1.3乘法公式（第4课时 完全平方公式的应用）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

1.3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的应用 第一章 整式的乘除 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 能准确辨析平方差公式与完全平方公式的结构特征，熟练运用两类公式进行整式混合运算、代数式化简求值和有理数简便计算。 经历“观察结构—选择公式—运算化简”的解题过程，掌握公式综合应用的技巧，培养整体代换、分类讨论的数学思维。 在综合解题中感受公式的简洁性和实用性，体会代数运算的逻辑性，增强学好整式运算的自信心。 知识回顾 乘法公式 平方差公式 完全平方公式 (a+b)(a-b) = a 2 b 2 - (a+b) 2 = a 2 b 2 2ab + + 公式中的a、b即可以是数，也可以是含字母的代数式 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放 同号项²－异号项² 常用 结论 a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2. 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 新知探究 探究点1 运用完全平方公式简便运算 议一议 （1）怎样计算、更简单?你是怎样做的?与同伴进行交流 (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809 完全平方公式 完全平方公式 观察•思考 探究点2 通过点阵图加深对乘法公式的理解 议一议 … 1×1 2×2 3×3 观察下图 ，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论 5×5 2×3 2×3 2×2点阵、3×3点阵的点数之和 (2+3)×(2+3)点阵中的点数 22+32=14 两组不一样多 观察•思考 探究点2 通过点阵图加深对乘法公式的理解 议一议 … 1×1 2×2 3×3 观察下图 ，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论 解:m×m 点阵中的点数:m2， n×n 点阵中的点数:n2； m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2； (m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。 (m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。 ∴(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。 新知探究 探究点3 乘法公式、整式乘法和加减的综合运算 议一议 乘法公式、整式乘法和加减的综合运算的方法： 一看结构： 观察多项式的结构，判断是“和乘差”还是“和（差）的平方”，或是两者的混合。 根据结构特征选择对应的乘法公式，混合结构需分步选用公式。 二选公式： 对不符合公式直接结构的式子，通过符号变形、整体代换等方式转化为公式形式。 三巧变形： 运算时注意符号、系数平方，避免漏项 四细运算： 典例分析 （a+b）看成整体 （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 解： （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9； （2）(a+b+3) (a+b-3) = [(a+b)+3][(a+b)-3] = (a+b)2-32 = a2+2ab+b2-9 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) = x2+10x+25-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6 = 15x+19 （4） [(a+b)(a-b)]2 = (a2- b2)2 = a4-2a2b2+b4。 例1. 计算： 典例分析 例2.已知，求代数式的值． 【分析】 本题考查了代数式求值，解决本题的关键是根据已知条件得到． 通过展开代数式并利用已知条件整体代入求值． 解：∵， ∴， ， ∵， ∴ 原式． 典例分析 例3.某中学于10月27日成功举办科创活动展演，现场亮点纷呈：灵动的歼10航模精准盘旋、机器狗的高难度动作展示、农用无人机精彩演绎、火箭模型直冲云霄，更恰逢神舟21号于2025年10月31日载人飞船成功发射，为这场科创盛宴增添了浓厚的航天氛围．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用含a，b的式子表示该截面的面积S； (2)若，，用x、y表示截面面积并化简； （1）； （2） ； 解： （3）当，时， 原式 ． (3)当 ， 时，求这个截面的面积． 新知巩固 1.利用整式乘法公式计算： (1) 962 (2) (a-b-3) (a-b+3) 解：原式 =(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =10000-800+16 =9216 解：原式=[(a-b)-3] [(a-b)+3] =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9 教材P24页 随堂练习 三项式重组为两项的和与差 重组方法： [（前后同号项)+(前后异号项）][（前后同号项)-(前后异号项）] 拓展提升 1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一：当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题三：如图所示，数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积．（写出必要解题过程） 问题二图 问题三图 拓展提升 1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一：当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题二图 解： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴则； 问题一： 拓展提升 1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一：当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题二图 解：设正方形的边长， 正方形的边长， ∵正方形和正方形， 连接，得直角三角形， 如果两个正方形的面积和为7， ∴， ∵的长为4，∴， 结合图形，得直角三角形的面积为 S=， 问题二： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， S； 拓展提升 1.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题三：如图所示，数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积．（写出必要解题过程） 问题三图 解：∵数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11． ∴ ∵分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点， ∴正方形的面积为： 正方形的面积为 ∵两正方形面积和为13， ∴， 依题意，长方形的面积 S ， 令，∴， S ， ， ∵，∴，∴， ∴，∴， 即长方形的面积. 真题感知 1．（2025•内江）下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 解：x2•x4＝x6，则A不符合题意， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意， x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意， （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意， D 真题感知 2．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 3．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 解：原式 . 解：∵ ∴ ； 将代入上式得，原式． 课堂小结 平方差公式是“和乘差得平方差（二项式）”， 完全平方公式是“和（差）的平方得平方和 ± 积的2倍（三项式）”。 (2)综合应用场景： 整式混合运算、代数式化简求值、有理数简便计算。 (3)运用核心思想： 整体代换思想、分类讨论思想。 1. 知识总结: 课堂小结 1. 知识总结: p=ɑ q=-b p=ɑ q=b 完全平方公式 平方差公式 (ɑ+b) (ɑ-b)= (ɑ+b) (p+q) =ɑp+ɑq+bp+bq 多项式与多项式相乘 数形结合 类 比 ɑ2-b2 (ɑ+b)2= ɑ2+2ɑb+b2 (ɑ-b)2= ɑ2-2ɑb+b2 转 化 (ɑ+b)2=(-ɑ-b)2 (ɑ-b)2=(b-ɑ)2 （1）两类公式对比： (2)综合应用场景： 整式混合运算、代数式化简求值、有理数简便计算。 (3)运用核心思想： 整体代换思想、分类讨论思想。 课堂小结 2. 方法总结: (1)解题步骤： 观察结构→选择/变形公式→ 分步运算→合并化简。 (2)变形技巧： 符号变形（如 、 整体代换（如把 x+y 看作一个整体）。 3. 易错提醒: (1)避免公式混淆： 不要将完全平方公式的结果写成二项式，也不要将平方差公式的结果写成三项式 (2)避免符号错误： 去括号时注意“负负得正”，完全平方公式中 中间项为“-2ab”。 (3)避免系数漏平方： 如 要写成，而非 。 课后练习 5.计算： （1） (2x+y+1)(2x+y-1) ； （3） (ab+1)2-(ab-1)2； 解：（1）原式=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1； （2）原式=x2-4-(x2-3x+x-3)=2x-1； （2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)； （4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。 （4）原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2) =4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2 =9y2-8xy。 （3）原式=[(ab+1)+(ab-1)]·[(ab+1)-(ab-1)] =2ab·2=4ab； 习题1.3 教材P25页 课后练习 10.计算： （1） (an+ b)(an-b) ； （2） (a+1)(a-1)(a2+1)。 解：（1） (an+ b)(an-b) =(an)2 - b2 =a2n - b2； （2） (a+1)(a-1)(a2+1) =(a2-1) (a2+1) = a4-1。 习题1.3 教材P25页 相信你能行 课后练习 11.观察下列各式： 152=225，252=625，352=1225，······ 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律?为什么? 你还能找到哪些类似的规律?试举一例。 解：末尾的两个数都是 25。 理由:设个位数字是5 的两位数为 10a+5，则 (10a+5)2 =(10a)2+2·10a·5+52 = 100a2+100a+25。 由此可知此数末尾的两个数为25。 习题1.3 教材P25页 课后练习 12.计算：(a+b)4。 解：(a+b)4 =(a+b)2(a+b)2 =(a2+2ab+b2) (a2+2ab+b2) =a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 习题1.3 教材P25页 课后练习 13.计算：(a+b+c)2。 解： (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =(a2+2ab+b2)+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 习题1.3 教材P25页 三项组合为两相和 谢谢聆听 $