第三单元 因数与倍数 （解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第三单元 因数与倍数 1.因数和倍数的认识： ----认识因数和倍数的概念，明确两者相互依存的关系，不能单独存在 2.找因数与倍数的方法： ----掌握找一个数因数（成对有序查找，不重复不遗漏）和倍数（依次乘非零自然数）的方法 3.2、3、5的倍数特征： ----牢记2（个位是0、2、4、6、8）、3（各位数字和是3的倍数）、5（个位是0或5）的倍数特征，能快速判断 4.质数与合数的辨析： ----理解质数（只有1和它本身两个因数）、合数（至少有三个因数）的定义，明确1既不是质数也不是合数 5.质因数的认识与分解： ----理解质因数的概念，掌握分解质因数的方法（如短除法），能将合数分解为质因数相乘的形式 类型1 因数和倍数的认识解决问题： 典型例题1：有2种规格的饮料包装盒：8瓶/盒，12瓶/盒。某超市运来60瓶饮料，选哪种包装盒能正好把60瓶饮料装完？说明理由。 【分析】每盒瓶数只要是饮料瓶数的因数，就正好能装完，分别用饮料瓶数÷每盒瓶数，能整除即可。 变式训练：一个非零自然数a，它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则a表示的数是多少？ 类型2 找一个数的因数及因数的特征解决问题： 典型例题2：冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【分析】拿到最后正好一块不剩，说明每次拿的块数是糖的总块数的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出糖的总块数的所有因数，排除1和它本身的情况即可。 变式训练：五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 类型3 根据因数的特征解决问题： 典型例题3：缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 【分析】先列举48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。已知每组人数大于1、组数不止1组，排除因数1（每组人数需大于1）和48（若每组48人则只有1组，不符合“不止1组”的要求），剩余有效因数为：2、3、4、6、8、12、16、24。根据“每组人数＝总人数÷分组数”的数量关系，依次选取符合条件的分组数，分别计算对应的每组人数。将计算得出的分组数与每组人数一一对应，最终通过列表形式整理出所有满足题意的分组方案，清晰呈现结果。 变式训练：小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 类型4 找一个数的倍数及倍数的特征解决问题： 典型例题4：社区要规划一块长方形花园，花园的长需同时是3，4，6的倍数，宽既是28的因数，又是7的倍数。你认为这个长方形花园的面积最小是多少平方米？ 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，要使长方形花园的面积最小，则长和宽最小；已知花园的长需同时是3，4，6的倍数，说明长最小是3，4，6的最小公倍数；最小公倍数是几个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。宽既是28的因数，又是7的倍数，符合条件的有7、14，最小是7；最后根据长方形的面积公式解答。 变式训练：园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 类型5 根据倍数的特征解决问题： 典型例题5：李阿姨在超市买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。李阿姨付了100元，售货员找回13元。请问：售货员找回的钱对吗？为什么？ 【分析】设李阿姨买了x瓶纯牛奶，y瓶果汁，那么买纯牛奶花费5x元，买果汁花费10y元，总共花费（5x＋10y）元；5x的个位数字是0或5（因为5乘奇数个位是5，乘偶数个位是0 ），10y的个位数字是0 ，所以5x＋10y的个位数字是0或5，即李阿姨买东西花的钱数的个位是0或5。李阿姨付了100元，100是整十数，个位是0；因为花费的钱数个位是0或5，那么找回的钱数＝100－花费的钱数，其个位应该是0（当花费个位是0时，100－个位为0的数，结果个位是0 ）或5（当花费个位是5时，100－个位为5的数，结果个位是5）；而售货员找回13元，13的个位是3，不符合上述规律，所以找回的钱不对。 变式训练：母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 5元/枝 10元/枝 类型6 倍数和因数的综合应用解决问题： 典型例题6：赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【分析】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 变式训练：猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 类型7 2、3、5倍数的特征解决问题： 典型例题7：有一个三位数，能同时是2和3的倍数，而且三个数位上的数字都是互不相同的质数，这个三位数可能是多少？ 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 变式训练：有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 类型8 奇数与偶数的认识解决问题： 典型例题8：小芳、小丽和小玉三人的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是45岁，她们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【分析】相邻的奇数之间相差2，三人的年龄总和÷3＝中间年龄，中间年龄－2＝最小年龄，中间年龄＋2＝最大年龄。 变式训练：“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 类型9 运算性质（奇数与偶数）解决问题： 典型例题9：六年级150名同学排成4排做体操，如果前3排的人数都是奇数，那么第4排的人数是奇数还是偶数？ 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数；偶数－偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数。据此结合题意分析解答即可。 变式训练：房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 类型10 质数与合数的认识解决问题： 典型例题10：王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜，它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 【分析】一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将60÷2＝30米，即求出了长与宽的和是30；再将30分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的面积，比较即可。 变式训练：质数是一个只有两个因数的整数：1和它自己。例如，2和11是质数，而1和4不是质数。有多少个4的倍数的三位数各个位数字都是质数？ 类型11 质数与合数的综合应用解决问题： 典型例题11：张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 变式训练：用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 类型12 分解质因数解决问题： 典型例题12：动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【分析】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 变式训练：靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ A夯实基础 1．一台电脑的锁屏密码是一个四位数“5□4□”，这个四位数同时是2、3、5的倍数，要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．2 B．4 C．5 D．6 2．四年级一班的女生人数既有因数3，又是4的倍数，且人数在20与30之间，四年级一班的女生人数是（    ）。 A．21 B．22 C．24 D．28 3．某新能源汽车的车牌号是“鲁C·D2□□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，第三个数字既不是质数也不是合数，第四个数字是最小的合数。这个车牌号的后四位是（    ）。 A．2023 B．2914 C．2014 D．2904 4．团体操表演，无论每列6人还是每列8人，都正好排成长方形的队伍。如果表演人数在80－100之间，可能有( )人参加表演活动。 5．一个四位数7□1△，如果这个数是2、3、5的倍数，那么，△代表的数字是( )，□代表的数字最大是( )。 6．在1、2、3、7、8、9中，是偶数但不是合数的数是( )，是奇数但不是质数的数是( )，既是奇数又是质数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 B培优拔高 7．把一箱梨平均分给8个小朋友没有剩余，平均分给12个小朋友也没有剩余，这箱梨最少有多少个？ 8．一批面包，无论2个装一袋，3个装一袋或是5个装一袋，都正好剩1个。这批面包可能是多少个？最少是多少？ 9．有一堆苹果，总数不到30个，把这堆苹果平均分给5个人，还多出3个苹果，这堆苹果有几个？（可以从不同的可能性来考虑） 10．一篮鸡蛋60个，要求每次拿的个数相同，最后没有剩余（不能一次全部拿走），一共有几种拿法？请写出其中的三种拿法． 11．幼儿园里有一些小朋友(人数在15~45人之间)．王老师拿了64颗糖平均分给他们,正好分完．小朋友的人数可能是多少? C思维拓展 12．自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身） 13．一群小朋友的人数在10～20之间，把24个苹果平均分给这些小朋友，正好分完小朋友的人数是多少？ 14．小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 15．少先队员排队做操，无论每列是5人还是6人，都能排成一个长方形队伍且没有剩余．如果少先队员的人数在150人至200人之间，那么少先队员有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数与倍数 1.因数和倍数的认识： ----认识因数和倍数的概念，明确两者相互依存的关系，不能单独存在 2.找因数与倍数的方法： ----掌握找一个数因数（成对有序查找，不重复不遗漏）和倍数（依次乘非零自然数）的方法 3.2、3、5的倍数特征： ----牢记2（个位是0、2、4、6、8）、3（各位数字和是3的倍数）、5（个位是0或5）的倍数特征，能快速判断 4.质数与合数的辨析： ----理解质数（只有1和它本身两个因数）、合数（至少有三个因数）的定义，明确1既不是质数也不是合数 5.质因数的认识与分解： ----理解质因数的概念，掌握分解质因数的方法（如短除法），能将合数分解为质因数相乘的形式 类型1 因数和倍数的认识解决问题： 典型例题1：有2种规格的饮料包装盒：8瓶/盒，12瓶/盒。某超市运来60瓶饮料，选哪种包装盒能正好把60瓶饮料装完？说明理由。 【答案】选12瓶/盒的饮料包装盒；理由见详解 【分析】每盒瓶数只要是饮料瓶数的因数，就正好能装完，分别用饮料瓶数÷每盒瓶数，能整除即可。 【详解】60÷8＝7.5（盒） 60÷12＝5（盒） 答：选12瓶/盒的饮料包装盒正好能装完，因为12是60的因数。 变式训练：一个非零自然数a，它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则a表示的数是多少？ 【答案】75 【分析】一个数的最小因数是1，最小的两个因数的和是4，因此第二小的因数是（4－1）；一个数的最大因数是它本身，第二大的因数＝这个数÷第二小的因数，根据最大因数＋第二大因数＝100，即这个数＋这个数÷第二小的因数＝100，列出方程求出a的值即可。 【详解】a＋a÷（4－1）＝100 解：a＋a÷3＝100 （a＋a÷3）×3＝100×3 3a＋a＝300 4a＝300 4a÷4＝300÷4 a＝75 答：a表示的数是75。 【点睛】关键是熟悉一个数的因数的特点，掌握求一个数的因数的方法，找到等量关系，列出方程进行解答。 类型2 找一个数的因数及因数的特征解决问题： 典型例题2：冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【答案】4种；2、4、8、16块 【分析】拿到最后正好一块不剩，说明每次拿的块数是糖的总块数的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出糖的总块数的所有因数，排除1和它本身的情况即可。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 32的因数有：1、2、4、8、16、32，排除1和32，还有2、4、8、16，4个因数。 答：一共有4种拿法。每次分别拿2、4、8、16块。 变式训练：五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 【答案】 4种；具体见详解 【分析】40人站成方队，即每行人数是40的因数，且每行人数需满足“至少4人，最多12人”。因此需要先找出40的所有因数，再筛选出符合人数范围的因数，每个符合条件的因数对应一种站队方法。 【详解】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 因此40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。 因为要求至少4人，最多12人，因此从因数中筛选出：4、5、8、10。 方法1：每行4人，站10行（4×10＝40） 方法2：每行5人，站8行（5×8＝40） 方法3：每行8人，站5行（8×5＝40） 方法4：每行10人，站4行（10×4＝40） 综上，共有4种站队方法。 类型3 根据因数的特征解决问题： 典型例题3：缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 【答案】见详解 【分析】先列举48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。已知每组人数大于1、组数不止1组，排除因数1（每组人数需大于1）和48（若每组48人则只有1组，不符合“不止1组”的要求），剩余有效因数为：2、3、4、6、8、12、16、24。根据“每组人数＝总人数÷分组数”的数量关系，依次选取符合条件的分组数，分别计算对应的每组人数。将计算得出的分组数与每组人数一一对应，最终通过列表形式整理出所有满足题意的分组方案，清晰呈现结果。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 因为每组人数大于1且不止1组，所以分组数不能是1和48。 当分组数为2组时，每组人数为48÷2＝24（人）； 当分组数为3组时，每组人数为48÷3＝16（人）； 当分组数为4组时，每组人数为48÷4＝12（人）； 当分组数为6组时，每组人数为48÷6＝8（人）； 当分组数为8组时，每组人数为48÷8＝6（人）； 当分组数为12组时，每组人数为48÷12＝4（人）； 当分组数为16组时，每组人数为48÷16＝3（人）； 当分组数为24组时，每组人数为48÷24＝2（人）。 列表如下： 组数 每组人数 2 24 3 16 4 12 6 8 8 6 12 4 16 3 24 2 答：可分的组数为：2组、3组、4组、6组、8组、12组、16组、24组。 变式训练：小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 【答案】能；不能；4个；原因见详解 【分析】能不能正好装完，就是看2和5是不是36的因数，是36的因数就可以正好装完，不是36的因数就不能正好装完。至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完，也就是玩具小熊的数量同时是2和5的公倍数，先利用求一个数的倍数的方法，求出2和5的倍数，再找出两个数的公倍数，在这些公倍数中，找出刚好比36大的数，再与36作差即可解答。 【详解】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 2是36的因数，所以每2个装一个盒子，能正好装完。 5不是36的因数，所以每5个装一个盒子，不能正好装完。 2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50… 5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50… 2和5的公倍数有10、20、30、40、50… 40比36大； 所以至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 答：每2个装一个盒子，能正好装完；每5装一个盒子，不能正好装完；至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 类型4 找一个数的倍数及倍数的特征解决问题： 典型例题4：社区要规划一块长方形花园，花园的长需同时是3，4，6的倍数，宽既是28的因数，又是7的倍数。你认为这个长方形花园的面积最小是多少平方米？ 【答案】84平方米 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，要使长方形花园的面积最小，则长和宽最小；已知花园的长需同时是3，4，6的倍数，说明长最小是3，4，6的最小公倍数；最小公倍数是几个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。宽既是28的因数，又是7的倍数，符合条件的有7、14，最小是7；最后根据长方形的面积公式解答。 【详解】3，4，6的最小公倍数是：2×2×3＝12   既是28的因数，又是7的倍数的数最小是：7 12×7＝84（平方米） 答：这个长方形花园的面积最小是84平方米。 变式训练：园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【答案】最少103棵；最多198棵 【分析】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【详解】100到200之间大于100的5的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 类型5 根据倍数的特征解决问题： 典型例题5：李阿姨在超市买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。李阿姨付了100元，售货员找回13元。请问：售货员找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对；原因见详解 【分析】设李阿姨买了x瓶纯牛奶，y瓶果汁，那么买纯牛奶花费5x元，买果汁花费10y元，总共花费（5x＋10y）元；5x的个位数字是0或5（因为5乘奇数个位是5，乘偶数个位是0 ），10y的个位数字是0 ，所以5x＋10y的个位数字是0或5，即李阿姨买东西花的钱数的个位是0或5。李阿姨付了100元，100是整十数，个位是0；因为花费的钱数个位是0或5，那么找回的钱数＝100－花费的钱数，其个位应该是0（当花费个位是0时，100－个位为0的数，结果个位是0 ）或5（当花费个位是5时，100－个位为5的数，结果个位是5）；而售货员找回13元，13的个位是3，不符合上述规律，所以找回的钱不对。 【详解】售货员找回的钱不对，因为买纯牛奶和果汁的花费是5的倍数，付100元时，找回的钱数个位应是0或5，不可能是13元 。 变式训练：母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 5元/枝 10元/枝 【答案】见详解 【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；据此分析解答。 【详解】因为一枝康乃馨的价钱是5的倍数，一枝百合花的价钱也是5的倍数，所以无论怎么购买，买花的总钱数一定是5的倍数，50是5的倍数，找回的钱数也必定是5的倍数，而13不是5的倍数。 类型6 倍数和因数的综合应用解决问题： 典型例题6：赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【分析】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【详解】 9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 【点睛】本题考查了学生对因数和倍数的认识、小数除法，以及人民币的掌握情况，关键要弄清28同一个数相乘末尾数的特征。 变式训练：猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 类型7 2、3、5倍数的特征解决问题： 典型例题7：有一个三位数，能同时是2和3的倍数，而且三个数位上的数字都是互不相同的质数，这个三位数可能是多少？ 【答案】372 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】能同时是2和3的倍数，个位上的数字是0、2、4、6、8，质数有2； 10以内的质数有：2、3、5、7，2如果在个位，百位和十位能选择的数是3和7。 答：这个三位数可能是372或732。 变式训练：有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 【答案】30分 【分析】分析题目，要使三路公交车同时发车则时间必须同时是2、3、5的倍数，据此分别列举出2，3，5的倍数；再找出同时是2、3、5的倍数的最小数即可解答。 【详解】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34…… 3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36…… 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35…… 同时是2、3、5的倍数的最小数是：30 答：这三路公交车至少再过30分会同时发车。 类型8 奇数与偶数的认识解决问题： 典型例题8：小芳、小丽和小玉三人的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是45岁，她们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】13岁；17岁 【分析】相邻的奇数之间相差2，三人的年龄总和÷3＝中间年龄，中间年龄－2＝最小年龄，中间年龄＋2＝最大年龄。 【详解】45÷3＝15（岁） 15－2＝13（岁） 15＋2＝17（岁） 答：她们中最小的是13岁，最大的是17岁。 变式训练：“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 【答案】9463 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，一位数中最大的奇数是9； 除了1和本身，还有别的因数的数是合数，最小的合数是4； 同时是2和3的倍数，就是2和3的最小公倍数，即2×3＝6； 只有1和本身的数是质数，最小的质数是2，D比最小的质数大1，那么D是3。据此填空。 【详解】一位数中最大的奇数是9，所以A＝9； 最小的合数是4，所以B＝4； 一位数中同时是2和3的倍数的数是2×3＝6，所以C＝6； 最小的质数是2，所以D＝2＋1＝3。 答：张阿姨的取件码是9463。 类型9 运算性质（奇数与偶数）解决问题： 典型例题9：六年级150名同学排成4排做体操，如果前3排的人数都是奇数，那么第4排的人数是奇数还是偶数？ 【答案】第4排的人数是奇数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数；偶数－偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数。据此结合题意分析解答即可。 【详解】前3排的人数之和是：奇数＋奇数＋奇数＝奇数 150是偶数，第4排的人数是：偶数－奇数＝奇数 答：第4排的人数是奇数。 变式训练：房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【答案】 不可能 【分析】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【详解】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【点睛】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 类型10 质数与合数的认识解决问题： 典型例题10：王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜，它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 【答案】221平方米 【分析】一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将60÷2＝30米，即求出了长与宽的和是30；再将30分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的面积，比较即可。 【详解】60÷2＝30（米） 和为30的质数对有：7＋23、11＋19、13＋17。 7×23＝161（平方米） 11×19＝209（平方米） 13×17＝221（平方米） 221＞209＞161 答：这个长方形地的面积最大是221平方米。 【点睛】本题关键在于运用长方形周长公式推导出长与宽的和，再根据质数的定义筛选出所有符合条件的质数对，最后通过计算和比较面积的大小，找出面积最大的情况。 变式训练：质数是一个只有两个因数的整数：1和它自己。例如，2和11是质数，而1和4不是质数。有多少个4的倍数的三位数各个位数字都是质数？ 【答案】12个 【分析】一位质数有2，3，5，7，列出2，5，7组合、2，3，7组合、2，3，5组合的4的倍数，求和即可。 【详解】一位质数：2，3，5，7； 4的倍数： 2，5，7组合：752、572、252、272、772、552； 2，3，7组合：372、732、232、332； 2，3，5组合：532、352； 6＋4＋2＝12（个） 答：有12个4的倍数的三位数各个位数上的数字都是质数。 类型11 质数与合数的综合应用解决问题： 典型例题11：张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【详解】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 变式训练：用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 【答案】55平方厘米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝周长÷2，据此求出长与宽的和，再根据质数的意义确定长、宽，然后根据长方形面积＝长×宽，把数据代入公式解答。 【详解】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方厘米） 11×5＝55（平方厘米） 55＞39 答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。 类型12 分解质因数解决问题： 典型例题12：动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【分析】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【详解】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【点睛】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 变式训练：靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 【答案】24只 【分析】根据题意，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完，说明这群羊的总只数是6和8的公倍数；求至少养了多少只羊，就是求6和8的最小公倍数。 把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即至少养了24只羊。 答：小明家至少养了24只羊。 A夯实基础 1．一台电脑的锁屏密码是一个四位数“5□4□”，这个四位数同时是2、3、5的倍数，要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】同时是2和5的倍数，个位必为0，即密码为“5□40”，再根据3的倍数特征，各位数字之和需要能被3整除，5＋4＝9，也就是9＋□能被3整除，据此列出所有符合条件的密码。 【详解】根据分析，密码的个位为0，且9＋□能被3整除，因为9能被3整除，所以□可以填0、3、6、9，密码有4种可能，最多需要输入4次。 故答案为：B 2．四年级一班的女生人数既有因数3，又是4的倍数，且人数在20与30之间，四年级一班的女生人数是（    ）。 A．21 B．22 C．24 D．28 【答案】C 【分析】由题意得，四年级一班的女生人数既有因数3，又是4的倍数，那么四年级一班的女生人数应该是3和4的公倍数。女生人数在20与30之间，据此找出满足条件的女生人数即可。 【详解】3和4的公倍数有：12，24，36，48……，其中在20与30之间的是24，所以四年级一班的女生人数是24人。 故答案为：C 3．某新能源汽车的车牌号是“鲁C·D2□□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，第三个数字既不是质数也不是合数，第四个数字是最小的合数。这个车牌号的后四位是（    ）。 A．2023 B．2914 C．2014 D．2904 【答案】B 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数，如果除了1和它本身还有其它的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。据此解答。 【详解】由分析得，最小的质数是2，最大的一位数是9，1既不是质数也不是合数，最小的合数是4，所以这个车牌号的后四位是2914。 故答案为：B 4．团体操表演，无论每列6人还是每列8人，都正好排成长方形的队伍。如果表演人数在80－100之间，可能有( )人参加表演活动。 【答案】96 【分析】无论每列6人还是每列8人，都正好排成长方形的队伍，说明参加表演人数是6和8的公倍数，那么找出在表演人数80－100之间的6和8的公倍数是多少，即可求出可能有多少人参加表演活动。 【详解】6和8的最小公倍数是24， 24×2＝48（人） 24×3＝72（人） 24×4＝96（人） 24×5＝120（人） 在80－100之间的同时是6、8的公倍数的数是96，所以，可能有96人参加表演活动。 团体操表演，无论每列6人还是每列8人，都正好排成长方形的队伍。如果表演人数在80－100之间，可能有96人参加表演活动。 5．一个四位数7□1△，如果这个数是2、3、5的倍数，那么，△代表的数字是( )，□代表的数字最大是( )。 【答案】 0 7 【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：个位上是0的数同时是2和5的倍数，据此可以得到△代表的数字。3的倍数特征：每个数位数字之和是3的倍数那么这个数就是3的倍数，7＋□＋1＋0＝8＋□，□可以填1、4、7，据此即可解答。 【详解】因为这个四位数既是2的倍数也是5的倍数，那么个位为0，△代表的数字是0； 因为这个四位数是3的倍数，所以7＋□＋1＋0＝8＋□是3的倍数，8＋7＝15，15是3的倍数。 所以，□代表的数字最大是7。 6．在1、2、3、7、8、9中，是偶数但不是合数的数是( )，是奇数但不是质数的数是( )，既是奇数又是质数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【答案】 2 1、9 3、7 1 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，是2的倍数的数叫做偶数；个位上是1、3、5、7、9的数不是2的倍数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】在1、2、3、7、8、9中，是偶数但不是合数的数是（2），是奇数但不是质数的数是（1、9），既是奇数又是质数的数是（3、7），既不是质数也不是合数的数是（1）。 B培优拔高 7．把一箱梨平均分给8个小朋友没有剩余，平均分给12个小朋友也没有剩余，这箱梨最少有多少个？ 【答案】24个 【分析】由题目可知，这箱梨的个数能被8和12整除，求最少有多少个，也就是求出8和12的最小公倍数，即可解答。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数： 2×2×3×2 ＝4×3×2 ＝12×2 ＝24 答：这箱梨最少有24个。 8．一批面包，无论2个装一袋，3个装一袋或是5个装一袋，都正好剩1个。这批面包可能是多少个？最少是多少？ 【答案】这批面包可能是31个，61个，91个……最少是31个。 【分析】因为剩一个，假设去除一个面包，现在的面包数既是2、3的倍数，又是5的倍数。然后找出符合条件的数字，再加上1，就是面包的数量了。 【详解】2×3×5=30（个） 30×2=60（个） 30×3=90（个） …… 30+1=31（个） 60+1=61（个） 90+1=91（个） …… 答：这批面包可能是31个，61个，91个……最少是31个。 【点睛】本题中面包无论2个装一袋，3个装一袋或是5个装一袋，都正好剩1个，可以先把剩下的1个面包先排除，最后加上。如果变式2个装一袋，3个装一袋或是5个装一袋，都正好少1个，可以先多一个面包，最后再减去。 9．有一堆苹果，总数不到30个，把这堆苹果平均分给5个人，还多出3个苹果，这堆苹果有几个？（可以从不同的可能性来考虑） 【答案】8个、13个、18个、23个、28个 【分析】先列举出5的倍数，然后求出30以内的比5的倍数多3的数，据此解答。 【详解】5的倍数有：5、10、15、20、25、30… 30以内比5的倍数多3的数有：8，13，18，23，28，所以这堆苹果可能有8个、13个、18个、23个、28个。 10．一篮鸡蛋60个，要求每次拿的个数相同，最后没有剩余（不能一次全部拿走），一共有几种拿法？请写出其中的三种拿法． 【答案】11种；每次拿2个，30次拿完、每次拿3个，20次拿完、每次拿4个，15次拿完 【详解】60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60共计12个． 因为不能一次拿完，所以去掉60，共11种拿法． 比如：每次拿2个，30次拿完、每次拿3个，20次拿完、每次拿4个，15次拿完（拿法不唯一） 11．幼儿园里有一些小朋友(人数在15~45人之间)．王老师拿了64颗糖平均分给他们,正好分完．小朋友的人数可能是多少? 【答案】32人或16人 【详解】64的因数有1、2、4、8、16、32、64． 因为小朋友的人数在15~45人之间,所以小朋友的人数可能是32人或16人． C思维拓展 12．自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身） 【答案】不能 【详解】试题分析：根据因数个数公式：假如A里含有M个质因数A1、N个质因数A2、…、P个质因数AX，即 A=A1m×A2n×…×AXp，则A的因数个数（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1）， 自然数a含有99个因数，又因 99=3×3×11，说明自然数a含有的各个质因数出现的次数都为偶数； 对b同理；因此不管a、b里有没有质因数重复，重复多少次，a×b的各个质因数出现的次数仍然为偶数（因偶数相加奇偶性不变）；据此解答． 解：假如A里含有M个质因数A1、N个质因数A2、…、P个质因数AX，即 A=A1m×A2n×…×AXp，则A的因数个数（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1）， 自然数a含有99个因数，又因 99=3×3×11，说明自然数a含有的各个质因数出现的次数都为偶数； 对b同理；因此不管a、b里有没有质因数重复，重复多少次，a×b的各个质因数出现的次数仍然为偶数（因偶数相加奇偶性不变）；因此a×b的因数个数必等于多个奇数相乘，结果必为奇数，不可能为1000． 点评：此题应根据因数个数公式及数的奇偶性特点进行解答． 13．一群小朋友的人数在10～20之间，把24个苹果平均分给这些小朋友，正好分完小朋友的人数是多少？ 【答案】12人 【分析】根据题意，可得小朋友的人数是24的因数；然后根据找一个数的因数，可以一对一对的找，把24写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是24的因数，然后从小到大依次写出，根据小朋友的人数在10～20之间判断即可。 【详解】因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，又因为小朋友的人数在10～20之间，所以小朋友的人数是：12。 答：小朋友的人数是12人。 14．小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】14岁  18岁 【详解】48÷3＝16(岁) 16－2＝14(岁) 16＋2＝18(岁) 15．少先队员排队做操，无论每列是5人还是6人，都能排成一个长方形队伍且没有剩余．如果少先队员的人数在150人至200人之间，那么少先队员有多少人？ 【答案】180人 【详解】少先队员排队做操，无论每列是5人还是6人，都能排成一个长方形队伍且没有剩余．那么说明人数是5、6的倍数，并且人数在150人至200人之间，那么可以得出有180人 1 学科网（北京）股份有限公司 $