精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷（第Ⅱ卷）

2025~2026学年度第一学期高一年级期末练习 数学 说明：数学第卷共三道大题，8道小题，共3页，满分50分， 总计考试时间120分钟：请在密封线内填写个人信息． 第II卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A. -1或 B. 1或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 2. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出. 【详解】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率， 则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 3. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由求出集合，分，和三种情况求出集合，结合，即可得出答案. 【详解】由，得，即，解得或， 所以或， 当时，或， 由，得，解得； 当时，或， 由，得； 当时，，满足， 综上所述实数取值范围是或， 故选：A. 4. 已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论： ① ② ③的最小值为3 ④的最大值为18 其中正确结论个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，设的中点为，由的重心为，得到，从而得到，从而得解；对于②，利用向量的加法求出，由得到，从而得到；对于③，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小，从而得到的最小值，从而得解；对于④，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大，求出的最大值，从而得解. 【详解】对于①，设的中点为， 的重心为， ，， ， ， ，故①正确； 对于②， ， ， ，， ，，故②错误； 对于③，， 点在以为圆心，半径的圆上， 当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小， 即， 的最小值为，故③正确； 对于④，， 点在以为圆心，半径的圆上， 当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大， 且最大为， 的最大值为，故④错误. 故选：B. 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 5. 早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下： 人大附小 人民英雄 人大附中集团校 人大附中 人才济济 人大代表 人民大学 人大附幼儿园 地灵人杰 学人师 助人为乐 人大附中东门 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为___________； 输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求解 【详解】文本库中包含“人”的所有短语为： 人大附小、人民英雄、人大附中集团校、人大附中、人才济济、人大代表、人民大学、人大附幼儿园、地灵人杰、学为人师、助人为乐、人大附中东门 统计“人”之后的第一个字： 大（出现于：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门，共6次） 民（出现于：人民英雄、人民大学，共2次） 才（出现于：人才济济，共1次） 杰（出现于：地灵人杰，共1次） 师（出现于：学为人师，共1次） 为（出现于：助人为乐，共1次） 总样本数 输出“大”的概率 ； 生成“人大附中”需要依次满足： （1）. 输入“人”→“大”：概率 （2）. 输入“人大”→“附”：文本库中以“人大”开头的短语为：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共6条，其中“人大”后接“附”的有：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共5条，概率 = ， （3）. 输入“人大附”→“中”：文本库中以“人大附”开头的短语为：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共5条，其中“人大附”后接“中”的有：人大附中集团校、人大附中、人大附中东门 → 共3条，概率 =， 三步独立事件，总概率 ； 故答案为： 6. 利用你掌握的研究函数的思路与方法，研究函数，并直接写出下列结论： 定义域：___________： 值域：___________； 奇偶性：___________： 单调性：___________； 零点个数：___________． 【答案】 ①. R ②. ③. 偶函数 ④. 在上单调递增，在上单调递减 ⑤. 2 【解析】 【分析】利用对数型复合函数有意义求出定义域；利用奇偶性定义确定奇偶性；借助对勾函数、对数函数、二次函数单调性求出单调区间；求出函数的最小值确定值域；利用零点存在性定理，结合偶函数性质可得零点个数. 【详解】函数的定义域为R； ， ，是偶函数； 当时，令，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； ，当时，，当时，， 因此函数的值域为； ，，又在上单调递增， 则存在，使得，函数在上有唯一零点， 由偶函数的性质知，函数在上有唯一零点，因此函数有2个零点. 故答案为：R；；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；2 7. 已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________． ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和三角形外接圆的性质，结合均值不等式和正弦定理等的相关知识，对每个说法逐一分析. 【详解】因为为的外接圆圆心， 所以（为外接圆半径）， 又，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 展开并整理得：， 对于①，当时，，此时或， 因此存在，故①错误； 对于②④，因为 所以（当且仅当时取得等号）， 所以， 解得，或， 又为锐角，所以O与B在的同侧，所以， 所以存在，使得，故②正确，④正确； 对于③，当时， 代入中可得：， 此时是等腰直角三角形，故③正确； 故答案为：②③④ 三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 8. 设集合，若存在函数，满足： ①值域为： ②时恒有，则称集合对是函数相关的．若函数是指数函数，则称指数相关，若是对数函数，则称对数相关． （1），分别判断是否指数相关和对数相关： （2）若既指数相关又对数相关，求的值； （3）若既是指数相关又是对数相关，直接写出的最大值以及对应的一组指数函数和对数函数． 【答案】（1）是指数相关，不是对数相关 （2） （3）的最大值为，，指数函数为，对数函数为 【解析】 【分析】（1）根据指数相关和对数相关概念，设，验证①②即可； （2）设指数函数为，由指数相关的概念令且或且，解出的值，代入验证对数相关即可； （3）将集合中元素由小到大排列设为，设指数函数为，对数函数为，根据函数的单调性可得的对应关系，按单调性分类讨论即可得解. 【小问1详解】 设指数函数为， 当时，，，，值域为， 且满足时恒有， 因此指数相关； 设对数函数的定义域为， 因为，不满足值域为的要求， 因此不是对数相关. 【小问2详解】 既指数相关又对数相关，易知， 设指数函数为，因为， 若且，则且， 所以，且，所以， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为时，，，时， 所以有唯一解， 此时不满足集合元素互异，因此此情况无解； 若且，易知，则且，解得， 由两边取对数得， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因时，，时，， 由对数函数和一次函数的图象可知时，， 所以至多有两个解，所以由解得（舍去）或， 此时，，，值域为满足指数相关； 设对数函数为， 则或，即或， 同理解得，， 此时，，值域为满足指数相关； 综上当时，既指数相关又对数相关. 【小问3详解】 因为既是指数相关又是对数相关， 由（2）可知的值可以为， 若，将集合中元素由小到大排列设为， 设指数函数为， 由指数函数的性质可知严格单调， 当时，单调递增，此时，，…，， 由（2）可知函数至多有两个解，所以，矛盾， 当时，单调递减，此时，， 所以，即，所以， 由对数函数和指数函数的图象和性质可知与只有一个交点， 所以不满足集合元素的互异性； 设对数函数为， 同理当时，单调递增，此时，，…，， 因为函数，即至多有两个解，所以，矛盾， 当时，单调递减，此时，， 所以，即，所以， 所以不满足集合元素的互异性； 综上的最大值为，，指数函数为，对数函数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高一年级期末练习 数学 说明：数学第卷共三道大题，8道小题，共3页，满分50分， 总计考试时间120分钟：请在密封线内填写个人信息． 第II卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A. -1或 B. 1或 C. 1 D. 2. 将一个半径适当小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论： ① ② ③的最小值为3 ④的最大值为18 其中正确结论个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 5. 早期生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下： 人大附小 人民英雄 人大附中集团校 人大附中 人才济济 人大代表 人民大学 人大附幼儿园 地灵人杰 学为人师 助人为乐 人大附中东门 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为___________； 输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”概率为___________． 6. 利用你掌握的研究函数的思路与方法，研究函数，并直接写出下列结论： 定义域：___________： 值域：___________； 奇偶性：___________： 单调性：___________； 零点个数：___________． 7. 已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________． ①对于任意； ②存，使得； ③时，等腰直角三角形； ④的最大值是． 三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 8. 设集合，若存在函数，满足： ①值域为： ②时恒有，则称集合对是函数相关的．若函数是指数函数，则称指数相关，若是对数函数，则称对数相关． （1），分别判断是否指数相关和对数相关： （2）若既指数相关又对数相关，求的值； （3）若既是指数相关又是对数相关，直接写出的最大值以及对应的一组指数函数和对数函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $