精品解析：四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季八年级（上）期末教学质量监测试卷 （八年级数学） 一．选择题（共12小题，36分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（  ） A. B. C. D. 3. 一个三角形的一个内角是，其余两个内角度数的比是．这个三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不确定 4. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列从左到右的运算是因式分解的是（　　） A. 2x2﹣2x﹣1=2x（x﹣1）﹣1 B. 4a2+4a+1=（2a+1）2 C. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D. x2+y2=（x+y）2﹣2xy 6. 如图所示，，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 8. 已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 9. 小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（ ） A. B. C. D. 10. 纳米是表示微小距离的单位，纳米毫米，而毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知，1纳米是多么的小，碳纳米管是一种微纳米材料，重量轻，主要是由六边形排列的碳原子构成数层到数十层的同轴圆管，层与层之间保持固定的距离，约为纳米．将数据纳米用科学记数法可以表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 11. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 12. 小鹿两次购买相同药物的费用均为元，第二次购买时每盒降价元，他多买了盒．设第一次购买时该药品的单价为（元／盒），则可列方程为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，18分 ） 13. 一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是________． 14. 如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为______． 15. 已知点和点关于y轴对称，那么______． 16. 若 ，则 _______． 17. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是______． 18. 使分式有意义，则x的取值范围是_______． 三．解答题（共6小题，46分 ） 19. （1）计算：； （2）因式分解：． 20. 解下列分式方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中画出； （3）y轴上存在一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为______． 23. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 24. 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级（上）期末教学质量监测试卷 （八年级数学） 一．选择题（共12小题，36分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 下列计算中，正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 一个三角形的一个内角是，其余两个内角度数的比是．这个三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，根据已知角度和比例求出其余两个角的度数，再判断三角形类型． 【详解】解：因为三角形内角和为，已知一个角为， 所以其余两个角之和为． 因为其余两个角的度数比为， 所以另外两个角的度数分别为，， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 4. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，即可求出，接下来求出，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 5. 下列从左到右的运算是因式分解的是（　　） A. 2x2﹣2x﹣1=2x（x﹣1）﹣1 B. 4a2+4a+1=（2a+1）2 C. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D. x2+y2=（x+y）2﹣2xy 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正确； C、是整式的乘法，故本选项错误； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 6. 如图所示，，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ，，，故①④错误；故②正确； ∴， ∴，故③正确； ∴正确的个数是2个． 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键． 7. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 8. 已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和性质，利用等腰三角形底角相等的性质和角所对的直角边等于斜边一半的性质，推导与的关系，以及与的关系，从而求出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴ 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 9. 小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，用含a、b的式子分别表示出两幅图中的阴影部分面积即可得到答案． 【详解】解：左边那幅图中的阴影部分面积为， 右边那幅图中的阴影部分面积为， ∵两幅图中的阴影部分面积相等， ∴从左到右的变化可用来验证， 故选：C． 10. 纳米是表示微小距离的单位，纳米毫米，而毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知，1纳米是多么的小，碳纳米管是一种微纳米材料，重量轻，主要是由六边形排列的碳原子构成数层到数十层的同轴圆管，层与层之间保持固定的距离，约为纳米．将数据纳米用科学记数法可以表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，为整数，确定与的值是解题的关键．根据小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，，为第一位有效数字前面的个数，即可求解． 【详解】解：纳米毫米， 故选：B． 11. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．由此即可求解． 【详解】解：分式，的分母中，最简公分母为， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的最简公分母的计算方法，掌握最简公分母的概念及计算方法是解题的关键． 12. 小鹿两次购买相同药物的费用均为元，第二次购买时每盒降价元，他多买了盒．设第一次购买时该药品的单价为（元／盒），则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设第一次购买时该药品的单价为每盒元，则第二次购买时该药品的单价为每盒元，由题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为每盒元，则第二次购买时该药品的单价为每盒元， 由题意得，， 故选：． 二．填空题（共6小题，18分 ） 13. 一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键； 分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可； 【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半， 设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且． 是底边上的高， D为中点，即， ， ， ， ， 顶角； ， 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半 设等腰三角形中，，是腰上的高，， 在中， ， ， 即此时顶角为； 当等腰三角形是钝角三角形时， 设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，， 在中， ， 顶角， 综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或． 故答案为：或或． 14. 如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定是角的平分线，利用角平分线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 又∵于点，于点． ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 15. 已知点和点关于y轴对称，那么______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，掌握关于轴对称的点的坐标特点是解答本题的关键．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此可得答案． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， ． 故答案为：10． 16. 若 ，则 _______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘除法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：100． 17. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即或， 解得或； 故答案为：1或 18. 使分式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 三．解答题（共6小题，46分 ） 19. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘法及因式分解，熟悉掌握公式是关键． （1）根据整式乘法公式计算即可； （2）根据公式法因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意：解分式方程后要检验，避免出现增根，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）通过去分母将方程化为整式方程，求解整式方程并检验，即可得答案； （2）先对分母进行因式分解，得出最简公分母为，去分母化为整式方程，求解整式方程并检验，即可得答案． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 检验：时，，原分式方程无意义， ∴原分式方程无解． 【小问2详解】 解： 原方程可化为， 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：是原分式方程的解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中画出； （3）y轴上存在一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图所示 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）作出点A关于y轴的对称点， （2）再首尾顺次连接即可，即可得出答案； （3）根据轴对称的性质可确定P的位置． 【小问1详解】 作出点A关于y轴的对称点，； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 点即为所求： 设的解析式为：， 把和代入解析式可得： ， 解得：， 即， 把代入解析式， 的坐标为， 故答案为：． 23. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 24. 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：． 【答案】（1） 解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2） 证明： ， ， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $