 设f(x)＝ln x－0.39x，则f′(x)＝－0.39， 当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以当x＝时，f(x)取得最大值， 又2<<3， 因为x只能取整数，所以x＝2或x＝3，此时f(x)可能为最大值， f(2)＝ln 2－0.39×2≈0.69－0.78 ＝－0.09<0， f(3)＝ln 3－3×0.39≈1.1－1.17＝－0.07<0， 即在f(x)取得最大值时也是亏本的，所以不应该增加产量． 题型02：概率和数列的综合问题 规律方法　概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型： (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式． (2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和． (3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限． 【典型例题1】若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解. 【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数， ，，故A错误； 为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数， ， ，，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可. 【典型例题2】马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【详解】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， （2）因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 【典型例题3】一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题： (1)若取出的小球不再放回， ①求最后取完的小球是黄球的概率； ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； ③设随机变量为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求； (2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取次球，设随机变量为取球次数，证明：. 【答案】(1)①；②；③， (2)证明见解析 【分析】（1）①最后一次取出的是黄色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出的所有取值，利用期望公式，结合组合数的性质可求答案. （2）先求的分布列，写出期望，结合错位相减法可求答案. 【详解】（1）①最后取完的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄色小球，设事件A:第40次取球恰好为黄色小球. 则. ②设事件B:最后取完的小球是黄球，事件：最后取完的小球是绿球，事件D:红球比其余两种颜色更早取完. ; ③的可能取值为10,11,12，，40. ， . 因为，所以. （2）设，则的分布列为 1 2 3 两式相减可得 . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用组合数的性质进行转化求解；二是利用数列的错位相减法求和. 【典型例题4】在某公司组织的团建活动中，，，三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在手中时，传给的概率为，传给自己的概率也为；当排球在手中时，传给的概率为，传给的概率为；当排球在手中时，传给，的概率均为.游戏开始时，排球在手中，经过次传球后，设排球在手中的概率为，排球在手中的概率为. (1)求，的值； (2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由. 【答案】(1) (2)手中的概率最大，理由见解析 【分析】（1）由题意得，，，，由递推式可求出，从而可求出，的值； （2）由（1）可求出，作差可比较大小. 【详解】（1）由题意得，经过次传球后，排球在手中的概率为， ， 第次传球后，排球在手中的概率为，在手中的概率为，在手中的概率为， 则由题意得，则， 由，得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， ， ，，而也满足上式， 所以， ，，，而也满足上式， 所以， 所以，. （2）由（1）得， 当时，，，， 因为 ， 所以， 因为 ， 所以， 所以， 所以经过50次传球后，排球在手中的概率最大. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率与数列的综合问题，解题的关键是根据题意駷合概率知识求出递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 【典型例题5】将4个面上分别写有数字的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率． (1)当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差； (2)若正四面体有瑕疵，即． ①设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：； ②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率． 【解析】（1）因为正四面体的质地是均匀的，为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率， 所以，进一步得，， 所以， ， 所以的数学期望和方差分别为和． （2）①因为是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 所以是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 当时， 当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时， 第次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次， 所以， 当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时， 第次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次， 所以， 由互斥事件概率的加法法则得， 即； ②设，结合①所得关系，则， 即且，又， 所以， 所以， 所以抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为． 【变式训练2-1】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练2-2】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练2-3】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【答案】C 【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果， 它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A错误； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙， 甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果， 它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果， 所以概率为，故B错误； 3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确； 次传球后球在甲手上的事件记为，则有， 令，则， 于是得， 故，则， 而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以即，故D错误. 故选：C 【变式训练2-4】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（    ） A．， B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．的数学期望 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出递推公式，再逐项计算判断作答. 【详解】依题意，， 且，， 于是，，A正确； 显然，数列不是等比数列，B错误； 又，即有， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，C正确； 显然，因此，D正确. 故选：B 【变式训练2-5】甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AC选项，由题意得到，，；D选项，在C选项基础上，构造等比数列，得到通项公式；B选项，在D选项基础上求出答案. 【详解】A选项，第一次传球后到乙或丙手里，故， 第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，A正确； C选项，为传球次后球仍回到甲手里的概率，要想传球次后球仍回到甲手里， 则第次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有的概率回到甲手里， 故，C正确； D选项，由C选项知，即， 设，故，所以， 解得， 故，又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故，故，D正确， B选项，由D选项可知，B错误. 故选：ACD 【变式训练2-6】下列结论正确的有（    ） A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种. B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是； C．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12. D．若随机变量X服从二项分布，则； 【答案】BC 【分析】根据分步乘法计数原理、古典概率、样本的数据特征、二项分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，每名乘客都有种下车方式， 所以位乘客下车的可能方式有种，A选项错误. B选项，两位男生和两位女生随机排成一列，基本事件的总数有种， 若两位女生不相邻，则先安排男生，形成个空位，将两位女生排入其中两个空位， 方法数有种，所以两位女生不相邻的概率是，B选项正确. C选项，剩下的六个数据从小到大排列为，所以众数是， 设中位数是，则平均数是，设丢失的数据为， 若，则，无解. 若，则，无解. 若，则，无解. 若，则，无解. 若，则，解得. 若，则，解得. 若，则，无解. 若，则，无解. 若，则，解得. 所以丢失数据的所有可能值的和为，C选项正确. D选项，依题意，， ，所以D选项错误. 故选：BC 【变式训练2-7】已知等差数列的前项和为，公差. (1)若，求的通项公式； (2)从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得数列的通项公式； （2）根据题意，得到所有的不同取法有20种，再利用列举法求得事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由等差数列的前项和为，公差， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. （2）解：由题意，从集合中任取3个元素，共有种不同的取法， 其中这3个元素能成等差数列有 ，有6种不同的取法， 所以事件的概率为. 【变式训练2-8】某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中. (1)求传球次后，球恰好在乙手中次的概率； (2)次传球后（），记球在丙手中的概率为. ①求数列的通项公式； ②设，求证：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件有一个发生的概率公式，即可求解； （2）①根据条件得到，进而有是首项为，公比为的等比数列，即可求解；②根据条件得到，利用裂项相消法得到，再分为奇数和偶数两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）传球次后，球恰好在乙手中次分为两种情况： 第一种情况：乙、甲、乙，概率为； 第二种情况：乙、丙、乙，概率为； 所以. （2）①由于n次传球后，球不在丙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有的概率传给丙，故有， 整理得， 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列. 则，得到. ②由①可得， 因为 所以， 当n为奇数时，，所以， 所以，所以， 当n为偶数时，， 所以，所以. 所以. 综上所述，，所以命题得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到，通过变形得到，从而转化成等比数列来解决问题. 【变式训练2-9】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率求出. （2）按第次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用表示即可推理得证. （3）利用（2）的结论，求出随机变量的分布列，再求出数学期望. 【详解】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. （2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： ①根据题中条件确定随机变量的可能取值；②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望. 【变式训练2-10】设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能情况，并求； (2)证明：是等比数列，并求； (3)设抛掷n次硬币后的期望为，求． 【答案】(1)答案见详解； (2)证明见详解，； (3) 【分析】（1）列出所有和的情况，再利用古典概型公式计算即可； （2）构造得，再利用等比数列公式即可； （3）由（2）得，再分，和讨论即可. 【详解】（1）当抛掷一次硬币结果为正时，； 当抛掷一次硬币结果为反时，. 当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，. 所以，. （2）由题知，， 当，且掷出反面时，有，此时， 当，且掷出正面时，有，此时， 所以， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （3）设与的概率均为， 由(2)知， 显然，. 若，则，当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，; 若，则当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，; 若，则， 当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，. 所以时，期望不变，概率为; 时，期望加1，概率为. 所以. 故 . 经检验，当时也成立. . 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分和时讨论，最后再化简的表达式即可. 【变式训练2-11】对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. (1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. (2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. (3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 【答案】(1)5 (2) (3)， 【分析】（1）利用给定定义证明并求值即可. （2）利用给定定义对参数范围进行讨论，求解公比即可. （3）利用给定定义分类讨论求解解析式即可. 【详解】（1）依题意设数列的通项为， 则，，， ，， 由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数， 故数列为一个1到5连续可表数列， 对于数列，设其通项为，直接计算可知， 该数列的，，，，， 而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到. （2）当准等比数列公比为，，，时， 可以对应构造数列，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，， 其中由（1）可知，，为1到5连续可表数列， 对于最后一个数列，有，， ，，， 而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列， 现在，假设，满足， 数列，，，为一个公比为的1到5连续可表准等比数列， 则可以设， 其中，，为，，的一个排列， 则该数列的连续表出具有的形式， 其绝对值不小于，由于1可以被表出，有，故或， 如果不参与表出1到5，则不包含， 故可提出，即， 由于，必是非零整数， 而， 无法表示这个数字，故的表出有的参与， 如果参与表出1和2，有两种可能， 一是当独立表出，二是与其他若干项一起表出， 若当和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而为1或， 所以与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由独立表出， 所以，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和， 故不大于，不小于4，矛盾.所以不可能成立， 综上的可能取值为 （3）我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列， 如果满足，，，的形式， 则其中一项必定为1或，且， 从而当时，任一个进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列. 故，，当时，残片的各项可能取值为， 即，，，，，.由于残片各项一定非负， 则1，2，3，4，5的表出一定没有，，等值参与， 注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值， 而0对这5个数字的表出没有贡献， 故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1，2，4三项 即所挑选的数字应当满足， 故，，从而， 其中表示不超过的最大整数， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题考查求数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得到所要求的解析式即可． 【变式训练2-12】假设市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为，阴天的概率为；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为，阴天的概率为；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为，下雨的概率为；已知市4月第1天的天气情况为下雨. (1)求市4月第3天的天气情况为晴天的概率； (2)记为市四月第天的天气情况为晴天的概率， （i）求出的通项公式； （ii）市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）建议在四月第27天对种子进行特殊处理 【分析】 （1）由题意可确定前一天天气为晴，第二天为晴或宇或阴的概率以及前一天天气为雨，第二天为晴或雨或阴的概率以及前一天天气为阴，第二天为晴或雨或阴的概率，由此根据第一天的天气情况，即可求出第二天每种情况的概率，即可求出第3天晴天的概率； （2）（i）记分别为市四月第天的天气情况为晴天，雨天，阴天的概率，依题意可求出递推关系式，构造等比数列，即可求得的通项公式； （ii）结合数列的单调性，可确定四月份天气为晴的最大概率是第几天吗，由此可提出合理建议. 【详解】（1）依题意，可列举如下概率：前一天晴，第二天为晴雨阴； 前一天为雨，第二天为晴，雨，阴；前一天为阴，第二天为晴，雨阴， 记分别为市四月第天的天气情况为晴天，雨天，阴天的概率，则， 依题意知，故， 第3天为晴天概率； （2）（i）由题意知， 当时，，① ，② ，③ 在①中代入，整理得， 变形为，故为首项，公比的等比数列， ； （ii）由于随着n的增大而减小，故在递增， 故四月份天气为晴的最大概率是第30天，因此建议在第30天为种植时间，提前3天， 即在四月第27天对种子进行特殊处理. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时要理解题意，明确第一天各种天气情况下第二天各种天气情况的概率，进而推出第二天各种天气情况的概率的递推式，结合数列知识，即可求解. 【变式训练2-13】甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗， (1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率； (2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率； (3)若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为，再由无穷等比数列求和公式计算可得， 【详解】（1）记两颗骰子点数相同为事件，则； （2）记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，， 所以， ， ， ， ， ， 记甲的点数和恰好比乙的点数和大点为事件， 则； （3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为， 若先投掷的人第一轮获胜，其概率为； 若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； 若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； 若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； ， 分析可得，若先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为； 所以、、、组成以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以， 从而，先投掷人的获胜概率为. 【变式训练2-14】在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． (1)若这个人开始时位于点处，且． （ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率； （ⅲ）已知，若，求； (2)已知是关于的连续函数． （ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）； （ⅱ）求关于的表达式． 【解析】（1）（ⅰ）设事件：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件：“这个人在第5步掉入陷阱”， 则他在5步内掉入陷阱的概率． （ⅱ）他从开始，最终掉入陷阱的概率为，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱， 若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处， 而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以， 由此可得（舍去）或． （ⅲ）由（ⅱ）可知，， 方法一：由，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则． 则 累加得，所以． 方法二：由，得，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）（ⅰ）由题意得，当时，；当时，． （ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱， 若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处， 而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同， 所以，即，得或． 因为是关于的连续函数，所以当时，， 当时，． 所以 【变式训练2-15】商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束． (1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望； (2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为； ①证明：是等差数列； ②求顾客获得一等奖的概率． 【解析】（1）记事件：“一次取出红球”，则， 设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为， 3次取球后累计分数为随机变量. 则， 则，故， 所以； （2）①由题意当时，，即 所以是等差数列； ②由题意，由上可知：， 所以， 又由题意，所以. 由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即， 所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率. 【变式训练2-16】甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【解析】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. （3）由（2）知，即，， 的取值范围为，所以 【变式训练2-17】菏泽牡丹栽培始于隋，兴于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡丹甲天下”的美誉.四月，菏泽大地上牡丹次第绽放，观赏牡丹拥有9大色系､10大花型､1280余个品种，以最亮眼的姿态恭迎八方游人.某旅行团带游客来菏泽观赏牡丹，游客可自由选择曹州牡丹园和中国牡丹园的一处游览，若每位游客选择曹州牡丹园的概率是，选择中国牡丹园的概率是，游客之间选择意愿相互独立. (1)从游客中随机选取人，记人中选择曹州牡丹区的人数为，求的分布列､均值与方差； (2)现对游客进行问卷调查，若选择曹州牡丹园记分，选择中国牡丹园记1分，记已调查过的累计得分为分的概率为，求. 【解析】（1）随机变量的可能取值为，且，其中， 所以，， ，. 所以随机变量的分布列为 所以均值为， 方差为. （2）由题意可知，，, 所以当时，， 则， 所以为常数数列，且， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 当时，成立， 故. 题型03： 概率与导数结合 【典型例题1】某学校高三年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛） (1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； (2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； (3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可； （2）先应用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可； （3）先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求出概率的最小值. 【详解】（1）设为甲的答题数，则可能取， ， ， ， 所以甲进入初赛的概率为． （2）由题知，可能取， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 所以． （3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即， 因为， 因为， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以． 【点睛】关键点点睛：求解概率最小值的关键是设函数应用导函数得出函数单调性进而求出函数的最小值即可. 【典型例题2】湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动. (1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率. (2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为. ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】(1) (2)①；②的最大值为，的值为. 【分析】（1）利用随机事件的关系结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式求解即可； （2）①由题意可知，要摘到最适合他的福袋，有两种情况，最适合他的福袋是第3个和最适合他的福袋是最后1个，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果； ②记事件表示最适合的福袋被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可． 【详解】（1）8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母， 由抽取规则可知，甲同学取到写有卡片的概率为 （2）①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有种情况， 要摘到最大的福袋，有以下两种情况： 最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况， 最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况， 故所求概率为； ②记事件表示最大的福袋被摘到，事件表示最大的福袋在福袋中排在第个， 因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以， 以给定所在位置的序号作为条件，， 当时，最大的福袋在前个福袋之中，不会被摘到，此时， 当时，最大的福袋被摘到，当且仅当前个福袋中的最大的一个在前个福袋中时，所以， 由全概率公式知， 令函数， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当时，取得最大值，最大值为，此时， 即的最大值为，此时的值为. 【典型例题3】一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次. (1)已知质点每次向右移动的概率为. ①当 时，求质点最终回到原点的概率； ②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了次，分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小 (2)现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数. ①请用含的式子表示该游戏得分的数学期望； ②若 则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？ 【答案】(1)①；② ， (2)① ；② 【分析】（1）①根据独立事件的概率公式计算即可求解；②表示第一次必然向右，后两次至少有一次向右；表示前2次均向右，后三次至少有一次向右；和第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右，根据独立事件的概率公式计算求出，结合作差法即可比较大小. （2）①利用独立事件的概率公式求出第一阶段通过的概率，即可求出数学期望；②由题意可得，令，利用导数求出的最大值即可. 【详解】（1）①质点最终回到原点的情况为:向右走3次，向左走3次， ②设和时质点最终落在原点右侧的概率分别为， 情况为:第一次必然向右，后两次至少有一次向右， 则. 包含2种情况: (i)前2次均向右，后三次至少有一次向右； (ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右， ， ，则. （2）①第一阶段通过的情况为3次均向右或者有2次向右，1次向左， 其概率为: ， 设为最终得分，则可以为0，1，3， 则其数学期望为； ②若，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即当时，该游戏得分的期望值最大. 【点睛】关键点点睛：解决本题第（2）问的②关键在于根据独立事件的概率公式计算得到，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【典型例题4】第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率： (2)已知．现有两种初赛人员派出方案： 方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲 设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值． 【答案】(1) (2)，，． (3)． 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【详解】（1）设事件A表示该小组获胜．则． 所以该小组初赛胜利的概率为． （2）的可能取值为1， 2，3． 则． 此时 的可能取值为1，2，3． 则． 此时． 所以 因为． 所以．所以． （3）由题意可得，． 则． 令． 则．令． 所以当时，，为减函数． 当时．，为增函数． 所以． 所以的最小值为． 【变式训练3-1】某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为. (1)求乙同学第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使成立，求整数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由题意得时，，化简变形后可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出； （3）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最小值，从而得，进而可求得答案. 【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为； （2）由已知时，， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以； （3），即，令，则， 因为和在上递减， 所以在上递减， 因为，所以时，，则在上递减， 显然，因此要求的最大值，即求的最小值， 又，为偶数时，，为奇数时，， 且在为奇数时，是单调递增的， 所以是中的最小值， 所以，又在上是减函数， 所以，而，故 所以， 所以满足的整数的最小值为. 【变式训练3-2】某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案： 方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测； 方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（，），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测. 已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X是方案二这n瓶待测试剂的检测次数，为方案二的检测次数的数学期望. (1)记的最大值为E，求证：； (2)能否认为恒成立?说明理由，并以此说明方案二的合理性； (3)给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)能，理由见解析，合理性见解析； (3)方案见解析 【分析】（1）写出方案二中，转化为证明恒成立，再利用导数即可证明； （2）求出，最后根据检测次数的期望即可说明其合理性； （3）模拟二分法即可设计方案. 【详解】（1）设“每个小组的检测次数”，则或，令， 则， 恒成立恒成立， 令， ，因为，所以在上单调递增， ， 所以存在使得，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以，证毕． （2）由（1）知，所以， 由题意知，所以， 在不是很大的条件下，， 所以可以近似认为， 因此若以检测次数期望最小为决策依据，那么根据方案二检测次数的期望小于方案一的检测次数，可以认为方案二更优． （3）二分法混合检测         方案说明：当为奇数时，分为和两份检测，各自混合检测， 再将含有的那部分再分2份混合检测，如果遇到奇数瓶时，按照第一次分法即可； 如果遇到偶数瓶时，则分为相同两份检测，依次类推； 当为偶数时，分为和两份检测，各自混合检测， 当为偶数时，按照第一次分法继续分为两份，各自混合检测； 当为奇数时，按照瓶数差为1的分法继续分，即和两份检测，依次类推； 理由：若混合液中未检测出成分，那剩下的试效含有成分的概率会提高， 同时也排除了该混合液对应试剂含有的可能性，更有针对的进行试验，从而减少检测次数. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为证明恒成立，再利用导数即可证明. 【变式训练3-3】泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【详解】（1）因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . （2）①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 【变式训练3-4】第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【解析】（1）设事件表示该小组获胜， 则， 所以该小组初赛胜利的概率为， （2）若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲. （3）由题意可得，， 则， 令， 则， 令， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以， 所以的最小值为. 【变式训练3-5】第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望. (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值. 【解析】（1）（i）由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为， 甲回答了5道题进入决赛的概率为， 所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为. （ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，7， 则， ， ， ， 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 P 则. （2）设乙答对第3道题的概率为y，则， 所以 ，， 则 ， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【变式训练3-6】小郅同学的左、右口袋中分别装有3个糖果，每次取糖他都有的概率从右口袋中取，每次取糖过程相互独立.当他发现某个口袋中没有糖时停止取糖. (1)求当他右口袋为空时，左口袋中剩余2个糖的概率，并求出的值使最大. (2)若，求小郅最终发现其右口袋没有糖的概率. (3)对于，求证成立不等式：. 【解析】（1）由题意可知：，且， 则， 令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减， 所以当时，取到最大值. （2）设当他发现右口袋为空时左口袋剩个糖果的概率为，则， 所以 . （3）设初始左、右口袋均有个糖果， 则（2）中公式可化为：， 下证：，即证， 等价于， 等价于， 等价于， 依此类推等价于，这显然成立. 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 化简最终不等式得：， 又因为，当且仅当，即时等号成立， 可知，可得，所以. 【变式训练3-7】为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大． 【解析】（1）根据题意可知X的取值可能为2，3，4， 则，， ， 则的分布列为： 2 3 4 所以. （2）由题意可得，， ， 令，解得， 因为当时，，所以为单调增函数， 因为时，，所以为单调减函数， 所以当时，取得最大值. 【变式训练3-8】设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. (1)若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. (2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. (3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为. 【解析】（1）依题意得：， 所以. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以时，取得最大值，所以的极大似然估计值为. （2）依题意得：，所以. 令，得，令，得， 又，所以… 所以或200时，取得最大值，所以的极大似然估计值为或200. （3）依题意得： 所以 令，， 则，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值. 即时，取得最大值，即取得最大值. 所以参数的极大似然估计值为. 题型05：概率、统计与立体几何的综合问题 【典型例题】在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，分别是，的中点，是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为.当平面时，当P在平面中时，到的距离为. (1)求直三棱柱的侧棱长； (2)当P到的距离为1时，求二面角的余弦值； (3)P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率. 【解析】（1）如图，延长交于点Q，连接， 设高为， 因为平面，P在平面中， 平面平面，平面， 所以， 根据几何关系得到， 即侧棱长为； （2）以AC中点O为原点，建立如图的坐标系， 则，，， 或， 故，， 设平面的法向量为， 则有，可取， ，或， 设平面的法向量为， 则有， 当时，可取， 此时， 当时，可取， 此时， 综上所述，二面角的余弦值为或； （3）由题意得下图： 由夹角得到与P点轨迹平面相交的圆，圆内和圆上的点符合题意图中， P从A出发，只需考虑净结果， 一：净向左1，2，3，4，5步均可， 设向左步， 得到 所以， 当为偶数时， 当为奇数时； 二：净向右4，5，6，7，8步均可， 设向右步， 得到， 当为偶数时， 当为奇数时， 综上：当n为偶数时， 当为奇数时. 【变式训练4-1】某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示. (1)求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数； (2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望； (3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率. 【解析】（1）由. 因为：，， 所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为. （2）因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为， 抽取的1天汽车销售量在内的概率为. 所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为. 由题意，的值可以为：0，1，2，3. 且，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）如图：取中点，链接，，，，. 因为，都是边长为2的等边三角形， 所以，，，平面，所以平面. 平面，所以. 所以为二面角DE 平面角. 在中，，所以. 若，在中，由正弦定理：. 此时：，. 所以，要想中奖，须有. 由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个， 满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个， 所以中奖的概率为：. 【变式训练4-2】如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； (3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 【解析】（1）因为平面，平面BCD， 所以， 又，，平面ABC， 所以平面， 因为平面ABC， 所以； （2）将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接BD， 由（1）知：∠ACD=90°， 因为平面，平面BCD， 所以AB⊥BC， 因为， 所以∠ACB=45°， 故展开后， 所以彩带的最小长度为此平面图中长. 由余弦定理得：， 所以彩带的最小长度为； （3）6条棱中任选2条，共有种情况， 其中， 所以， 四个面任取两个面，共有种情况， 其中平面平面BCD，平面平面ACD，平面ABD⊥平面BCD， 故， 任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有种情况， 再从不在此面上的三条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD和棱AB，平面ABC和棱CD， 故， 所以. 题型05：概率、统计与解析几何的综合问题 【典型例题1】已知直线与轴分别交于点，以线段（为坐标原点）为直径作圆，若在线段上任取一点，则该点取自圆外的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线方程，令，可得；令，可得， 所以，可得， 以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离，则圆与相交， 设交点为，所以， 所以，故所求概率为. 故选：A. 【典型例题2】设O为平面坐标系的坐标原点，P为区域内的点，则直线OP的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为区域表示以为圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线OP的倾斜角不大于的范围在第一象限对应的圆心角为， 结合对称性可得所求概率为. 故选：B 【变式训练5-1】在区间内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的左右两支有两个交点，则方程有异号的两实数根， 所以，解得， 又因为实数为区间内的实数，由几何概型的概率计算公式得所求概率为． 故选：C． 【变式训练5-2】在上随机取一个数，则“直线与圆无公共点”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若直线，即与圆有公共点， 则圆心到直线距离，故，解得， 由几何概型的概率公式，得事件“直线与圆无公共点”发生的概率为． 故选：B． 【变式训练5-3】有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为. 所以空白部分的面积为. 设“恰好处在红芍种植区中”为事件，则. 故选：C 【变式训练5-4】设m，，曲线C：，则下列说法正确的为（    ） A．曲线C表示双曲线的概率为 B．曲线C表示椭圆的概率为 C．曲线C表示圆的概率为 D．曲线C表示两条直线的概率为 【答案】B 【解析】对于A，当时，曲线C表示双曲线， 则当时，有种，当时，有种， 所以曲线C表示双曲线的概率为，故A不正确； 对于B，当，曲线C表示椭圆，所以有种， 曲线C表示椭圆的概率为，故B正确； 对于C，当，曲线C表示圆，有3种情况， 曲线C表示圆的概率为，故C不正确； 对于D，当或，曲线C表示两条直线， 当时，有3种情况，当时，有3种情况，共6种情况， 曲线C表示两条直线的概率为，故D不正确. 故选：B. 题型06：概率、统计与三角向量的综合问题 【典型例题1】若正六边形的边长为1，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， ，， ， 所以五个点中有两个点满足题意，所以概率为. 故选：D. 【典型例题2】小丽今天晚自习准备复习历史、地理或政治中的一科，她用数学游戏的结果来决定选哪一科，游戏规则是：在平面直角坐标系中，以原点为起点，再分别以，，，，这5个点为终点，得到5个向量，任取其中两个向量，计算这两个向量的数量积，若，就复习历史，若，就复习地理，若，就复习政治. (1)写出的所有可能取值； (2)求小丽复习历史的概率和复习地理的概率. 【解析】（1）依题意计算 ，                  ，        ，        所以的所有可能取值为． （2）任取两个向量的所有可能情况总数有10种，             其中的情况有4种，所以小丽复习历史的概率为，    的情况有3种，所以小丽复习地理的概率为． 【变式训练6-1】正2022边形内接于单位圆O，任取其两个不同顶点，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴的充要条件为， ∴的夹角不会超过，对于任意给定的向量， 满足条件的向量的取法有种， 所以的概率， 故选：B 【变式训练6-2】已知函数，其中且在上有且仅有2个零点，2个极值点． (1)求的最小正周期； (2)设集合且，已知△，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，求使得△存在的概率． 【解析】（1）由 ， 设，因，则，如图： 由的图象可知，要使在上有且仅有2个零点，2个极值点，需使， 解得：，因，则，即，故其最小正周期为. （2）由可得，解得：即（*） 由集合A可知，代入（*），化简得：，又且， 故可得：，则有. 因，，若角A的值可使△存在，需使，即， 而满足此条件的角有共6个，故使得△存在的概率为. 【变式训练6-3】如图，设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量. (1)求的概率； (2)求的分布列及数学期望. 【解析】（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法， 其中是有一个的直角三角形,即：共种， 所以. （2）的所有可能取值为， 的为顶角是的等腰三角形，即共种， 所以， 的为等边三角形，即共种， 所以， 又由（1），故的分布列为： 所以. 【变式训练6-4】有编号为A、的两个盒子，A盒子中有6个球，其中有2个球上写有数字，3个球上写有数字1，1个球上写有数字，盒子中也有6个球，其中有2个球上写有数字，2个球上写有数字1，2个球上写有数字.现从A盒子取2个球，从盒子取1个球，设取出的3个球数字之积为随机变量. (1)求随机变量的分布列和数学期望； (2)记“函数向右平移个单位长度得到一个对称中心为的函数”为事件，求事件发生的概率. 【解析】（1）的可能取值为0，1，2，4 ，， ， 的分布列为 0 1 2 4 P 则 （2）函数向右平移个单位长度得到 函数 由函数一个对称中心为，可得，即 又的取值为0，1，2，4，则，则 题型07：概率与其他知识点结合 【典型例题1】某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率. (1)随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？ (2)经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130] 患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18 指标 [70，75] 未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围； (3)在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；无关 (2) (3)；误诊率为，漏诊率为 【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较即可判断误判与性别的相关程度； （2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，继而得到临界值的范围； （3）结合频率分布表分段写出误判率的表达式，即可求解. 【详解】（1）依题意，列出列联表为： 误判人数 未误判人数 总计 男性人数 2 498 500 女性人数 8 492 500 总计 10 990 1000 由上表，， 故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关； （2）因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有； 又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有. 综上，临界值的范围为； （3）由（2）已得，设误判率为， 当时，， 当时， ， 所以当时，误判率最小， 相应的误诊率为，漏诊率为：. 【点睛】关键点点睛：本题证据要考查独立性检验、百分位数的应用，属于较难题. 解决通过统计图表求百分位数的问题，需要正确理解相关概念的具体含义，结合统计表或分布图表，列出相应的方程或不等式求解. 【典型例题2】近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的居民 40 10 50 年龄超过45岁的居民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系． (2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为；如果周一选择在平台买菜，那么周二选择在平台买菜的概率为，求小张周二选择在平台买菜的概率. (3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量，并记随机变量，求X，Y的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05 (2) (3)的数学期望，方差，的数学期望，方差 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比较即可求解； （2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答； （3）由二项分布的期望、方差公式求解随机变量X的数学期望和方差，再利用数学期望和方差的性质求解Y的数学期望和方差即可. 【详解】（1）统计假设：该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄无关系， 由给定的2×2列联表，得 根据小概率值的独立性检验，否定假设， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05； （2）设表示周在平台买菜，表示周在平台买菜，. 由题可得． 由全概率公式，小张周二选择在平台买菜的概率 ； （3）依题意，该社区居民喜欢网上买菜的概率估计值为. 从该社区随机抽取10名居民，其中喜欢网上买菜的居民人数， 所以的数学期望，方差. 又，所以的数学期望，方差. 【变式训练7-1】某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据折线图中数据和附注中参考数据可计算相关系数； （2）根据题意得，由递推关系可得等比数列，利用等比数列的前项和公式计算即可； （3）利用指数函数的单调性和极限思想可求最值. 【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，， ， 所以相关系数， 因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）依题意得，，其中，， 则， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故成立， 则有， 所以，又， 则. （3）当为偶数时，，单调递减，最大值为，， 当为奇数时，，单调递增，最小值为，， 所以数列的最大值为，最小值为． 【变式训练7-2】某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． (2)在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 【答案】(1)甲，理由见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析. 【分析】（1）利用频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即得. （2）（ⅰ）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得；（ⅱ）按游戏使用次数，求出值及对应的概率，再用列表法表示出函数关系即可. 【详解】（1）甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，，则其中位数小于80， 所以甲运动员参加第二阶段游戏. （2）（ⅰ）若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率， 所以甲能参加游戏的概率为. （ⅱ）由甲参加每个游戏获胜的概率都是，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用了4次，则或50； ②游戏使用了3次，则或150； ③游戏使用了2次，游戏使用2次，则或150； ④游戏使用了2次，游戏使用1次，则或350； ⑤游戏使用了1次，游戏使用3次，则或150； ⑥游戏使用了1次，游戏使用2次，则或350； ⑦游戏使用了1次，游戏使用1次，则或350或550，其中有2种情况， 因此，当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，， 所以用列表法表示关于的函数为： 0 50 150 350 550 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 【变式训练7-3】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率. (1)求 (2)当时，求的表达式. (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）当时，， 当时，； 当时，， 即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由关于单调递增， 故当时，有的最大值为， 又， 所以当时，的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键. 【变式训练7-4】某商场为吸引顾客，设计了一个趣味小游戏，地面上划有边长为1的小正方形网格，游戏参与者从网格的某一个顶点出发，每一步沿一个小正方形的对角线向右上方或右下方移动，如图所示．已知游戏参与者每步选择向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的选择是相互独立的． (1)商场规定：某顾客从出发，沿小正方形的对角线向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，当他走完第四步后，得分为，求的分布列； (2)商场制定了一个游戏规则：若顾客和老板都从出发，走到点的位置．设走完第步后，顾客位于点，老板位于点，其中且；若对任意且都有，则认为顾客方获胜．记顾客获胜的概率为． （i）当时，求顾客获胜的概率； （ⅱ）求，并说明顾客和老板在游戏中哪一方获胜的概率更大． 参考公式：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）;（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）先求出的取值情况，再分析每种情况表示的意义，借助独立事件的乘法公式计算概率，进而得到分布列即可； （2）（i）运用组合知识求出顾客和老板从步中选步是向右下方走的组合数，设顾客在第步向右下方走，则分情况讨论老板的走法总数，再用概率公式计算即可. （ⅱ）与（i）同理求出，变形借助函数的单调性，知道数列是递减数列，再讨论得解. 【详解】（1）根据题意，可取. 当，每次的操作使得分数减少，每次操作的概率为.由于走了步，且每步都要使得分数减少，所以.   当意味着步中有步是使得分数减少的操作，步是使得分数增加的操作. 步中选步的组合数为. 每步操作的概率为，所以. 当表示步中有步是使得分数减少的操作，另外步是使得分数增加的操作. 步中选步的组合数为. 每步操作概率为，所以. 当意味着步中有步是使得分数减少的操作，步是使得分数增加的操作. 步中选步的组合数为. 每步操作概率为，所以. ，每次的操作使得分数增加，每次操作概率为，走了步， 所以. 则的分布列为： -4 -2 0 2 4 （2）（i）顾客一共需要走步，其中向右下方走步，向右上方走步. 从步中选步是向右下方走的组合数为.同理，老板也有种走法； 对任意，都有，可设顾客在第步向右下方走，则老板的走法有两种情况： 情况一：老板在第1步到第步中有两步向右下方行走，共种走法： 情况二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共种走法，所以顾客获胜时，顾客与老板总的走法数为 所以 （ⅱ）当顾客和老板都从出发，走到点的位置时， 顾客一共需要走步，其中向右下方走2步，向右上方走步，共有种走法；同理，老板也有种走法； 对任意都有，同样可设顾客在第步向右下方走，则老板的走法有两种情况： 情况一：老板在第1步到第步中有两步向右下方行走，共种走法； 情况二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共种走法； 所以顾客获胜时，顾客与老板总的走法数为 . 所以顾客获胜的概率为 由于 又函数在上单调递减， 所以数列是递减数列， 又，所以当时，有 所以在商场制定的游戏规则中， 当时，顾客与老板的获胜概率是相等的； 当时，老板的获胜概率更大. 【点睛】关键点点睛：第一问关键是找清楚X的所以情况，以及代表的意思，结合独立事件求概率；第二问关键是找出顾客和老板的走法数情况，分类讨论，用函数单调性结合得到单调性即可求解.题目较难，理解能力和计算能力要求高，属于难题. 一：选择题 1．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 可得，因为，所以，， 对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有， 因此，的概率为. 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，已知点，在圆上任取一点，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数量积的定义可得，，又，所以， 即当动点在上运动时，才满足，所以的概率为． 故选：B． 3．图1是我国古代数学家赵爽创造的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个三角形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2所示，已知，若在这个图形中随机取一点，此点取自小正三角形（阴影部分）的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设小正三角形的边长为，大正三角形的边长为，则，得到， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得到， 解得或（舍），所以， 故选：C. 4．勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方形的边长，较小的角为，则中间小正方形的边长为， 由题意可得， 显然，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以，所以. 故选：D 5．（多选题）从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（    ） A．是锐角的概率为 B．是直角的概率为 C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为 【答案】ACD 【解析】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张， 共有种情况， 设与直线垂直，因为，则直线， 其中个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在上方， 一半在下方， 要想为锐角，则点应在直线下方， 其中满足要求的有28个点， 故是锐角的概率为，A正确； B选项，过点作直线⊥， 则点落在直线上，满足为直角， 其中，故直线的斜率为1，直线的方程为，即， 落在上的点的坐标有，共6个， 故是直角的概率为，B错误； C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间， 根据点的坐标特征，应落在上， 满足要求的点有，共7个， 故是锐角三角形的概率为，C正确； D选项，直线的方程为，， 设直线， 设直线与直线的距离为， 则， 令，解得， 故要想的面积不大于5，则点在上，或的下方， 即， 满足要求的点有， ， ， 共个， 的面积不大于5的概率为，D正确. 故选：ACD 二：解答题 1．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当时，比较与的大小； (2)当时，求； (3)函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据概念，结合频率分布直方图，代入可解. （2）用频率分布直方图，结合的意义列不等式可解. （3）分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可. 【详解】（1）当时，， ，所以． （2）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为， 所以．当时，， 解得．此时． （3）当时， ． 当时， ． 因为， 所以在区间的最小值为0.02． 又因为，， 所以在区间上的值域是． 2．为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为． (1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望； (2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率． （i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）； （ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）列出的可能值，并求出对应的概率，可得的分布列，并求期望. （2）根据分布函数的概念，求分布函数. 【详解】（1）甲选手得分X的取值可为0，1，2，3， ，． ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 X的数学期望是． （2）（i）X的分布函数为； （ii）设随机变量Y的分布函数为， 若，此时； 若，由题意设， 当时，有，又因为， 所以，即， 所以； 若，此时， 综上所述，． 3．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324 441 529 625 729 841 1024 1225 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.0052 其中. (1)根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：） (2)模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好； (3)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：. 【答案】(1)答案见解析 (2)模型②的拟合效果更好 (3)①；② 【分析】（1）先令，建立与的线性相关关系，利用表中数据结合最小二乘法求出即可得解； （2）根据决定系数的大小关系及意义即可得解； （3）①先由题意得，再利用导数工具结合范围即可得解；②由①得每年需要人工防治的概率为，故由题意，接着由二项分布的均值和方差公式即可得解. 【详解】（1）令，则， 所以与呈线性相关关系， 由题，， ， 所以，故， 所以，故， 所以模型②下关于的回归方程为； 当时， 经模型①计算估计产卵数为， 经模型②计算估计产卵数为. （2）因为模型①，②的决定系数分别为，故， 所以模型②的拟合效果更好. （3）①由题， 所以 ， 令得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率. ②由①知，当时取最大值， 所以当时，， 则由题意可知每年需要人工防治的概率为，且， 所以. 【点睛】方法点睛：常见非线性回归方程类型与求解思路： 求解思路：非线性转化成线性. （1）指数型： 令，则与建立线性相关关系， 利用最小二乘法公式求出关于的线性回归方程，进而利用即可得到关于的回归方程. （2）幂函数型： 令，则，故与建立线性相关关系， 同理求出关于的线性回归方程，即可利用得到关于的回归方程. （3）对数型： 令，则，故与建立线性相关关系， 同理求出关于的线性回归方程，即可利用得到关于的回归方程. 4．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析，不能 (2)（i）；（ii）， 【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，得到，然后进行数据比对，最终得到答案； （2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据条件得到，利用二项分布的期望公式，即可求出期望；先设时，最大，根据最大，结合二项分布概率求法列出不等式组，即可求出结果. 【详解】（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在内有（只）； 在）内有（只）； 在）内有（只）； 在）内有（只）； 在内有（只） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只）， 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如下：单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联. 根据列联表中数据，得. 根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件发生的概率分别为，则，. 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率. （ii）由题意，知随机变量，所以. 又，设时，最大， 所以 解得，因为是整数，所以. 5．篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人进球与否互不影响． (1)若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分别求得甲和乙在每一轮比赛中投进球对应的概率，再结合题意，求出乙在一轮比赛中获得1个积分的概率即可； （2）先求得乙在每轮比赛至少要超甲2个球的概率，设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，根据二项分布的期望计算公式求得，进而根据题意，列出不等关系，结合导数研究函数的单调性，从而求得结果. 【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球， 则，，，； ，，，； 若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利次， 故其概率 . （2）设事件表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则 ； 设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分， 显然，故， 要满足题意，则，即，又，故， 令，则在恒成立， 故在上单调递增，又的最大值为， 则的最大值为，的最小值为，而， 故理论上至少要进行轮比赛. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是设出随机变量，利用二项分布的期望求解公式，解得；同时，构造函数，利用导数研究其单调性和最值；属综合困难题. 6．传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． (1)记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为． ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①；②； 【分析】（1）依题意可知的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）①利用古典概型的概率公式计算可得； ②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式． 【详解】（1）的所有可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 3 （2）①由题意知，． ②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，， 所以 即 所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即次传球后球在小胡手中的概率是． 【点睛】思路点睛：离散型随机变量的分布列问题，首先确定离散型随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概型进行求概率，列出分布列即可，第（2）问，利用全概率公式建立等式，利用递推关系和等比数列的定义、得出通项公式． 7．为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． (1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； (3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率； （3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可. 【详解】（1）设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件， ，， 故， 所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为. （2）由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”， 所以 ， 故数列的通项公式为. （3）设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则概率， 要使最大，即使最大， 所以， 即，化简得，且， 又在上单调递减， 所以，综上所述，. 【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后求概率. 8．某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投篮命中率为，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量. (1)求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率； (2)求该同学投篮次数（不超过）的分布列； (3)在（2）的前提下，若，求的最小值. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)4 【分析】（1）根据题意解独立重复试验即可得到答案； （2）根据题意先求出概率再列出分布列即可； （3）结合（2）化简可得，应用错位相减得出和最后结合数列单调性即可得到最小值. 【详解】（1）根据题意，该同学投篮次数为4次时结束比赛，即投篮的前三次中只有一次投中，第四次必定投中，         所以投篮次数为4次时结束比赛的概率为. （2）依题意， 投篮次数的可能取值为2，3，4，， ， ， ， 随机变量的分布列如下表， 2 3 4           （3）由（2）得：， 化简得， 即. 记①， 则②， 由①-②，可得， 即，解得， 由此可得，，即.         设， 因为，可得数列是递减数列.         又，， 所以整数n的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是错位相减法求出概率和，进而化简结合数列单调性即可解题. 9．甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，； (2)求，； (3)求数列的通项公式，并证明. 【答案】(1)， (2)， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据古典概型概率及互斥事件的概率公式计算即可； （2）根据条件概率与全概率公式计算即可； （3）讨论第次换球后甲口袋中黑球的个数为1的情况下的三种情形，构造等比数列计算通项公式，再由等比数列求和公式结合指数函数的性质证明即可. 【详解】（1）第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则. 第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得. （2）若第2次换球后甲口袋中有2个黑球， 则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球， 当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球， 所以. 若第2次换球后甲口袋中有1个黑球， 则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球， 当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球， 当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球， 所以. （3）第次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有： ①若第次换球后甲口袋中有2个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球； ②若第次换球后甲口袋中有1个黑球，则第次甲、乙口袋同取黑球或同取白球； ③若第次换球后甲口袋中有0个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球. 所以. 设， 则，则，得. 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以，即 所以 . 【点睛】思路点睛：根据条件概率与全概率公式得出第n次换球后甲袋1个黑球的第次换球后甲袋中黑球个数的情形得出的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可. 10．一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． (1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 (2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)填表见解析；有 (2)① 答案见解析；②；③为定值1，证明见解析 【分析】（1）先计算，再根据独立性检验判断即可； （2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的定值. 【详解】（1）由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 则的观测值为， 所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联 （2）（ⅰ）由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知： ；； 故的分布列如下表： 0 1 2 P （ⅱ）由全概率公式可知： 即：，所以，所以， 又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即． （ⅲ）可判断为定值 由全概率公式可得： 即：，又， 所以， 所以 又， 所以， 所以 所以 可得的分布列 0 1 2 P 所以 ∴为定值1 【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值. 11．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗，该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染．现有n只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时，接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量X表示n只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立． (1)若，求数学期望； (2)设接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量，表示第i组被感染的白鼠数．现将随机变量)的实验结果绘制成频数分布图，如图所示． ①试写出事件“”发生的概率表达式(用p表示，组合数不必计算)； ②现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关，团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为．在统计学中，若参数时使得概率最大，称是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计．参考数据：． 【答案】(1) (2)①；②团体B， 【分析】（1）易知随机变量服从二项分布，由，得，数学期望即可求解； （2）①设“”，依题意得化简即可；②记，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【详解】（1）由题知，随机变量服从二项分布，即， 可知， 由，即， 可得，解得， 即，所以． （2）①， 则， 可得． ②记， 则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当时，取得最大值，即取得最大值． 在团体A提出的函数模型中， 记函数，， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当时，取得最大值，则不可以估计； 在团体提出的函数模型中， 记函数， 可知在内单调递增， 令，解得， 则是的最大似然估计． 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 12．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）求出求的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式求出； （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案；（ii）利用题目条件可证明，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 【详解】（1）粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 【点睛】关键点睛：本题第二问（ii）的关键点在于利用可得，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 13．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. (1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； (2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得， 分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系， （2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论； （ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求， 若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 【详解】（1）猜测全部正确的概率为， 猜测全部错误的概率为， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， （2）（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率， 则，解得， 所以， 所以， 因此，②④一定错误， （ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况： 两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为； 有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为； 两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为； 所以， 若选择①， 令，则，其中， 所以， 所以， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递增， 所以， 即的取值范围是 若选择③， 此时，又， 所以，所以， 令，则 ，， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为 ，，， 所以，， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递减， 所以，即 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件，利用基本事件表示，再结合概率运算公式求其概率表达式. 14．在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为． (1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式； (2)当N足够大时，证明：（其中）； (3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）根据题意表示出利润，然后加上可得； （2）根据题意得，然后利用累乘法求即可； （3）利用（2）中结论得，然后利用导数求最大值点即可. 【详解】（1）由题知，投入资金为，所获利润为，所以. （2）由题可知，，即， 所以 . （3）由（2）可得，, 其中，故，故. 记， 则 ， 根据实际意义知，， 则， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，即取得最大值. 【点睛】关键点点睛：本题关键是寻找与的递推关系，利用累乘法求出，然后由导数求最大值点即可. 15．生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的. (1)直接写出的数学期望. (2)用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. (3)若某种细胞发生基因突变，当时. （ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率. 【答案】(1) (2)，，证明见解析 (3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）对于求随机变量的数学期望，根据数学期望的定义，是各个取值与其对应概率乘积的和. （2）在求事件A的概率表示时，需要用到全概率公式.对于证明灭绝概率是方程的根，要根据条件逐步推导. （3）对于证明细胞灭绝是必然事件，要根据新的分裂规则求出新的数学期望并判断.求经过n次分裂得到3个细胞的概率，需要根据分裂规则建立递推关系求解. 【详解】（1）. （2）， 则：， ，由于分裂后细胞相互独立， . ， 所以：. 若能取到中的所有数，则令：，有：， 为该方程的一个实根，.， 由于的每一项在上均单调递增，故单调递增，. 由于，则：①当时，单调递减，，，故在，只有唯一零点， 这是原方程的最小正实根，符合的实际意义； ②当时，，故唯一使， 此时在单调递减，在单调递增且. 所以在有两个零点与，其中：.由于， 故，故，此时也取到原方程的最小正实根，符合的实际意义. 综上：该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. （3）（ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率， 故对该细胞母体：， ，解得：，该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）由条件：， ， . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，读懂题目，利用全概率的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数和数列知识来求解. 16.某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为． (1)若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率； (2)该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明． 【解析】（1）设第i次射击时命中目标为事件，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B． ， ， ． （2）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，…，n． 若射击次停止，则第k次命中，前次射击中有一次命中， 故，，， 若射击n次停止，有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中， 故． 随机变量X的分布列为 ． 法一、易知， ， 易知时，，即， ∴， ． 法二、令，① 则，② ，得， 令， 则， 得 ， ，． ． 17.分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 【解析】（1）平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”， 设“再打两球该局比赛结束”，则， 所以. （2）的可能取值为所有正偶数， 考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分， 则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为， 所以 ， ， …… ， …… 所以， 记， 则， 以上两式相减得 ， 所以， 当趋于时，趋于4，所以. （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为， 则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以该局比赛甲获胜的概率 当趋于时，趋于， 所以该局比赛甲获胜的概率为. 18.甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 【解析】（1）根据题意可知，的所有可能取值为0，1，2， 则，， ， 可得的分布列如下： 0 1 2 期望值为； （2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能： 第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同， 第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同， 又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为， 摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为， 因此可得，， 所以， 因此可得，且，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 即， 所以 ， 由题意， 综上，. 19.如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 【解析】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 当点在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以，. （2）， 所以， 又因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； ，， 若，则，所以， 又，，，所以，的最大值为. 20.随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【解析】（1）粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 21.某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分． (1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？ (2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为，记甲以取胜的概率为，当最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分的分布列及期望． 【解析】（1）由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是； （2）由题意可知， 所以， 显然时，，即单调递减； 时，，即单调递增； 则时，取得最大值， 由题意可知的可能取值为， 则， ， ， ， 则其分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 22.某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生，这45名学生中，，B，C三个班级的人数比为4:3:2. (1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为，求的分布列和数学期望； (2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为，若共有5组进行发言，用表示恰有3组来自研发实验的概率，证明:的最大值不会超过. 【解析】（1）抽取9人中来自B班级的人数为， 的所有可能值为， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. （2）依题意，， 求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， . 23.如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.    (1)求三棱锥的侧面积的最大值； (2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值. 【解析】（1）因为三条侧棱，，两两垂直，且，，，且三棱锥的外接球半径， 则以、、为长、宽、高的长方体的体对角线为外接球的直径，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的侧面积，当且仅当时取等号， 即三棱锥的侧面积的最大值为. （2）依题意的可能取值为、、， 则，， ， 所以. 24.如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点. (1)问：上是否存在点，使得平面？请说明理由； (2)在（1）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率. 【解析】（1）存在，E是的中点． 证明：如图，连接， ∵分别为的中点，∴且，    又且，为的中点，所以，且， 且，∴四边形是平行四边形， 即平面平面， ∴平面； （2）易知鱼被捕的概率为， 由平面，且由（1）知，∴平面，平面， ∴，又是中点，∴， 由是底面圆的直径，得， 又，，平面，∴平面， 即为四棱锥的高， 设圆柱的高为，底面半径为，则， ，     所以，小鱼被抓到的概率为． 25.已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. (1)求概率的值； (2)求的分布列，并求其数学期望． 【解析】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望． （1）从个顶点中随机选取个点构成三角形， 共有种取法，其中的三角形如， 这类三角形共有个 因此. （2）由题意，的可能取值为 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 因此 所以随机变量的概率分布列为： 所求数学期望 . 26.如图，已知面积为4的正三角形三边的中点分别为、、，从，，，，，六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为（三点共线时，规定） （1）求概率（）； （2）求的概率分布列，并求其数学期望. 【解析】（1）从六点中任取三个不同的点共有个基本事件， 不满足事件“”即七种情况， 事件“”所含基本事件有13个，从而. （2）由题可能的取值为：0,1,2,4， ，，， 的分布列为： 0 1 2 4 则 答：，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $