湖南新宁县回龙镇军田中学等校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学试卷 考试总分：150 分 考试时间： 100 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、单选题（本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）   1.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码和），它们两者之间可以相互换算，如将，换算为十进制数应为： ；.   按此方式，将二进制数换算成十进制数和将十进制数转化为二进制数的结果分别为(        ) A.，  B.， C.， D.， 2.已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最长边的取值范围是（        ） A. B. C. D. 3.设，则的整数部分等于（ ） A. B. C. D. 4.满足一元二次不等式的范围是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心Ⅰ重合，若，则的大小是（        ） A. B. C. D. 6.一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（ ）种栽种方案． A. B. C. D.   7.如图，中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为        A. B. C. D. 8.点是半径为的半圆弧的一个三等分点，分别以弦、为直径向外侧作个半圆，点、也分别是半圆弧的三等分点，再分别以弦、、、为直径向外侧作个半圆．则图中阴影部分（个新月牙形）的面积和是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）   9.若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（        ） A. B. C. D. 10.如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论正确的有（    ） A. B. C. D. 11.关于的一元二次方程，下列说法正确的有（        ） A.此方程总有两个不相等实数根 B.此方程必有一根是 C.当为整数时，方程两根均是整数 D.当时， 12.如图，为圆心，为圆周上一定点．半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，则下列说法正确的是（      ） A.若，均按顺时针方向旋转，则当秒时， B.若，均按逆时针方向旋转，则当秒时，，第一次重合 C.若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，必然重合 D.若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大 三、填空题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）   13.…________. 14.已知互不相等的实数，，满足，则＝________． 15.已知，则的取值范围是________． 16.如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是____________． 四、解答题（本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）   17.已知，，，求的值．   18.（牛吃草问题）有三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是公顷、公顷和公顷．第一块牧场饲养头牛，可以维持周：第二块牧场饲养头牛，可以维持周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持周?   19.某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的照牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？   20.我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程可以通过因式分解把它转化为,通过解方程和，可得方程的解. （1）方程的解是，________，________. （2）用“转化”的思想求方程的解. （3）试直接写出  的解________.   21.如图，点是边长为的正方形边上一动点，连接，将射线绕点顺时针旋转交边于点，过点作，垂足为点，连接交于，在点从点运动到点运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ ； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值．   22.在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数，的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1）解：由绝对值的几何意义知： 在数轴上表示的点到的距离等于 ， （2）解：，其绝对值的几何意义为：在数轴上表示的点到的距离等于．， 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数的点到表示数和两点的距离的和，要使和最小，则表示数的这点必在和之间（包括这两个端点）取值． 的最小值是；由此可求解方程，把数轴上表示的点记为点，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值，所以要使成立，则点必在的左边或的右边，且到表示数或的点的距离均为个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： 填空：的最小值为     ；已知有理数满足：，有理数使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的，使的值最小，并求出此时的最小值及的取值范围．   23.阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为）： （1）图中的面积为______； （2）图是一个的正方形网格． ①利用构图法在图中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； （3）如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； （4）请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为，正方形面积为，正方形面积为）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为、．计算结果为斜边长度．同理，计算可以看成直角边长度别为、，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： （5）已知，计算的最小值为______； （6）代数式的最小值为______． 参考答案与试题解析 2025-2026学年初中数学 (上) 试卷(2026年1月22日) 单选题（本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 1. 【答案】 B 【考点】 数的十进制 有理数的乘方 【解析】 根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解. 【解答】 解：  ，  ， 则将十进制数转化为二进制数为. 故选. 2. 【答案】 C 【考点】 拆项、添项、配方、待定系数法 三角形三边关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 C 3. 【答案】 A 【考点】 部分分式 【解析】 由于，利用这个都是把已知等式变为，由此即可求解． 【解答】 解：当，，， 因为， 所以． 于是有， 故的整数部分等于． 故选． 4. 【答案】 B 【考点】 一元二次不等式 【解析】 根据一元二次不等式的范围是，可得方程＝的解为，，利用韦达定理即可解答本题． 【解答】 ∵ 一元二次不等式的范围是， ∴ 方程＝的解为，， ∴ ， ∴ ＝，＝． ∴ ＝． 5. 【答案】 D 【考点】 三角形的五心 三角形内角和定理 翻折变换（折叠问题） 【解析】 此题暂无解析 【解答】 D 6. 【答案】 D 【考点】 排列与组合问题 【解析】 根据，所种的种数相同和不同来分类，然后再考虑，有多少种种法，最后求得结果． 【解答】 解：若，种同一种植物，则，有种栽种方法，，都有种栽种法，共有种栽种方案； 若，种不同的植物，则有种栽种法，，都有种栽种法，一共有种栽种法． 所以共有种． 故选：． 7. 【答案】 B 【考点】 相似三角形的性质与判定 四点共圆 【解析】 过点作于，推出，根据相似三角形的性质得到，当时，有最大值，根据勾股定理得到，由垂径定理得到，求得，即可得到结论． 【解答】 解：如图，过点作于， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，，，四点共圆， 设的中点为，连接， 当时，有最大值， 如图， ∵ ，， ∴ ，重合， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ 的最大值为． 故选. 8. 【答案】 B 【考点】 面积及等积变换 【解析】 根据所给的图形结合三角函数的知识可得出、、、的长度，然后根据四边形为直角梯形，外层个半圆无重叠得出＝，继而可得出答案． 【解答】 易知、、三点共线， 点是半径为的半圆弧的一个三等分点， ∴ 对的圆心角为， ∴ ＝， ∵ 是直径， ∴ ＝， ∴ ＝，＝， ＝，＝，， 且四边形为直角梯形，外层个半圆无重叠． 从而，＝， ＝， ． 多选题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 9. 【答案】 A,C 【考点】 一元二次方程的解 勾股定理 三角形三边关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 AC 10. 【答案】 A,D 【考点】 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 等腰三角形的判定与性质 勾股定理的应用 根据矩形的性质求线段长 【解析】 先利用矩形性质和角平分线得出等腰直角三角形，通过全等三角形证明得到边与角的关系，再结合角度计算和全等三角形判定，对各结论逐一分析推导． 【解答】 解：， ， 在矩形中，平分，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故项正确； ，（对顶角相等）， ， ， ，， ， ， ，故正确； ，， ， ， ，故错误； ，， ， 在和中，      ， ，， ， ， ， ，故错误； 故选∶． 11. 【答案】 B,C,D 【考点】 根的判别式 一元二次方程的解 【解析】 此题暂无解析 【解答】 BCD 12. 【答案】 A,B,C,D 【考点】 旋转的性质 【解析】 根据以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，得出结合每个选项的旋转方向和的值进行列式计算，进行逐项分析，即可作答． 【解答】 解：半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒 、当秒时，则 则，故该选项是正确的； 、，均按逆时针方向旋转， 则当，第一次重合时， 则秒，故该选项是正确的； 、按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转， ， ，重合， （为正整数）， 则当秒（为正整数）时，，必然重合，故该选项是正确的， 、按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，，两点之间的距离最大 （为正整数）， ， ， （为正整数）， 则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大，故该选项是正确的； 故此题答案为 填空题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13. 【答案】 【考点】 因式分解 【解析】 此题暂无解析 【解答】 14. 【答案】 【考点】 对称式和轮换对称式 【解析】 首先设，可得，代入，整理可得＝ ①，又由，可得＝②，将②代入①，即可得＝，又由实数，，互不相等，即可求得答案． 【解答】 设， 则， 代入，得：， 整理得：＝ ① 又由，可得＝②， 把②代入①式得＝， 即＝， 又∵ ， ∴ ＝， ∴ ＝ 验证可知：，时，＝； ，时，＝ ∴ ＝ 15. 【答案】 大于等于 【考点】 拆项、添项、配方、待定系数法 【解析】 根据代入法将代入，即可求出，的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案． 【解答】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的取值范围是：大于等于． 故答案为：大于等于． 16. 【答案】 【考点】 线段问题(旋转综合题) 四点共圆 圆的性质 【解析】 数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值． 【解答】 解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作 过点作的切线交于点 在和中 点共圆，点共圆， 点在上运动 ，的半径为 又， 当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， 四边形是矩形，   是圆心， 设 解得：（舍去） 故答案为：． 解答题（本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 17. 【答案】 解： ． 【考点】 对称式和轮换对称式 【解析】 把转化为求解即可． 【解答】 解： ． 18. 【答案】 头 【考点】 有理数混合运算的应用 【解析】 先把条件统一转化为以公顷为单位，通过计算不同牧场单位面积的总草量、新长草量和原有草量，进而求出第三块牧场维持周所需牛的数量．本题主要考查牛吃草问题中单位面积草量的转化与计算，熟练掌握将不同面积牧场条件统一为单位面积（公顷），并通过计算单位面积原有草量、每周新长草量来求解牛数是解题的关键． 【解答】 解：设头牛周吃份草． 第一块牧场公顷总草量：（份） 第二块牧场公顷总草量：（份） 公顷每周新长草量：（份） 公顷原有草量：（份） 公顷原有草量：（份） 计算公顷周新长草量： 份， 牛数 （头） 19. 【答案】 解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： 只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 【考点】 加法原理与乘法原理 【解析】 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【解答】 解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： 只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 20. 【答案】 , ∵ ， ∴ ，即, ∴ , 则或， 解得（舍去，不合题意），. 【考点】 二元二次方程组 解一元二次方程-配方法 一元二次方程的解 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解:∵ , ∴ , ∴ , 则或或， 解得,,. 故答案为：；. （2）∵ ， ∴ ，即, ∴ , 则或， 解得（舍去，不合题意），. （3） 由②得， 代入①得：, 化简得：, 解得：或， 故或. 故答案为： 21. 【答案】 ①是定值，；② 的最大值为 【考点】 四边形其他综合问题 相似三角形的性质与判定 四点共圆 二次函数综合——其他问题 【解析】 （1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接，先证明，再由相似三角形的性质可得结论；②过点作，先证明点三点共线，可得，再由等腰三角形性质可得，再证是等腰直角三角形，设，则，可列出方程，再求解即可； （3）过点作，延长交于点，设，先证明，可得，即可求得，，由，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【解答】 （1）解：四边形是正方形， ， ，绕点顺时针旋转交边于点， ，， ， 四点共圆， ， 故答案为：； （2）①的比值是定值， 如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点作， ， ， ， ， 由得，且， 点三点共线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 解得：， ； （3）如图，过点作，延长交于点， 设， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，有最大值，为． 22. 【答案】 ； 或； 当，最小值为；当时，最小值为 【考点】 数轴的三要素及其画法 绝对值的意义 【解析】 （1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或，当时，有最小值； （3）当是奇数时，中间的点为，所以当时，；当是偶数时，中间的两个点相同为，所以当时，． 【解答】 （1）解：由阅读材料可得：：的最小值为，故答案为； 的最小值为，， 或， 表示数轴上表示到，，之间的距离和最小， 当时，有最小值， 或； （2）表示数轴上点到，，，…，之间的距离和最小，当是奇数时，中间的点为， 当时，， 最小值为； 当是偶数时，中间的两个点相同为， 当时，， 最小值为． 23. 【答案】 ①见解析；② ①相等；② 【考点】 利用二次根式的性质化简 勾股定理与网格问题 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 三角形三边关系 【解析】 （1）利用差补法，将的面积转化为矩形和直角三角形的面积差； （2）①根据勾股定理的几何意义构造图形即可；②根据长方形面积公式以及直角三角形面积公式计算即可； （3）①过点作于，过点作于，根据三角形全等得出，再根据正方形的性质得出，最后根据三角形面积公式证明即可；②过作于，根据勾股定理求出的高，再根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （4）根据的结论可以得出四个三角形面积相等，再根据勾股定理求出的高，进而根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （5）根据勾股定理的几何意义，构造三角形，利用三级形三边关系求得最小值即可； （6）类比的结论直接求解最小值． 【解答】 （1）解： 故答案为：； （2）解：① ，，， ，， ， 如图所示，为所求： ② 故答案为：； （3）解：①相等，理由如下： 过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，， 两式相减可得：， ， 六边形的面积为 故答案为：； （4）解：由可知，， 过点作于，如图： 正方形面积为， ， ， ，， ，， ； 故答案为：； （5）解：构图如下： 其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：； （6）解：由可得： 故答案为： 24 1 学科网（北京）股份有限公司 $