精品解析：内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高一期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4，本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角为第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A B. C. D. 4. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 7. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若幂函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 10. 已知，则（ ） A. B. C D. 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若某个扇形的圆心角为，半径为12，则该扇形的弧长为_____，该扇形的面积为__________． 13. 已知，，，则的最小值为______. 14. 已知定义在上的函数对定义域内的任意，都有，且，当时，，则不等式的解集为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若，求的值； （2）计算：． 16. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表． 0 0 8 0 （1）将表中数据补充完整，并直接写出的解析式； （2）将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调区间． 17. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. （1）求m的值； （2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 18. 如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． （1）求的解析式． （2）设偶函数和奇函数定义域均为，且． （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值． 19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数． （1）证明：为“2积轴函数”． （2）已知函数． （i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数值；若不是，请说明理由． （ii）若关于的方程在上有解，且函数有唯一零点，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高一期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4，本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析集合表示的集合，可等同于，再根据交集运算即可求解. 【详解】集合表示所有整数的平方构成的集合，即，再根据交集运算，得. 故选：A. 2. 已知角为第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及各象限角三角函数值的符号求解即可. 【详解】因为是第四象限角，所以， 所以． 故选：D. 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为的定义域为， 所以满足，得， 则的定义域为． 故选：C 4. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 5. 已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式、三角函数的最值、三角函数的最小正周期等知识求得正确答案. 【详解】因为， 所以，解得， 所以的最小正周期为． 故选：B 6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意可得，得，则， 因为，所以的最小值为无最大值． 故选：D 7. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A；根据排除C；根据排除D. 【详解】根据题意可得的定义域为， 且， 所以为偶函数，排除A． 令，得或，排除C． ，排除D． 故选：B． 8. 已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，结合指数函数、一次函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因，，， 所以在上单调递增， 则由，得. 所以a取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若幂函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，奇偶性以及指数函数的运算即可求解. 【详解】根据幂函数定义则，解得或. 对于，因的定义域为，当时，，所以，故A正确，B错误； 对于，，定义域为，且，所以是奇函数，C正确； 对于，，D正确. 故选：ACD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A错误， ，C正确． ，B正确． ，D正确． 故选: BCD 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 【答案】AC 【解析】 【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确. 【详解】由，得，作出的大致图象，如图所示， 结合函数图象，可得： 当时，方程只有1解； 当或时，方程只有2解； 当时，方程只有3解； 当时，方程只有4解， 所以有四个零点，则，故D错误， 若有四个零点，由图可知： 当时，，，， ，， 当时，，的最小值为，故A正确； 当时，，，，故B错误； ，，故C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若某个扇形的圆心角为，半径为12，则该扇形的弧长为_____，该扇形的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式计算即可. 【详解】由扇形的弧长公式可知，， 由扇形的面积公式可知，． 故答案为：，. 13. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】16 【解析】 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 详解】由题可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为16. 故答案为：16. 14. 已知定义在上的函数对定义域内的任意，都有，且，当时，，则不等式的解集为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用函数单调性定义可证明在上单调递增，可求得，再利用单调性解不等式即可. 【详解】由，得． 令，则．因为当时，，所以． 设，则， 即，所以在上单调递增． 令，得．因为，所以， 则． 由解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若，求的值； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用指数幂和对数的运算法则计算. 【详解】（1）原式． （2）原式 16. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表． 0 0 8 0 （1）将表中数据补充完整，并直接写出的解析式； （2）将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调区间． 【答案】（1）表格数据答案见解析，解析式 （2）单调递增区间为；单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用表中已有数据可得，联立方程组可解得，可补充表中数据并求出函数解析式. （2）由伸缩变换规则可得，可通过整理代换法令和，求出所有单调区间即可得出其在上的单调区间；也可以利用，求得，结合正弦函数单调性可求得结论. 【小问1详解】 根据表中第二列数据可知，解得； 结合第一列和第五列数据可得，解得； 因此可将表中数据补充如下． 0 0 8 0 －8 0 可知 【小问2详解】 易知 方法一： 由，得． 令，得在上单调递增， 令，得在上单调递增， 所以在上的单调递增区间为． 由，得， 令，得在上单调递减， 即在上的单调递减区间为． 方法二： 由，得． 当或时，即或时，单调递增， 可得在上的单调递增区间为． 当，即时，单调递减， 所以在上的单调递减区间为． 17. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. （1）求m的值； （2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】（1） （2）4. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 即， 解得； 【小问2详解】 由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 18. 如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． （1）求的解析式． （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且． （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）或． 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数与x轴的交点设出交点式解析式，再由顶点坐标与三角形面积公式求出顶点纵坐标，代入解析式求出参数，从而得到的解析式. （2）（i）利用偶函数和奇函数的性质，结合构造出关于和的方程组，通过解方程组求出与的解析式. （ii）先写出的表达式，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，分和两种情况讨论函数在区间上的最大值，进而求出的值. 【小问1详解】 设，其中． 设，因为面积为1，所以，得， 将的坐标代入，得，解得， 所以． 【小问2详解】 （i）由①，得②， 因为是偶函数，是奇函数，所以由②得③， 由①和③得，，． （ii）． ． 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得（舍去）或． 故的值为或． 19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数． （1）证明：为“2积轴函数”． （2）已知函数． （i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由． （ii）若关于的方程在上有解，且函数有唯一零点，求正数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）是，；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意，先求得函数定义域，根据新定义以及函数解析式，可得答案. （2）（i）由函数猜想答案，结合新定义以及对数运算，可得答案；（ii）利用参变分离，对函数解析式进行换元，根据零点定义建立方程，根据新定义以及（i）的结论，化简方程，根据一元二次方程根的判定，可得答案. 【19题详解】 易得的定义域为， 任取，且， 则， 故是“2积轴函数”． 【20题详解】 （i）函数 ，设函数为“积轴函数”， 则当，，且时，有， 因此 又，恒成立， 则，求得， 所以函数为“4积轴函数”. （ii）由，得，依题意，方程有唯一解， 函数为“4积轴函数”，所以， 对任意，，又因为，则， 所以恒成立，该情况无解， 则原方程的解等价于有唯一解， 当时，方程化为，解得,符合唯一解， 当时，判别式，有两个不相等的实根， 其两根之积为, 若,则，乘积为负，两根一正一负，仅有正根在定义域内，符合唯一零点， 当时，则，乘积为正，两根同号， 又因为两根之和为，所以两根均为正， 即方程有两个不等正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求, 综上所述可得的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $