第2章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材浙教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B D B B B A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．/ 12． ， 13． 14． 34 15． 16． 2031 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：（1）①，得．③ ②+③，得，解得． 把代入②，得， 所以方程组的解为（4分） （2）（2）将方程组整理，得 ③+④×5，得，解得． 把代入④，得， 所以原方程组的解为（8分） 18．（8分） 【详解】解：设购买的男款服装x套，则女款服装套， 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：该班购买的男演出服套和女演出服套．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元． 根据题意得： 解得： 答：大垃圾桶单价为200元，小垃圾桶的单价为90元．（4分） （2）解：根据题意得：（元） 答：该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需2820元．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨；（4分） （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解；（4分） （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ．（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：；（3分） （2）解：∵， ∴，即，， 即，；（6分） （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为；（3分） （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为；（6分） （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，以及二元一次方程的运用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据新定义，计算，即可求解； （2）根据题意，得出 然后根据整式的运算法则计算即可； （3）根据（2）的结论，求得，，再代入，求得的值，最后代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：； ；（4分） （2）解：根据题意，得 ；（8分） （3）解：∵，都是“相异数”，，， ，． ， ， ． ，，且，都是正整数， ∴或或或或或． 是“相异数”， ，． 是“相异数”， ，． 或或， 或或， 或或， 的最大值为．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 4．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 5．若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 6．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 10．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程改写成用含的式子表示的形式是： ． 12．若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 13．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 14．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 15．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 ． 16．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解下列二元一次方程组： (1) (2) 18．（8分）七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装．经了解，男款服装每套100元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元．该班购买的男款服装和女款服装各多少套? 19．（8分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需多少元？ 20．（8分）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 21．（8分）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 22．（10分）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 23．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 24．（12分）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为，所以． (1)计算：； (2)若三位数的百位数字为，十位数字为、个位数字为，通过例如与（1）中的计算结果，你发现的值等于_____．（用含有、、代数式表示） (3)若，都是“相异数”，其中：，（，，，都是正整数），规定：．当时，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 3．某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设小组数为个，该班的学生人数为人，根据总人数不变列方程求解小组数，再求总人数即可． 【详解】解：设小组数为个，该班的学生人数为人，根据题意得： ， 解得：， 答：该班的学生人数为56． 故选：B 4．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，三尺绫和四尺绢共值四钱八分（即48分），七尺绫和二尺绢共值六钱八分（即68分），设每尺绫x分、每尺绢y分，直接列出方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分 ∵三尺绫和四尺绢共值48分， ∴； ∵七尺绫和二尺绢共值68分， ∴； ∴方程组为， 故选：D． 5．若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键． 将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算即可解答． 【详解】∵ 方程组的解为 ， ， 代入第一个方程： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 代入第二个方程：， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 6．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 7．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 8．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 9．若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去，得到关于和的方程，再根据方程组有解的条件确定的值. 【详解】解：二元一次方程组， ②-①，得， 整理得， 即， ∵无论取何值，关于的二元一次方程组都有解， ∴， 解得：， ∴， 解得； 故选：C ． 10．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程改写成用含的式子表示的形式是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程，等式的性质，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 13．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 14．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 15．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 设，易得，再结合已知条件可得，即；再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：设， 则关于a、b的二元一次方程组可化为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴， ①②可得，解得：， 将代入得：， 解得：， 所以． 故答案为：． 16．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为 ． 【答案】2031 【分析】本题考查二元一次方程组的整数解问题，涉及数的整除性．解题中应用了解方程组的消元法得到未知数的表达式，结合整数解的条件分析出参数满足的条件，通过解方程组得到x和y的表达式，利用整数解的条件得出k满足的条件，再结合k的范围求解． 【详解】解：∵， 解方程组得，， ∵，为整数， ∴和均可以被41整除， 设（m为整数），则； 我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数： ∴； 代入上式： ； ∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数． 设（t为整数），即． 把代入： ， 得． ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴． 故答案为：2031． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法． （1）根据加减消元法，①×2+②即可求得，再将代入②，即可求解； （2）根据加减消元法，③+④×5即可求得，再将代入④，即可求解； 【详解】（1）解：（1）①，得．③ ②+③，得，解得． 把代入②，得， 所以方程组的解为 （2）（2）将方程组整理，得 ③+④×5，得，解得． 把代入④，得， 所以原方程组的解为 18．（8分）七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装．经了解，男款服装每套100元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元．该班购买的男款服装和女款服装各多少套? 【答案】男款服装21套，女款服装29套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设购买的男款服装x套，则女款服装套，根据购买套演出服共需5870元，列方程求解即可． 【详解】解：设购买的男款服装x套，则女款服装套， 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：该班购买的男演出服套和女演出服套． 19．（8分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶单价为200元，小垃圾桶的单价为90元 (2)2820 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元． 根据题意得： 解得： 答：大垃圾桶单价为200元，小垃圾桶的单价为90元． （2）解：根据题意得：（元） 答：该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需2820元． 20．（8分）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6辆B型车；最少租车费是9200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设未知数，结合用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨，进行列出方程组，即可作答． （2）结合某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载，得，再根据、n均为正整数，得或，再结合A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 21．（8分）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 22．（10分）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 23．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 24．（12分）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为，所以． (1)计算：； (2)若三位数的百位数字为，十位数字为、个位数字为，通过例如与（1）中的计算结果，你发现的值等于_____．（用含有、、代数式表示） (3)若，都是“相异数”，其中：，（，，，都是正整数），规定：．当时，求的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，以及二元一次方程的运用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据新定义，计算，即可求解； （2）根据题意，得出 然后根据整式的运算法则计算即可； （3）根据（2）的结论，求得，，再代入，求得的值，最后代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：∵，都是“相异数”，，， ，． ， ， ． ，，且，都是正整数， ∴或或或或或． 是“相异数”， ，． 是“相异数”， ，． 或或， 或或， 或或， 的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第2章 二元一次方程组 ·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 4．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 5．若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 6．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 10．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程改写成用含的式子表示的形式是： ． 12．若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 13．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 14．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 15．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 ． 16．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解下列二元一次方程组： (1) (2) 18．（8分）七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装．经了解，男款服装每套100元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元．该班购买的男款服装和女款服装各多少套? 19．（8分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需多少元？ 20．（8分）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 21．（8分）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 22．（10分）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 23．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 24．（12分）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为，所以． (1)计算：； (2)若三位数的百位数字为，十位数字为、个位数字为，通过例如与（1）中的计算结果，你发现的值等于_____．（用含有、、代数式表示） (3)若，都是“相异数”，其中：，（，，，都是正整数），规定：．当时，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $