第1章 相交线与平行线（单元自测·基础卷）数学新教材浙教版七年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第1章相交线与平行线·基础通关（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 3 4 5 6 > 8 10 B D D C A C A B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.同位角相等，两直线平行 12.PB,垂线段最短 13.75 14.3 15.①②④ 16.20° 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】解：画出每次平移后的图形如下： ★★ (8分) 18.(8分) 【详解】证明：∠1=∠C, .DG∥AC, ∠CAD=∠2， :2+∠3=180°， :∠3+∠CAD=180°， AD∥EF.(8分) 19.(8分) 1/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，射线AB与射线DC即为所求， B 一(2分) D (2)解：如图，直线AM即为所求， B (4分) C D (3)解：两点之间线段最短， .AM +EM>AE 故答案为：>；(6分) (4)解：：AM⊥CD, ∴.∠AMC=90°， :∠ADC<90°， .∠ADC<∠AMC. 故答案为：<，(8分) 20.(8分) 【详解】(I)解：如图，线段BD,直线CE,直线AF即为所求； (2分) BED (2)解：由垂线段最短可得AC>AE, 故答案为：>，垂线段最短；(5分) (3)解：：AF∥BC, .∠FAC=LBCA, 2/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 故答案为：∠BCA.(8分) 21.(8分) 【详解】解：：OE⊥CD(已知)， :∠E0C=90°， :∠A0E+∠A0C=∠E0C,∠A0E=40°， ∠A0C=∠E0C-∠A0E=90°-40°=50°， :直线AB、CD交于点O(己知)， :∠B0D=∠A0C=50°（对顶角相等）， :OF平分∠BOD（已知)， ∠BOF=∠BOD(角平分线定义)， 即∠B0F-×50=230, 故答案为：已知，90，E0C,40E,对顶角相等，B0D,25,(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：，AB∥CD,∠B=30°， ∴.∠B=∠BFD=30°. FH⊥FB, .∠BFH=90°， ∴.∠DFH=∠BFH-∠BFD=60°.(5分) (2)解：，AB∥CD, .∠B=∠BFD. ∠EFB=∠B, ∴.∠EFB=∠BFD. ,LBFH=90°， .∴.∠BFD+∠DFH=90°，∠GFH+∠BFE=90°， ∴.∠DFH=∠GFH,即FH平分∠GFD.(10分) 23.(10分) 【详解】解：(I)过点E作EF∥AB, 如图1： 3/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D 图1 则∠1+∠BEF=180°， AB∥CD, ∴.EFCD, .∠2+∠DEF=180°， ∴.∠1+∠2+∠3=360°； 如图2： A E3-…F 20D 图2 EF∥AB,AB∥CD, ∴.EF∥AB∥CD, .∠1=∠BEF,∠2=∠DEF, .∠3=LBEF+LDEF=∠1+∠2；(3分) ②)∠BPD=180°)∠BED,理由如市 由(1)可知：∠BED+∠ABE+∠CDE=360°，∠BPD=∠ABP+∠CDP, :BP平分∠ABE,DP平分∠CDE, ∴.∠ABE=2∠ABP,∠CDE=2∠CDP, .∠ABE+∠CDE=2∠ABP+2LCDP=2LBPD, .∠BED+2∠BPD=360°， ∠BPD=180°-1∠BED:(6分) 2 (3)当点E在AB下方时，如图： B 4/6 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则∠BED=∠ABE+∠CDE=a+B,∠BPD=∠ABP+LCDP, ,BP平分∠ABE,DP平分∠CDE, ∴.∠ABE=2∠ABP,∠CDE=2∠CDP, ∠BPD-∠ABE+∠CDE)-a+: 当点E在AB上方时，如图： ------万 B D 作PF∥BA,则PF∥AB∥CD, ∴.∠DPF=∠CDP,∠BPF=∠ABP, :BP平分∠ABE,DP平分∠CDE, ∴.∠ABE=2∠ABP,∠CDE=2∠CDP, ∠BPD=∠DPF-∠BPF-CDE-∠ABE-a-p: 综上：∠BPD=a+)或a-B).(I0分) 24.(12分) 【详解】解：PQ|AB‖CD,∠AEP=45°，∠CFP=60°， ∠EPQ=∠AEP=45,∠QPF=∠CFP=60, ∠EPF=∠EPQ+∠QPF=105°， 故答案为：105；(2分) 【探究】∠EPF=LAEP+LCFP,理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB∥CD, A E B ----QPQ川ABCD, C D ,∠EPQ=∠AEP,∠QPF=∠CFP, .∠EPF=∠EPQ+∠QPF=∠AEP+∠CFP;(4分) 【应用】(I)如图，当点P在线段BO上时，过点P作PQ∥AD∥BC,交ON于点Q,连接PD、PC, 5/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A B PPQ∥AD∥BC, N /D /cQ o .∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠DPQ-∠CPQ=a-B; 故答案为：a-B;(6分) (2)如图，当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥AD∥BC，,交ON于点Q,连接PD、PC, M A B :PQ∥AD∥BC, N /D Q ∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠DPQ+∠CPQ=a+B; 故答案为：a+B;(9分) (3)如图，当点P在射线AM上时，过点P作PQ∥AD∥BC,交ON于点Q,连接PD、PC, M、 B PQ∥AD∥BC, NQ /D /C ∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B, .∠CPD=∠CPQ-∠DPQ=B-a; 故答案为：B-a.(12分) 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第1章 相交线与平行线 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 3．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，直线被直线所截，且，与相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 8．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 9．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 12．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 13．将一个含角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则 °． 14．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 15．如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有 ． ①；②；③；④    16．如图，已知，， ，，点为内一点，，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 18．（8分）已知：如图，，．求证：． 19．（8分）如图，平面上有四个点，根据下列要求完成任务： (1)画射线与射线相交于点，连接； (2)过点作的垂线，交于点； (3)根据图形可得___________（用“”，“”或“”填空）； (4)___________（用“>”，“<”或“=”填空）． 20．（8分）如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 21．（8分）如图，直线交于点O，平分，，，求的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， _______°． _______，， ________． ∵直线交于点O（已知）， （   ）． ∵平分（已知）， ________（角平分线定义）． 即_______． 22．（10分）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 23．（10分）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 24．（12分）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第1章 相交线与平行线 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 3．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，直线被直线所截，且，与相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 8．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 9．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 12．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 13．将一个含角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则 °． 14．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 15．如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有 ． ①；②；③；④    16．如图，已知，， ，，点为内一点，，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 18．（8分）已知：如图，，．求证：． 19．（8分）如图，平面上有四个点，根据下列要求完成任务： (1)画射线与射线相交于点，连接； (2)过点作的垂线，交于点； (3)根据图形可得___________（用“”，“”或“”填空）； (4)___________（用“>”，“<”或“=”填空）． 20．（8分）如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 21．（8分）如图，直线交于点O，平分，，，求的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， _______°． _______，， ________． ∵直线交于点O（已知）， （   ）． ∵平分（已知）， ________（角平分线定义）． 即_______． 22．（10分）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 23．（10分）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 24．（12分）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第1章 相交线与平行线 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的基本性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；根据平移的性质可知平移后的图形不改变图形的形状、大小、方向； 【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将图所示的图案通过平移后可以得到B选项中的图案，其它三个选项皆改变了方向，故错误． 故选：B． 2．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【详解】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 3．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 4．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A．，，原选项判断正确，不符合题意； B．，，原选项判断正确，不符合题意； C．，，原选项判断错误，符合题意； D．，，原选项判断正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图，直线被直线所截，且，与相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 7．如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 【答案】A 【分析】本题考查方向角，掌握方向角的定义以及平行线的性质是正确解答的关键；根据方向角的定义以及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴学校位于小明家北偏东方向上的1200米处． 故选：A． 8．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了长方形周长公式的应用及图形的平移思想，熟练掌握长方形周长公式并利用平移简化计算是解题的关键． 通过平移道路，将其转化为长方形的长与宽的和，结合长方形周长公式计算道路总长． 【详解】解：设长方形草坪的长为，宽为． 长方形周长公式：， ∴． 平移道路后，道路总长等于． 故答案为：B． 9．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【详解】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 10．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 判定两条直线是平行线，可以由内错角相等，同位角相等，同旁内角互补等，应结合题意，具体情况，具体分析．明确作图中移动的三角板的角度是同位角的关系是解题的关键． 【详解】解：同位角相等，两直线平行. 故答案为： 同位角相等，两直线平行． 12．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 13．将一个含角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质进行角的转化和计算． 根据平行线的性质可知，再求出，由平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ． ∴． ∴． 故答案为：． 14．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 15．如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有 ． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 16．如图，已知，， ，，点为内一点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得出和的值，求出，再根据求出， 进而即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟练掌握平移的定义是解题关键．根据平移的定义作图即可得． 【详解】解：画出每次平移后的图形如下： 18．（8分）已知：如图，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 19．（8分）如图，平面上有四个点，根据下列要求完成任务： (1)画射线与射线相交于点，连接； (2)过点作的垂线，交于点； (3)根据图形可得___________（用“”，“”或“”填空）； (4)___________（用“>”，“<”或“=”填空）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，垂线的画法，两点之间线段最短，以及角的大小比较． （1）根据射线，线段的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短解答即可； （4）根据锐角小于直角判断即可． 【详解】（1）解：如图，射线与射线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵两点之间线段最短， ∴． 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 20．（8分）如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了画线段，平行线，垂线，垂线段最短的性质以及平行线的性质． （1）根据网格特征即可作图； （2）根据垂线段最短即可求解； （3）根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段，直线，直线即为所求； （2）解：由垂线段最短可得， 故答案为：，垂线段最短； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 21．（8分）如图，直线交于点O，平分，，，求的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， _______°． _______，， ________． ∵直线交于点O（已知）， （   ）． ∵平分（已知）， ________（角平分线定义）． 即_______． 【答案】已知，，，，对顶角相等，，． 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的和差等相关问题，解题关键在于熟练掌握其相关知识点．根据角的和差关系进行作答即可． 【详解】解：（已知）， ， ， ， 直线交于点O（已知）， （对顶角相等）， 平分（已知）， （角平分线定义）， 即， 故答案为：已知，，，，对顶角相等，，． 22．（10分）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键．（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 23．（10分）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 24．（12分）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $