专题6.3 二项式定理（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

本讲义聚焦二项式定理核心知识点，系统梳理从定理定义及展开式结构特征，到通项公式的灵活运用，再到二项式系数性质及综合应用的完整脉络。通过知识点分块讲解、即学即练巩固和六大题型分类，构建循序渐进的学习支架。 该资料突出数学思维与模型意识的培养，以计数原理推导定理渗透推理能力，通过求常数项、有理项等典例变式引导学生用数学语言表达问题。课中助力教师分层教学，课后练习题与综合应用帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

专题6.3 二项式定理 教学目标 1.理解二项式定理的本质内涵，能准确表述二项式定理的文字定义与数学公式 ，明确展开式的结构特征（如项数、字母幂次规律）。 2.掌握二项展开式的通项公式，能辨析“二项式系数”与“项的系数”的区别与联系。 3.能运用二项式定理解决简单的展开问题、指定项（如常数项、含某字母指定幂次的项）求解问题，以及二项式系数相关计算问题。 4.会用计数原理（分步乘法计数原理、组合知识）证明二项式定理，理解定理的推导逻辑。 教学重难点 1.重点 二项展开式通项公式的灵活运用，能根据需求求解指定项（如第k项、常数项、有理项）及相关系数。 2.难点 通项公式的灵活应用：在复杂情境（如含负号、系数非1的二项式，多项式乘积展开）中，准确确定参数a、b、n、k的值，避免混淆“第k+1项”与“第k项”。 知识点01 二项式定理 1、定义 一般地,对于任意正整数,都有：()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式(a+b)n的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 【即学即练】 1．求多项式的展开式． 【答案】 【分析】根据二项式定理展开即可. 【详解】因为， 所以 ． 2．已知，求 (1)； (2)，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）令和，可求得； （2）令与（1）可求得，的值. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）令，得， 由（1）知， 所以，， 所以，. 3．设，则（   ） A． B． C． D．的展开式中，的系数为 【答案】ABD 【分析】本题考查二项式定理.记，换元法将已知等式转化为，求出其展开式的通项，即可判断选项ABC；根据多项式的展开式可判断D. 【详解】记，原条件即，的展开式的通项为. 对于A，令得，故A正确； 对于B，令得，故B正确； 对于C，令，可得，① 令，可得，② ，得，故C错误； 对于D，的展开式中的系数，即的展开式中的系数与的系数之和，所以所求系数为，故D正确. 故选：ABD. 知识点02 二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：（） 公式特点： 1、它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； 2、字母b的次数和组合数的上标相同； 【即学即练】 1．已知数列满足； (1)求数列的通项公式. (2)若数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意由二项式定理可得. （2）利用错位相减求和法即可求解. 【详解】（1）， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为 ， 所以， 两式相减得， ， . 2．从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式. (1)写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数； (2)写出的展开式的通项公式，并解释其正确性． 【答案】(1)； (2)，其中，且为自然数， ，解释见解析 【分析】（1）利用的展开式可得，结合，即可求得答案； （2）利用二项展开式可知，将化为，即可推出结论. 【详解】（1）由二项展开式可知， 则， 其中，且为自然数， 故的系数为时的值，即有， 系数为560. （2）的展开式的通项公式为， 其中，且为自然数. 解释： 由二项展开式可知， 则 ， 其中，且为自然数， 故的展开式的通项公式为， 其中，且为自然数. 3．已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）. （1）求数列的通项； （2）求数列前项和； （3）若，求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用二项式定理求得的展开式的第二项，可求得数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得； （2）分和两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得； （3）分和两种情况讨论，利用二项式定理可求得的表达式. 【详解】（1）的展开式的第二项为， 所以，数列的公比为，则； （2）当时，则，； 当时，. 综上所述，； （3）当时，，， 此时，； 当时，， 此时，. 综上所述，. 知识点03 二项式系数及其性质 1、的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： (1)对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； (2)增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. (3)各二项式系数之和为，即； (4)二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 注意：二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。 2、展开式中的系数求法（的整数且） 注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 【即学即练】 1．若，则 . 【答案】49 【分析】令得，令得，从而求出答案. 【详解】中， 令得， 中， 令得，即， 解得. 故答案为：49 2．已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．展开式中所有项的系数之和为64 C．展开式中的常数项是 D．展开式中含的项是 【答案】ABD 【分析】由，求得，再由二项式定理通项公式，和赋值法逐项判断即可. 【详解】由题意可得，解得，A正确. 令，得，B正确. 展开式的通项. 令，得，则，C错误. 令，得，则，D正确. 故选：ABD 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 题型01 求二项展开式的特定项或特定项的系数 【典例1】的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【分析】因为 ，所以分别求和展开式中的常数项，即可得出结果. 【详解】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 【变式1】二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为.故选：B. 【变式2】已知，当（且）时，的最大值为（   ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】A 【分析】写出两式展开式，分析系数构成，根据奇数项系数正负性，结合组合数性质，确定时，的最大值. 【详解】由已知为展开式中的系数，且， ∴， 当时，必为奇数，且，， ∴，，所以的最大值为.故选：A． 【变式3】已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【答案】(1)； (2)时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为. 【分析】（1）根据二项式定理写出通项，展开式中的常数项，即的指数为零时，即可求解； （2）根据二项式定理写出通项，展开式中所有的无理项，即的指数不为整数时，根据通项逐项求解即可. 【详解】（1）根据二项式定理，的展开式的通项为， 化简得， 因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零， 所以，解得； （2）由（1）得，当时的展开式的通项为， 要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时， 即不为整数，则取奇数时满足条件， 对应的无理项为：时，； 时，； 时，. 题型02 二项式之积 【典例1】在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【答案】A 【分析】写出展开式的通项，结合乘法分配律求解可得. 【详解】的展开式的通项为，， 所以在的展开式中，含的项为： ， 所以的系数为. 故选：A． 【变式1】的展开式的常数项是（    ） A．400 B． C． D．80 【答案】D 【分析】首先原式变形为，再分别求两部分的常数项，即可求解. 【详解】原式， 其中的常数项是， 的常数项是中含项的系数， 即，所以的常数项是， 所以的展开式中常数项是. 故选：D 【变式2】若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以. 故选：B 【变式3】的展开式中的系数为 【答案】 【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 题型03 三项式及多项式展开问题 【典例1】的展开式中，的系数为 【答案】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 【变式1】的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 【变式2】（1）的展开式中的系数为 ． （2）的展开式中的系数为 ． 【答案】 5 210 【分析】（1）将目标式合理变形，再结合二项式定理和赋值法求解系数即可. （2）法一将含有的项合理分为三种情况，再把三种情况的系数相加即可，法二将目标式合理变形后两次使用二项式定理展开，得到的展开式通项，再得到，最后结合赋值法求解即可. 【详解】（1）由题意得， 由二项式定理得的通项为， 令，则中含的项为， 令，则中含的项为， 故的展开式中的系数为5. （2）法一：欲求的展开式中含有的项， 则选法如下，当选两个，三个时，系数为， 当选一个，两个，两个时，系数为， 当选个，个，1个时，系数为， 综上，含项的系数为. 法二：将看成二项式展开， 由二项式定理得的通项为， 由二项式定理得的通项为， 则的通项为， 令，解得，而，解得， 此时中含的项为， 当时，系数为，当时，系数为， 当时，系数为， 综上，含项的系数为. 故答案为：5；210 【变式3】在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： (1)和展开式的所有项系数之和； (2)展开式中的有理项． 【答案】(1)；1. (2)答案见解析. 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质，结合已知条件求出，再利用赋值法计算得出所有系数的和； （2）先根据二项式展开式的通项公式写出通项，再确定有理项，最后计算有理项． 【详解】（1）二项式系数和为，，解得， 令二项式中，则． ，所有项系数之和为1． （2）二项式的通项为， 若为有理项，则，即， ， ， ， ， ， ． 题型04 有关二项式系数的性质及计算的问题 【典例1】已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令和后作差可得. 【详解】令，则， 令，则， 作差可得. 故选：A. 【变式1】已知函数，其展开式中x项的系数为，则（    ） A．当时， B．当时， C．其展开式中所有项的系数之和为 D．当，时， 【答案】AC 【分析】由，结合二项式的展开式，可判定A正确；求得的展开式，得到，可判定B错误；令，求得，可判定C正确；分别求得和， 令，求得，结合，可判定D错误. 【详解】对于A，当时，可得， 则展开式中的项为，所以，所以A正确； 对于B，当时，可得， 则，此时，所以B错误； 对于C，由，令，可得， 所以展开式中所有项的系数之和为，所以C正确； 对于D，当，时，可得， 则， ， 令，则， 则， 因为，所以，即，所以D错误. 故选：AC. 【变式2】已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二项式定理的相关性质及赋值法运算即可. 【详解】由题中只有最大可知，是唯一的最大的二项式系数，因此展开式的中间项为第六项，可得，故A正确； 令，代入等式中可得，故B正确； 由，故C正确； 令，代入可得， 移项可得， 两边同乘，故，故D错误. 故选：ABC. 【变式3】已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第四项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式定理所以二项式系数和为进行求解即可； （2）根据二项式展开式的通项得，再合理赋值进行求解即可； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【详解】（1）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为， 即，解得：. （2）二项式展开式的通项为， 令，解得：，所以当时，，故展开式中的系数为. （3）根据（2）可得：二项式展开式的通项为， 令，可得：，所以展开式的第四项为. 题型05 利用赋值法进行求有关系数和 【典例1】在的展开式中，求： (1)常数项； (2)二项式系数最大的项； (3)展开式中所有项的系数和. 【答案】(1)7 (2)第五项 (3) 【分析】（1）根据二项式的性质写出通项公式，即可求出常数项. （2）二项式系数最大的项即中间项，利用通项法求解. （3）利用赋值法即可. 【详解】（1）展开式中第项， 因为是常数项，即， 所以，解得， 代入得常数项. （2）因为，展开式有9项， 所以最大是， 即第5项为二项式系数最大. （3）令，代入原式，得到的就是“所有项的系数和”， 即 ， 即展开式中所有项的系数和为. 【变式1】已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用赋值法，令，即可求出. 【详解】因为的展开式系数和为729， 所以令，则，则，所以或， 因为，所以. 故选：C 【变式2】在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，常数项的值为 (2) 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，结合条件，得到，可得，即可求解； （2）通过赋值，令，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到，所以展开式中所有项的系数之和为. 【变式3】若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A． B．展开式中所有项的系数和为32 C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为123 【答案】AC 【分析】由二项式系数和公式可得即可确定A；取求得展开式的系数和判断B；求出常数项判断C；利用赋值法可求x的奇次项的系数和判断D. 【详解】根据题意，展开式的各二项式系数之和为，故A正确； 取，所以展开式中所有项的系数和为，故B错误； 展开式中常数项为，故C正确； 设， 则时，， 时，， 两式相减得，则，故D错误；故选：AC. 题型06 二项式定理的综合运用 【典例1】在的展开式中，二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)240 (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由二项式系数和可得，据此可得二项式通项，即可得答案； （2）由（1）中二项式通项分析即可判断. 【详解】（1）因二项式系数和为，则. 则展开式通项为， 令，则含项的系数为； （2）由（1）令，但由题设可得， 则不满足题设，即展开式中不存在常数项. 【变式1】已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过赋值法，结合已知条件列方程，求解的值. （2）（i）先由二项式系数之和的性质求出，再利用二项展开式的通项公式写出的表达式，列方程求解的值. （ii）根据是展开式中最大的系数，列出不等式，解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以，故. （2）由二项式系数之和为，得，解得. （i）为展开式中的系数，即. 计算，故，得，即. （ii）当时，展开式中第项的系数为（）. 计算相邻两项系数的比值：，， 要使（），需为系数序列的最大值，满足： ①.序列递增到：对，，即， 此时对，，故，满足. ②.序列递减自：对，，即， 此时对，，故，满足. 综上所述，的取值范围是. 【变式2】已知的展开式的二项式系数和为． (1)求； (2)求的展开式中含的项； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二项式系数和可得出关于的等式，解之即可； （2）利用二项展开式通项可求出展开式中含的项； （3）令可得出的值，令可得出的值，即可得出的值. 【详解】（1）的展开式的二项式系数和为，解得. （2）展开式的通项公式为, 令，解得，代入通项公式得. （3）因为， 令，得， 令，得， 所以. 【变式3】已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 【答案】(1)（i）；（ii）240. (2)证明见解析 【分析】（1）（i）应用赋值法计算求出参数；（ii）应用二项式通项公式计算求解常数项； （2）应用二项式展开式计算证明整除. 【详解】（1）（i）由题知，解得. （ii）展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. （2）因为 ， 故能被4整除. 1．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】利用二项式定理证明除17余数为即可得. 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 2．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 则 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除， ，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以， 所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小， 则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值， 故系数最小的项为第项. 故选：A. 3．已知，则 ； ． 【答案】 【分析】使用二项式定理计算即可. 【详解】已知， 则， 两式对比可得：，，, ,, 故，. 故答案为：①；② 4．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 【答案】BCD 【分析】先由二项式系数和为解出，再利用二项式定理逐项验证即可求解. 【详解】由题意有：，所以，令， 所以， 令，所以，令， 所以①， 所以，故A错误； 由，令， 所以，故B正确； 令，所以②， 由①②解得，， 所以，故C正确； 由 ， 所以除以6所得的余数为5，故D正确； 故选：BCD. 5．设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 【答案】CD 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可. 【详解】的展开式的通项为， 对于A：常数项为，故A错误； 对于B：第4项系数即的系数，， 故的系数，故B错误； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相减，得，故，故C正确； 对于D：令，得，故D正确. 故选：CD. 6．已知展开式中各项系数和为． (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中含的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式所有项之和公式，结合二项式通项公式进行求解即可； （2）根据二项式的性质进行求解即可； （3）根据乘法运算的性质，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】（1）设． 令，得，     所以， 所以．     展开式中含的项为； （2）展开式中二项式系数最大项为； （3）展开式中含的项为 ． 7．已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． (1)求正整数的值； (2)求与二项式系数和的比值； (3)问展开式各项系数的绝对值中哪个最大，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)中和均为最大，理由见解析 【分析】（1）利用二项式系数的中间项最大的性质，结合第5、6项的二项式系数最大，得，求出正整数. （2）通过赋值法（令、）求出与，进而得，结合二项式系数和为计算比值. （3）将系数绝对值转化为的系数，通过列不等式组求解最大项对应的值，确定和最大. 【详解】（1）因为的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大， 所以为奇数，且，所以. （2）因为，所以二项式系数和为， 令，得， 令，得， 所以， 因此与二项式系数和的比值为. （3）中和均为最大． 因为 展开式的通项， 所以， 即， 故判断系数中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由， 得，因为，所以或6． 故中和均为最大． 8．在的展开式中，第5项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，； (2)1. 【分析】（1）写出二项式的通项公式，结合已知列方程求得，进而求出常数项； （2）应用赋值法求所有项的系数之和. 【详解】（1）因为的展开式的通项为， 当时，，所以，解得， 所以常数项的值为； （2）由（1），令，得，所以展开式中所有项的系数之和为1. 9．在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）令，假设最大，由解出的取值范围，结合可得出的值，代入通项后即可得解. 【详解】（1）的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. （2）令， 假设在、、、中最大，则，即， 即，解得， 因为，则，所以展开式中系数最大的项为. 10．（1）计算：. （2）若的二项展开式中常数项为，求常数的值. 【答案】（1）.（2）2 【分析】（1）利用组合数的性质和组合数的阶乘公式计算即得； （2）利用二项式展开式的通项，结合题意建立关于的方程，求解即得. 【详解】（1）. （2）的二项式展开式的通项为 ，（）， 因二项展开式中常数项为，由，得， 则，解得. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 二项式定理 教学目标 1.理解二项式定理的本质内涵，能准确表述二项式定理的文字定义与数学公式 ，明确展开式的结构特征（如项数、字母幂次规律）。 2.掌握二项展开式的通项公式，能辨析“二项式系数”与“项的系数”的区别与联系。 3.能运用二项式定理解决简单的展开问题、指定项（如常数项、含某字母指定幂次的项）求解问题，以及二项式系数相关计算问题。 4.会用计数原理（分步乘法计数原理、组合知识）证明二项式定理，理解定理的推导逻辑。 教学重难点 1.重点 二项展开式通项公式的灵活运用，能根据需求求解指定项（如第k项、常数项、有理项）及相关系数。 2.难点 通项公式的灵活应用：在复杂情境（如含负号、系数非1的二项式，多项式乘积展开）中，准确确定参数a、b、n、k的值，避免混淆“第k+1项”与“第k项”。 知识点01 二项式定理 1、定义 一般地,对于任意正整数,都有：()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的 。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式(a+b)n的展开式的特点： (1)项数：共有 项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 【即学即练】 1．求多项式的展开式． 2．已知，求 (1)； (2)，． 3．设，则（   ） A． B． C． D．的展开式中，的系数为 知识点02 二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：（） 公式特点： 1、它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 ； 2、字母b的次数和组合数的上标相同； 【即学即练】 1．已知数列满足； (1)求数列的通项公式. (2)若数列，求数列的前项和. 2．从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式. (1)写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数； (2)写出的展开式的通项公式，并解释其正确性． 3．已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）. （1）求数列的通项； （2）求数列前项和； （3）若，求. 知识点03 二项式系数及其性质 1、的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： (1)对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ，即 ； (2)增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数 ， 相等，且 . (3)各二项式系数之和为，即； (4)二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 注意：二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。 2、展开式中的系数求法（的整数且） 注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 【即学即练】 1．若，则 . 2．已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．展开式中所有项的系数之和为64 C．展开式中的常数项是 D．展开式中含的项是 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型01 求二项展开式的特定项或特定项的系数 【典例1】的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【变式1】二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【变式2】已知，当（且）时，的最大值为（   ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【变式3】已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 题型02 二项式之积 【典例1】在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【变式1】的展开式的常数项是（    ） A．400 B． C． D．80 【变式2】若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【变式3】的展开式中的系数为 题型03 三项式及多项式展开问题 【典例1】的展开式中，的系数为 【变式1】的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】（1）的展开式中的系数为 ． （2）的展开式中的系数为 ． 【变式3】在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： (1)和展开式的所有项系数之和； (2)展开式中的有理项． 题型04 有关二项式系数的性质及计算的问题 【典例1】已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，其展开式中x项的系数为，则（    ） A．当时， B．当时， C．其展开式中所有项的系数之和为 D．当，时， 【变式2】已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第四项． 题型05 利用赋值法进行求有关系数和 【典例1】在的展开式中，求： (1)常数项； (2)二项式系数最大的项； (3)展开式中所有项的系数和. 【变式1】已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【变式3】若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A． B．展开式中所有项的系数和为32 C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为123 题型06 二项式定理的综合运用 【典例1】在的展开式中，二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 【变式1】已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【变式2】已知的展开式的二项式系数和为． (1)求； (2)求的展开式中含的项； (3)若，求． 【变式3】已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 1．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 3．已知，则 ； ． 4．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 5．设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 6．已知展开式中各项系数和为． (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中含的项． 7．已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． (1)求正整数的值； (2)求与二项式系数和的比值； (3)问展开式各项系数的绝对值中哪个最大，并说明理由． 8．在的展开式中，第5项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 9．在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 10．（1）计算：. （2）若的二项展开式中常数项为，求常数的值. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $