智慧广场——植树问题（解决问题讲义）数学青岛版五四学制三年级下册（新教材）

智慧广场——植树问题 1.植树问题三种基本类型的认识： ----认识两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽三种核心情境，建立每种情境的实际场景观念（如道路两侧植树、操场围栏植树、队列间距等） 2.间隔数与棵数的核心关系： ----掌握三种情境下的数量关系：两端都栽时棵数=间隔数+1；一端栽一端不栽时棵数=间隔数；两端都不栽时棵数=间隔数-1，能准确对应情境选择关系式 3.总长、间隔长与间隔数的换算： ----掌握总长=间隔长×间隔数，间隔数=总长÷间隔长，间隔长=总长÷间隔数，能进行三者之间的简单换算 4.植树问题的解题步骤： ----掌握“判断情境类型→找出已知条件（总长/间隔长/棵数）→计算间隔数→根据关系求未知量”的解题流程，规范解题思路 5.实际场景的应用与转化： ----结合生活实际，能将路灯安装、排队间距、锯木头、摆花盆等实际问题转化为植树问题模型，培养问题转化能力和实际应用意识 类型1 植树问题（两端都栽）： 典型例题1：小明家住在5楼，他每上一层楼需要走9级台阶。小明从1楼走到5楼，一共要走多少级台阶？ 【分析】先算小明从1楼到5楼需要上几层楼，再用他每上一层楼需要走的台阶数乘层数，即可求出一共要走多少级台阶。 变式训练：幸福大道一边共有48根路灯，每相邻两根路灯之间的距离是10米，求幸福大道的长度。（两端都有路灯） 类型2 植树问题（两端不都栽）： 典型例题2：一根钢管，要把它锯成长度相等的8段，每锯一段要8.5分钟。锯完这根钢管一共需要多少分钟？ 【分析】根据植树问题两端都不栽的情况，锯成钢管的段数比次数多1。把钢管锯成长度相等的8段，需要锯7次。用每次需要的时间乘次数即可。 变式训练：一个窗户的长是1米80厘米，妈妈准备沿着窗户的长边等距离地安装7根铁栏杆（两端不安装），相邻两根栏杆之间的距离是多少厘米？ 类型3 植树问题（一端栽一端不栽）： 典型例题3：绿化队在一条长328米的小路两旁栽树，每隔4米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽树多少棵？ 【分析】一端栽，一端不栽时，植树的数量＝总长间隔，所以用小路的总长328米除以间隔4米，即可求出一旁要栽多少棵树，题目中要求两旁栽树，所以求出一旁的植树数量乘2即可求出。 变式训练：在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 类型4 封闭图形上的植树问题： 典型例题4：在周长900米的环湖小路边，每隔100米安装一个采集图像的摄像头，一共需要安装多少个这样的摄像头？ 【分析】在封闭图形上面植树，植树棵数等于间隔数，根据“间隔数＝总长÷间距”求出间隔数，即一共需要安装摄像头的数量，据此解答。 变式训练：学校有一个正方形花圃，园艺社团要开展“美化花圃”活动。现计划在花圃的每一条边都种上8株花，怎样种植需要的花苗数量最少？最少要准备多少株花？ A夯实基础 1．同学们围坐在一个周长为24米的圆形花坛周围做“丢手绢”的游戏，每隔2米坐一个同学，参加游戏的一共有（    ）个同学。 A．10 B．11 C．12 2．一个圆形水池半径是150米，在它的边缘每隔3米栽一棵树，一共可以栽（    ）棵树。 A．313 B．314 C．315 3．在一个周长是240米的圆形小广场周围安装路灯，每隔12米安一盏。一共需要安装（    ）盏路灯。 A．21 B．19 C．20 4．把一根长2.4米的木条锯成每段长0.4米的小木条，如果每锯一次需要2分钟，则把这根木条锯完需要( )分钟。 5．学校的图书馆和宿舍之间的道路一侧一共安装了41盏路灯（两端都安装），相邻两盏路灯之间的间隔是10米，学校的图书馆和宿舍之间的道路长是( )米。 6．学苑路的一边栽有39棵树（两端都栽），两棵之间距离是6米，这条路长( )米。如果在路的另一边每隔10米安装一盏路灯（两端都不安装），要安装( )盏路灯。 B培优拔高 7．公司将要举行年会，佳慧负责在会场布置，需要在会场悬挂一条17米长的彩带，上面系上19个花环（两端不系），要求每相邻两个花环之间的距离相等、那么相邻两个花环之间的距离是多少米？ 8．2025年12月26日“莆超”校园足球联赛将正式开赛。根据题中信息，计算出测试距离（起点线至终点）为多少米？ 场地：设置明显的标志杆，起点线至第一根标志杆的距离为3米，最后一根标志杆至终点的距离为3米，其余各杆每相邻两杆之间的间距为2米，共设8根标志杆。 9．在一条长360米的公路一侧安装路灯（两端都安装），每隔24米安装一盏，一共需要安装多少盏路灯？ 10．有一个长90米，宽60米的长方形池塘。现在要在这个池塘的四周栽树，四个顶点上都要栽，每相邻两棵树的间隔是5米，一共要栽多少棵树？ 11．在一条长360米的街道两侧，从头到尾每隔15米设置一个垃圾桶（两头都设置），一共需要设置多少个垃圾桶？ C思维拓展 12．某社区准备在一条长80米的走廊两侧摆放花盆（两端都不放），每隔4米放一盆。一共需要多少盆花？ 13．“垃圾不落地·城市更美丽”，牧野广场上有一条林荫大道，全长800米，要在它的一侧从头到尾等距离地放41个垃圾桶，每相邻两个垃圾桶之间相距多少米？ 14．某市举行冬季长跑比赛，为保障参赛选手安全，组委会在赛道沿线平均每2千米处设置一个医疗点，全程共设置了13个（起点和终点均有设置），全程多少千米？ 15．笔直的跑道一侧插着51面小旗，相邻两面小旗的间隔都是2米。现在要改为每隔5米插一面小旗（两端的旗子不动），一共插多少面小旗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 智慧广场——植树问题 1.植树问题三种基本类型的认识： ----认识两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽三种核心情境，建立每种情境的实际场景观念（如道路两侧植树、操场围栏植树、队列间距等） 2.间隔数与棵数的核心关系： ----掌握三种情境下的数量关系：两端都栽时棵数=间隔数+1；一端栽一端不栽时棵数=间隔数；两端都不栽时棵数=间隔数-1，能准确对应情境选择关系式 3.总长、间隔长与间隔数的换算： ----掌握总长=间隔长×间隔数，间隔数=总长÷间隔长，间隔长=总长÷间隔数，能进行三者之间的简单换算 4.植树问题的解题步骤： ----掌握“判断情境类型→找出已知条件（总长/间隔长/棵数）→计算间隔数→根据关系求未知量”的解题流程，规范解题思路 5.实际场景的应用与转化： ----结合生活实际，能将路灯安装、排队间距、锯木头、摆花盆等实际问题转化为植树问题模型，培养问题转化能力和实际应用意识 类型1 植树问题（两端都栽）： 典型例题1：小明家住在5楼，他每上一层楼需要走9级台阶。小明从1楼走到5楼，一共要走多少级台阶？ 【答案】 36级 【分析】先算小明从1楼到5楼需要上几层楼，再用他每上一层楼需要走的台阶数乘层数，即可求出一共要走多少级台阶。 【详解】5－1＝4（层） 9×4＝36（级） 答：一共要走36级台阶。 变式训练：幸福大道一边共有48根路灯，每相邻两根路灯之间的距离是10米，求幸福大道的长度。（两端都有路灯） 【答案】470米 【分析】由题意可知，两端都有路灯，则间隔数比路灯数量少1，幸福大道的长度＝间隔数×每相邻两根路灯之间的距离，据此解答。 【详解】（48－1）×10 ＝47×10 ＝470（米） 答：幸福大道的长度是470米。 类型2 植树问题（两端不都栽）： 典型例题2：一根钢管，要把它锯成长度相等的8段，每锯一段要8.5分钟。锯完这根钢管一共需要多少分钟？ 【答案】59.5分钟 【分析】根据植树问题两端都不栽的情况，锯成钢管的段数比次数多1。把钢管锯成长度相等的8段，需要锯7次。用每次需要的时间乘次数即可。 【详解】（8－1）×8.5 ＝7×8.5 ＝59.5（分） 答：锯完这根钢管一共需要59.5分钟。 变式训练：一个窗户的长是1米80厘米，妈妈准备沿着窗户的长边等距离地安装7根铁栏杆（两端不安装），相邻两根栏杆之间的距离是多少厘米？ 【答案】22.5厘米 【分析】由题意可知，此题可以看作是植树问题，因为两端不安装，所以棵数＋1＝间隔数，再根据总长度÷间隔数＝间隔长度，据此解答即可。 【详解】1米80厘米＝180厘米 180÷（7＋1） ＝180÷8 ＝22.5（厘米） 答：相邻两根栏杆之间的距离是22.5厘米。 类型3 植树问题（一端栽一端不栽）： 典型例题3：绿化队在一条长328米的小路两旁栽树，每隔4米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽树多少棵？ 【答案】 164棵 【分析】一端栽，一端不栽时，植树的数量＝总长间隔，所以用小路的总长328米除以间隔4米，即可求出一旁要栽多少棵树，题目中要求两旁栽树，所以求出一旁的植树数量乘2即可求出。 【详解】（棵） （棵） 答：一共要栽树164棵。 变式训练：在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 【答案】900米 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，间距×段数＝全长，据此列式解答。 【详解】45×20＝900（米） 答：这条路全长900米。 类型4 封闭图形上的植树问题： 典型例题4：在周长900米的环湖小路边，每隔100米安装一个采集图像的摄像头，一共需要安装多少个这样的摄像头？ 【答案】9个 【分析】在封闭图形上面植树，植树棵数等于间隔数，根据“间隔数＝总长÷间距”求出间隔数，即一共需要安装摄像头的数量，据此解答。 【详解】900÷100＝9（个） 答：一共需要安装9个这样的摄像头。 变式训练：学校有一个正方形花圃，园艺社团要开展“美化花圃”活动。现计划在花圃的每一条边都种上8株花，怎样种植需要的花苗数量最少？最少要准备多少株花？ 【答案】 四个角上种4株花，除四角外，每边种6株花；28株。 【分析】要求“最少”，正方形四个顶点位置都要种，每个顶点种1株花，共种4株花，除四角外，每边都要种株，也就是6株，正方形共有四条边，用乘法算出四条边种的花的总数量，再加上四个顶点种的花的数量，就算出了最少要准备花的数量。 【详解】 = =28（株） 答：四个角上种4株花，除四角外，每边种6株花，这样种植需要的花苗数量最少，最少要准备28株花。 A夯实基础 1．同学们围坐在一个周长为24米的圆形花坛周围做“丢手绢”的游戏，每隔2米坐一个同学，参加游戏的一共有（    ）个同学。 A．10 B．11 C．12 【答案】C 【分析】围成封闭图形，人数＝间隔数，由此求出24米里有几个2米的间隔，就有几个人． 【详解】24÷2＝12（个） 故答案为：C 2．一个圆形水池半径是150米，在它的边缘每隔3米栽一棵树，一共可以栽（    ）棵树。 A．313 B．314 C．315 【答案】B 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，计算出水池周长，再根据植树问题的解题方法，封闭图形里植树，棵数＝段数，水池周长÷间距＝栽的棵数。 【详解】2×3.14×150÷3 ＝942÷3 ＝314（棵） 一共可以栽314棵树。 故答案为：B 3．在一个周长是240米的圆形小广场周围安装路灯，每隔12米安一盏。一共需要安装（    ）盏路灯。 A．21 B．19 C．20 【答案】C 【分析】圆形广场是个封闭图形，根据已学知识和结合题意，封闭图形的间隔数就等于路灯数，间隔数等于植树棵数，那么用小广场的周长除以间隔距离，即可求出一共需要安装多少盏路灯。 【详解】根据分析： 安装的路灯数＝圆形小广场的周长÷间隔距离 可列式为：240÷12＝20（盏） 所以一共需要安装20盏路灯。 故答案为：C 4．把一根长2.4米的木条锯成每段长0.4米的小木条，如果每锯一次需要2分钟，则把这根木条锯完需要( )分钟。 【答案】10 【分析】用木条的总长度除以每段小木条的长度，求出能锯成多少段。根据次数＝段数－1，求出锯的次数，用每次锯需要的时间乘锯的次数，求出锯完木条的总时间。 【详解】2.4÷0.4＝6（段） 6－1＝5（次） 5×2＝10（分钟） 所以把这根木条锯完需要10分钟。 5．学校的图书馆和宿舍之间的道路一侧一共安装了41盏路灯（两端都安装），相邻两盏路灯之间的间隔是10米，学校的图书馆和宿舍之间的道路长是( )米。 【答案】400 【分析】路灯数量为41盏，由于两端都安装，间隔数比路灯数少1，即间隔数为41－1＝40个。每个间隔为10米，因此道路总长为间隔长度乘间隔数。据此解答。 【详解】10×（41－1） ＝10×40 ＝400（米） 所以学校的图书馆和宿舍之间的道路长是400米。 6．学苑路的一边栽有39棵树（两端都栽），两棵之间距离是6米，这条路长( )米。如果在路的另一边每隔10米安装一盏路灯（两端都不安装），要安装( )盏路灯。 【答案】 228 22 【分析】由题意可知，属于两端都栽的情况，间隔数＝棵数－1，用39－1即可求出间隔数，再乘间隔长度即可求出总长度；路另一边每隔10米安装路灯，两端都不安装，需要计算在路长228米内，有多少个10米的安装点，列式为228÷10，这些点必须位于路内部，即从10米处开始到220米处结束，计算点的数量即可得到路灯盏数。 【详解】（39－1）×6 ＝38×6 ＝228（米） 228÷10＝22……8 安装点位于10米、20米、…、220米处，共22个点，因此安装22盏路灯。 所以两棵之间距离是6米，这条路长228米，如果在路的另一边每隔10米安装一盏路灯（两端都不安装），要安装22盏路灯。 B培优拔高 7．公司将要举行年会，佳慧负责在会场布置，需要在会场悬挂一条17米长的彩带，上面系上19个花环（两端不系），要求每相邻两个花环之间的距离相等、那么相邻两个花环之间的距离是多少米？ 【答案】0.85米 【分析】根据题意，需要先计算间隔数，间隔数等于花环数量加1，再用彩带总长度÷间隔数，即可得到相邻两个花环之间的距离，据此解答。 【详解】间隔数：19＋1＝20（个） 相邻距离：17÷20＝0.85（米）​ 答：相邻两个花环之间的距离是0.85米。 8．2025年12月26日“莆超”校园足球联赛将正式开赛。根据题中信息，计算出测试距离（起点线至终点）为多少米？ 场地：设置明显的标志杆，起点线至第一根标志杆的距离为3米，最后一根标志杆至终点的距离为3米，其余各杆每相邻两杆之间的间距为2米，共设8根标志杆。 【答案】20米 【分析】因为共设8根标志杆，那么从第一根标志杆到最后一根标志杆中间间隔数比标志杆数少1，即8−1＝7（个）间隔，每个间隔是2米，所以中间部分的距离就是每个间隔的距离乘间隔数，即中间部分距离为2×7＝14（米）。起点线至第一根标志杆距离3米，最后一根标志杆至终点距离3米。那么测试距离（起点线至终点）列式为14＋3＋3，计算即可。 【详解】8−1＝7（个） 2×7＝14（米） 14＋3＋3 ＝17＋3 ＝20（米） 答：测试距离（起点线至终点）为20米。 9．在一条长360米的公路一侧安装路灯（两端都安装），每隔24米安装一盏，一共需要安装多少盏路灯？ 【答案】16盏 【分析】解答这道题需明确：两端都栽的植树问题中，棵数＝间隔数＋1。而间隔数＝全长÷间距。题目中已知在一条长360米的公路一侧安装路灯（两端都安装），每隔24米安装一盏，则全长是360米，间距是24米。先求出间隔数，再求路灯的盏数。另外还需注意，只在公路一侧安装路灯。据此解答。 【详解】 （盏） 答：一共需要安装16盏路灯。 10．有一个长90米，宽60米的长方形池塘。现在要在这个池塘的四周栽树，四个顶点上都要栽，每相邻两棵树的间隔是5米，一共要栽多少棵树？ 【答案】60棵 【分析】封闭图形植树问题，棵数＝间隔数，间隔数＝总长÷间隔长，其中总长＝长方形的周长，间隔长是5米，结合长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此列式计算。 【详解】（90＋60）×2÷5 ＝150×2÷5 ＝300÷5 ＝60（棵） 答：一共要栽60棵树。 11．在一条长360米的街道两侧，从头到尾每隔15米设置一个垃圾桶（两头都设置），一共需要设置多少个垃圾桶？ 【答案】 50个 【分析】先用360除以15计算出街道的一侧有多少个间隔；再根据“垃圾桶数量＝间隔数＋1”计算出街道的一侧需要设置的垃圾桶数量；要在街道两侧设置垃圾桶，所以用一侧需要设置的垃圾桶数量再乘2即可。 【详解】（360÷15＋1）×2 ＝（24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（个） 答：一共需要设置50个垃圾桶。 C思维拓展 12．某社区准备在一条长80米的走廊两侧摆放花盆（两端都不放），每隔4米放一盆。一共需要多少盆花？ 【答案】38盆 【分析】用80米除以4的商再减1，可求得两端都不放走廊一侧摆放的花盆数，再用其结果乘2，即可求得一共需要多少盆花。 【详解】80÷4－1 ＝20－1 ＝19（盆） 19×2＝38（盆） 答：一共需要38盆花。 13．“垃圾不落地·城市更美丽”，牧野广场上有一条林荫大道，全长800米，要在它的一侧从头到尾等距离地放41个垃圾桶，每相邻两个垃圾桶之间相距多少米？ 【答案】20米 【分析】已知在这条大道的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶，可以求出一共有41－1＝40（个） 间隔；因为这条大道全长 800 米，相当于把 800 米长的道路平均分成 40 段，求每段长 800÷40解答。 【详解】800÷（41－1） ＝800÷40 ＝20（米） 答：每相邻两个垃圾桶之间相距20米。 14．某市举行冬季长跑比赛，为保障参赛选手安全，组委会在赛道沿线平均每2千米处设置一个医疗点，全程共设置了13个（起点和终点均有设置），全程多少千米？ 【答案】24千米 【分析】在两端都包含的直线型排列中，点数＝间隔数＋1。已知医疗点总数为13个，包含起点和终点，先计算出间隔数为（13－1）个；再根据每个间隔对应2千米，代入“总路程＝间隔数×间隔”求出总路程即可。 【详解】（13－1）×2 ＝12×2 ＝24（千米） 答：全程有24千米 15．笔直的跑道一侧插着51面小旗，相邻两面小旗的间隔都是2米。现在要改为每隔5米插一面小旗（两端的旗子不动），一共插多少面小旗？ 【答案】21面 【分析】这是植树问题（两端都栽的类型），根据题意可知，两端都插51面小旗，间隔数＝小旗数－1＝51－1＝50 （个），每个间隔2米，跑道长度＝50×2＝100（米）；间隔为5米时，间隔数＝跑道长度÷间隔长度＝100 ÷5＝20（个），两端不动，小旗数＝间隔数＋1＝20＋1＝21（面）；据此解答。 【详解】（51－1）×2 ＝50×2 ＝100（米） 100÷5＝20（个） 20＋1＝21（面） 答：要改为每隔5米插一面小旗（两端的旗子不动），一共插21面小旗。 1 学科网（北京）股份有限公司 $