专题06认识三角形寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题06认识三角形寒假预习讲义 · 秒懂三角形定义、三边关系，轻松判断能否拼出三角形； · 吃透内角和定理，快速解决角度计算小难题； · 分清高、中线、角平分线，会画会用不混淆； · 掌握三角形分类，按边按角秒归类； · 能结合简单图形，运用知识点解决基础几何问题。 预习必备 知识点梳理 1.三角形的定义与表示 2.三角形的三边关系 3.三角形的内角和及相关推论 4.三角形的三条重要线段 5.三角形的分类 6.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.三角形的识别与核心概念 2.三角形的计数问题 3.平行线与三角形内角和问题 4.三角形的分类 5.直角三角形的两个锐角互余 6.三角形三边的构成条件 7.三角形第三步的取值范围确定 8.等腰三角形的定义 9.三角形高线的画法 10.三角形角平分线的定义 11.三角形重心的概念 12.三角形三边关系的应用 13.与三角形高有关的计算问题 14.利用网格求三角形面积 强化巩固 题型通关 (11题) 【知识点01.三角形的定义与表示】 由三条不在同一直线上的线段，首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形。用符号 **△** 表示，如顶点为 A、B、C 的三角形记为△ABC，读作 “三角形 ABC”； 三角形的基本组成要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角。 【知识点02.三角形的三边关系(核心考点)】 1.核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，这是判定三条线段能否构成三角形的唯一依据； 2.解题技巧：判断时无需逐一验证，只需验证较短两边之和大于最长边，可简化计算； 3.重要推论：三角形任意两边之差小于第三边，主要用于求未知边长的取值范围； 【知识点03.三角形的内角和及相关推论】 核心定理：任意三角形的内角和为 180°，所有三角形通用，无例外； 重要推论：直角三角形的两个锐角互余，这是内角和定理的高频考应用，可简化角度计算； 解题拓展：结合 “平角 = 180°”“对顶角相等”，可解决三角形外角、组合图形的角度计算问题。 【知识点04.三角形的三条重要相段(重点+难点)】 三角形的高、中线、角平分线均为线段（非直线、射线），每个三角形都有 3 条，且各自的 3 条线段均交于一点. 1.高 从三角形的一个顶点，向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段即为高； 性质：高的长度可表示三角形的高； 2.中线 连接三角形的一个顶点与对边中点的线段即为中线； 性质：3 条中线的交点为重心；一条中线可将三角形分成面积相等的两个小三角形； 3.角平分线 三角形一个内角的平分线，与对边相交后，顶点与交点之间的线段即为角平分线；性质：3 条角平分线的交点为内心；角平分线上的点到这个角的两边距离相等； 【知识点05.三角形的分类】 可按角的大小或边的长短单独分类，也可组合描述（如等腰直角三角形），且等腰三角形包含特殊的等边三角形，不可并列。 1.按角的大小分 锐角三角形：三个内角均为锐角（每个角都小于 90°）； 直角三角形：有一个内角为直角（90°），用 “Rt△” 表示，直角所对的边为斜边，另外两边为直角边； 钝角三角形：有一个内角为钝角（大于 90° 且小于 180°）。 2.按边的长短分. 不等边三角形：三边长度都不相等； 等腰三角形：至少有两条边长度相等，相等的边为腰，另一边为底，两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角； 等边三角形（正三角形）：三边长度都相等，是特殊的等腰三角形，其三个内角均为 60°，同时也是特殊的锐角三角形。 【知识点06.高频易错点与核心注意事项】 1.判定三角形时，忽略 “三条线段不在同一直线”“封闭图形” 的前提条件； 2.混淆高、中线、角平分线的定义，误将其当作直线或射线； 3.画钝角三角形的高时，未延长对边，导致高的位置绘制错误； 4.对三角形分类时，标准混乱（如同时按边和角分且遗漏情况），或错误将等腰三角形与等边三角形并列； 5.运用内角和计算角度时，忽略直角三角形 “两个锐角互余” 的推论，刻意用 180° 逐次相减，增加计算步骤。 【题型1.三角形的识别与核心概念】 【典例】下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在中，已知，那么 （大小比较）． 【跟踪专练2】如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【题型2.三角形的计数问题】 【典例】如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 【跟踪专练1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【题型3.平行线与三角形内角和问题】 【典例】如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【跟踪专练1】一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【跟踪专练2】如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为 . 【题型4.三角形的分类】 【典例】如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【跟踪专练1】已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为 ． 【跟踪专练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【题型5.直角三角形的两个锐角互余】 【典例】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【跟踪专练1】如图，，垂足为E，与相交于，，，则 ． 【跟踪专练2】如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【题型6.三角形三边的构成条件】 【典例】下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，5，8 D．4，5，10 【跟踪专练1】若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 【跟踪专练2】有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【题型7.三角形第三边的取值范围确定】 【典例】一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是 （写出一个即可）． 【跟踪专练1】已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若三角形的三边长分别是15，，，则x的取值范围是 ． 【题型8.等腰三角形的定义】 【典例】若等腰三角形的周长为，底边为，则腰长为（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 【跟踪专练1】等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为 ． 【跟踪专练2】已知、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．39 B．30 C．30或39 D．23或39 【题型9.三角形高线的画法】 【典例】画出边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【跟踪专练2】给出下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【题型10.三角形角平分线的定义】 【典例】三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【跟踪专练1】下列语句中，是定义的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【题型11.三角形重心的概念】 【典例】已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【题型12.三角形三边关系的应用】 【典例】小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个三角形的两边长分别为1和2，第三边长为整数，则这个三角形的周长为 ． 【跟踪专练2】若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型13.与三角形高有关的计算问题】 【典例】如图，在中，，垂足为点． 则的长为 ． 【跟踪专练1】在中，、分别是的高，且，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有 个． 【题型14.利用网格求三角形面积】 【典例】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【跟踪专练2】在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．20 2．三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．的面积为，是边上的高，，，则 ． 4．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 5．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是 ． 解答题 6．如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 7．中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 8．请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 9．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 10．已知平面内三点的坐标如图所示，求三角形的面积． 11．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06认识三角形寒假预习讲义 · 秒懂三角形定义、三边关系，轻松判断能否拼出三角形； · 吃透内角和定理，快速解决角度计算小难题； · 分清高、中线、角平分线，会画会用不混淆； · 掌握三角形分类，按边按角秒归类； · 能结合简单图形，运用知识点解决基础几何问题。 预习必备 知识点梳理 1.三角形的定义与表示 2.三角形的三边关系 3.三角形的内角和及相关推论 4.三角形的三条重要线段 5.三角形的分类 6.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.三角形的识别与核心概念 2.三角形的计数问题 3.平行线与三角形内角和问题 4.三角形的分类 5.直角三角形的两个锐角互余 6.三角形三边的构成条件 7.三角形第三步的取值范围确定 8.等腰三角形的定义 9.三角形高线的画法 10.三角形角平分线的定义 11.三角形重心的概念 12.三角形三边关系的应用 13.与三角形高有关的计算问题 14.利用网格求三角形面积 强化巩固 题型通关 (11题) 【知识点01.三角形的定义与表示】 由三条不在同一直线上的线段，首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形。用符号 **△** 表示，如顶点为 A、B、C 的三角形记为△ABC，读作 “三角形 ABC”； 三角形的基本组成要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角。 【知识点02.三角形的三边关系(核心考点)】 1.核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，这是判定三条线段能否构成三角形的唯一依据； 2.解题技巧：判断时无需逐一验证，只需验证较短两边之和大于最长边，可简化计算； 3.重要推论：三角形任意两边之差小于第三边，主要用于求未知边长的取值范围； 【知识点03.三角形的内角和及相关推论】 核心定理：任意三角形的内角和为 180°，所有三角形通用，无例外； 重要推论：直角三角形的两个锐角互余，这是内角和定理的高频考应用，可简化角度计算； 解题拓展：结合 “平角 = 180°”“对顶角相等”，可解决三角形外角、组合图形的角度计算问题。 【知识点04.三角形的三条重要相段(重点+难点)】 三角形的高、中线、角平分线均为线段（非直线、射线），每个三角形都有 3 条，且各自的 3 条线段均交于一点. 1.高 从三角形的一个顶点，向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段即为高； 性质：高的长度可表示三角形的高； 2.中线 连接三角形的一个顶点与对边中点的线段即为中线； 性质：3 条中线的交点为重心；一条中线可将三角形分成面积相等的两个小三角形； 3.角平分线 三角形一个内角的平分线，与对边相交后，顶点与交点之间的线段即为角平分线；性质：3 条角平分线的交点为内心；角平分线上的点到这个角的两边距离相等； 【知识点05.三角形的分类】 可按角的大小或边的长短单独分类，也可组合描述（如等腰直角三角形），且等腰三角形包含特殊的等边三角形，不可并列。 1.按角的大小分 锐角三角形：三个内角均为锐角（每个角都小于 90°）； 直角三角形：有一个内角为直角（90°），用 “Rt△” 表示，直角所对的边为斜边，另外两边为直角边； 钝角三角形：有一个内角为钝角（大于 90° 且小于 180°）。 2.按边的长短分. 不等边三角形：三边长度都不相等； 等腰三角形：至少有两条边长度相等，相等的边为腰，另一边为底，两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角； 等边三角形（正三角形）：三边长度都相等，是特殊的等腰三角形，其三个内角均为 60°，同时也是特殊的锐角三角形。 【知识点06.高频易错点与核心注意事项】 1.判定三角形时，忽略 “三条线段不在同一直线”“封闭图形” 的前提条件； 2.混淆高、中线、角平分线的定义，误将其当作直线或射线； 3.画钝角三角形的高时，未延长对边，导致高的位置绘制错误； 4.对三角形分类时，标准混乱（如同时按边和角分且遗漏情况），或错误将等腰三角形与等边三角形并列； 5.运用内角和计算角度时，忽略直角三角形 “两个锐角互余” 的推论，刻意用 180° 逐次相减，增加计算步骤。 【题型1.三角形的识别与核心概念】 【典例】下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【跟踪专练1】在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 【题型2.三角形的计数问题】 【典例】如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 【答案】 6 4 【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 其中青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形，在找三角形时，要做到不重不漏． 【跟踪专练1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【题型3.平行线与三角形内角和问题】 【典例】如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 【跟踪专练1】一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 【详解】解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 【跟踪专练2】如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为 . 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 【题型4.三角形的分类】 【典例】如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 【跟踪专练1】已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当为底时，三角形的三边为，，，由于，不能构成三角形； 当为底时，三角形的三边为，，，可以构成三角形，周长为：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【题型5.直角三角形的两个锐角互余】 【典例】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角的关系． 【跟踪专练1】如图，，垂足为E，与相交于，，，则 ． 【答案】/80度 【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据，可得，则，再根据三角形内角和为180度可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，由垂直可得，由平行线的性质得，，进而可得，即得，即可判断①；由平分可得，由已知无法得知，即可判断②；由，可得，进而由，可判断③，综上即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 若平分，则， ∴， ∴， 显然，无法得知，故无法确定是否平分，故②错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； 综上，正确的结论为①③， 故选：． 【题型6.三角形三边的构成条件】 【典例】下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需检查较小两边之和是否大于最大边. 【详解】解：A、∵ ，不大于3， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴ 能构成三角形，符合题意； C、∵ ，不大于， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； 故选：B. 【跟踪专练1】若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 【跟踪专练2】有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系即可求解，解题的关键是正确理解三角形形成的条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：任取三根，共有，，；，，；，，；，，四种情况， ， ∴，，不能构成三角形， ∴能构成三角形的有，，或，，或，，，共三种， 故选：C． 【题型7.三角形第三边的取值范围确定】 【典例】一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是 （写出一个即可）． 【答案】6 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三边关系定理求出第三边的取值范围，然后取满足条件的一个数即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2、5、， 则， 故答案可为：6（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，需牢记任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴，即， 选项A中1不在该范围内，故不可能 故选：A 【跟踪专练2】若三角形的三边长分别是15，，，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练掌握要使三角形的三边能组成三角形，要满足两边之和大于第三边；根据两边之和大于第三边，列出三个不等式进行计算求解即可； 【详解】解：由题意可知：， 由得：， 由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 【题型8.等腰三角形的定义】 【典例】若等腰三角形的周长为，底边为，则腰长为（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵是底边， ∴腰长， 故选：C． 【跟踪专练1】等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 【跟踪专练2】已知、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．39 B．30 C．30或39 D．23或39 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到，则，，再分腰长为7和16两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ①是腰长时，三角形的三边分别为7、7、16， ∵，，不满足三角形三边关系， ∴7、7、16不能组成三角形， ②是底边时，三角形的三边分别为7、16、16， 此时，，满足三角形三边关系，能构成三角形。 ∴周长为。 综上所述，三角形的周长为39． 故选：A． 【题型9.三角形高线的画法】 【典例】画出边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查画三角形的高．根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：画出边上的高为 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 【跟踪专练2】给出下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键． 根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误； B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法错误； C．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．故本小题说法错误； D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确； 故选：D． 【题型10.三角形角平分线的定义】 【典例】三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【答案】线段 【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出． 【详解】解：三角形的角平分线是线段． 故答案为：线段． 【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 【跟踪专练1】下列语句中，是定义的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了定义的概念：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，不符合题意； 、语句为两点间的距离的定义，符合题意； C、语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，不符合题意； D、语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 【题型11.三角形重心的概念】 【典例】已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的交点的概念．根据三角形的中线交点的含义进行判断即可． 【详解】解：如图，点、分别是、的中点， 、是的中线， 点是三条中线的交点． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据重心是三角形中线的交点，得到，解得即可． 本题考查了重心的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据重心是三角形中线的交点，得到， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 【题型12.三角形三边关系的应用】 【典例】小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。已知两边为和，第三边c需满足，解得，检查选项，只有C满足条件，即可作答． 【详解】解：设第三边为， ∵两根、的木棒， ∴， 解得， 四个选项，唯有在这个范围内， 故选：C． 【跟踪专练1】一个三角形的两边长分别为1和2，第三边长为整数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是根据三角形三边关系确定第三边的取值范围． 先设第三边为，利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为整数确定的值，最后计算三角形周长． 【详解】解：设第三边的长为． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．可得， 即． ∵x为整数， ∴x的值为2． 那么这个三角形的周长为． 故答案为：5． 【跟踪专练2】若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 【题型13.与三角形高有关的计算问题】 【典例】如图，在中，，垂足为点． 则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】在中，、分别是的高，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大，利用三角形中的不同的底与其上高的乘积都等于三角形的面积是解答的关键． 根据的面积等于底乘高除以2，分别以为底，为高和以为底，为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出即可． 【详解】解：∵在中，、分别是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有 个． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形面积的计算，熟练掌握三角形三边关系，是解题的关键．设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，，根据三角形三边关系得出，整理得出，根据第三条高的长是整数，得出答案即可． 【详解】解：设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，， 根据三角形三边关系可知：， 即， 即， ∴， ∴， ∴， ∵第三条高的长是整数， ∴这样的整数有个． 故答案为：20． 【题型14.利用网格求三角形面积】 【典例】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为： 【跟踪专练2】在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 1．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．20 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分腰为3、7两种情况，先判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：等腰三角形两边为3和7． 若腰为3：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 若腰为7：，能构成三角形，周长为． 故选B． 2．三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为， 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 在四个选项的数值中，只有数值3符合， 故选：B． 3．的面积为，是边上的高，，，则 ． 【答案】5或7 【分析】本题考查三角形的面积公式及应用，解题的关键是正确画出图形，根据题意分两种情况画出图形，运用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时， 的面积为，是边上的高，， ， ， ； 如图，当是钝角三角形时， ， ． 故答案为：5或7． 4．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， 当时，为等腰三角形，可以构成三角形； 若时，为等腰三角形，不可以组成三角形， 故选：A． 5．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了重心，理解重心是三角形三边中线的交点是解题的问题． 解答题 6．如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 【答案】(1)AC，BC (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义． （1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可； （2）根据三角形高的定义即可完成作图； （3）根据即可求出的值． 【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为． 故答案为：，． （2）解：如图所示． （3）解：∵， ∴． 7．中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再满足周长为偶数即可． 【详解】解：中，，， ，即，且为整数， ∴或或， 的周长为偶数， . 8．请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 【答案】、、、、、、、 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此在图中找出所有的三角形即可． 【详解】解：图中的三角形有：、、、、、、、． 9．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 10．已知平面内三点的坐标如图所示，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查运用割补法求三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得解． 【详解】解：如下图画一个各边都与坐标轴平行或垂直的长方形，使得三个顶点都在长方形的边上， 则：． 答：三角形的面积为． 11．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $