第2章 二元一次方程组（单元自测·基础卷）数学新教材浙教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键在于准确理解二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数均为的方程是二元一次方程，据此逐一判断各选项． 【详解】解：、方程含，的次数为，不符合定义，故不是二元一次方程； 、方程含两个未知数和，且次数均为，符合定义，故是二元一次方程； 、方程含三个未知数，不符合定义，故不是二元一次方程； 、方程化简后为，只含一个未知数，不符合定义，故不是二元一次方程； 故选：． 2．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程解代入方程即可． 本题考查二元一次方程的解，将解代入方程是解题关键． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 3．已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 4．用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组．通过将方程①减去方程②，消去变量x，得到关于y的方程． 【详解】解：得， ∴， 即， 故选：C． 5．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．根据题意，绳子比木条长4.5尺，所以，对折绳子后量木条，木条剩余1尺，说明对折绳子长度比木条短1尺，所以，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 绳子剩余4.5尺， ， 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ， 可列方程组为． 故选：A． 7．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设小长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， ， 解得：， 所以图中阴影部分的面积之和为． 故选B． 8．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 9．已知方程组的解满足，则k的值为（    ） A．7 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查用加减消元法求参数，熟练掌握加减消元法是解题的关键．通过将两个方程相减，直接得到 的表达式，然后利用解出k． 【详解】解：∵ 方程组 由得：， 化简得：， 又∵， ∴ ， 解得． 故选：B． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查以解为条件构造二元一次方程组，理解方程组解的意义是解题的关键； 根据方程组的解就是能使方程组中的每个方程成立的未知数的值，据此即可解答． 【详解】解：由关于，的二元一次方程组的解为，可计算得，，因此，方程组满足条件， 故答案为（答案不唯一）． 12．如果实数满足方程组那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及解二元一次方程组，掌握整体思想是解本题的关键． 将两个二元一次方程相减即可得到，再整体代入即可求值． 【详解】解：方程组， 由①-②得：， 那么． 故答案为：． 13．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题(二元一次方程组的应用)，根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据题意，总酒量为5斗，总谷子消耗为30斗，清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，设醑酒斗，清酒斗，即可列出方程组． 【详解】解：设醑酒斗，清酒斗， ∵总酒量为5斗， ∴， ∵清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，总谷子消耗为30斗， ∴， ∴可列出方程组为． 故答案为：． 14．已知关于的方程组无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 15．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 16．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 18．（8分）共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 【答案】大箱：24，小箱：10 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水，根据题意列出方程组并求解即可得到答案． 【详解】解：设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水， 依题意得， 解得． 答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水． 19．（8分）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 20．（8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 21．（8分）列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 22．（10分）某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 【答案】(1)200元和300元 (2)280元和400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组，即可求解； （2）设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是200元和300元． （2）解：设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：A、B两种服装每件的售价分别是280元和400元． 23．（10分）综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)一共花费180元 (2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； （2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元． （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个． （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 24．（12分）规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），； （3），理由见解析． 【分析】本题考查了共轭二元一次方程组的定义、解二元一次方程组以及根据方程组的解探究数量关系． （1）根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程中、的系数互换，常数项相同，据此列出关于、的方程，求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法进行求解即可； （3）将方程组的解代入原方程组，得到关于、、、的方程，通过消元得出与的数量关系． 【详解】（1）解方程组为共轭二元一次方程组， ， 解得； （2）对于方程组， 方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； 对于方程组， 将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； （3）共轭二元方程组的解是， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 4．用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 5．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 8．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 9．已知方程组的解满足，则k的值为（    ） A．7 B．6 C．8 D．9 10．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是 ． 12．如果实数满足方程组那么 ． 13．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 14．已知关于的方程组无解，则 ． 15．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 16．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解方程组 (1) (2) 18．（8分）共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 19．（8分）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 20．（8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 21．（8分）列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 22．（10分）某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 23．（10分）综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 24．（12分）规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C C D A B A B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12． 1 13． 14． 1 15． 0 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是．（4分） （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是．（8分） 18．（8分） 【详解】解：设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水， 依题意得， 解得． 答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，；（4分） （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：．（8分） 20．（8分） 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分，（4分） （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场．（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是200元和300元．（5分） （2）解：设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：A、B两种服装每件的售价分别是280元和400元．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元．（3分） （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个．（6分） （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）解方程组为共轭二元一次方程组， ， 解得；（4分） （2）对于方程组， 方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； 对于方程组， 将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为；（8分） （3）共轭二元方程组的解是， ， ， ， ， ， ．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 4．用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 5．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 8．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 9．已知方程组的解满足，则k的值为（    ） A．7 B．6 C．8 D．9 10．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是 ． 12．如果实数满足方程组那么 ． 13．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 14．已知关于的方程组无解，则 ． 15．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 16．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解方程组 (1) (2) 18．（8分）共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 19．（8分）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 20．（8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 21．（8分）列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 22．（10分）某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 23．（10分）综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 24．（12分）规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $