第09讲 勾股定理的逆定理（1个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第09讲 勾股定理的逆定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质以及勾股定理的逆定理，解题关键是根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ，，， ，， ，， ，， ，即 三角形的形状是直角三角形， 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 例1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，逐一验证即可． 【详解】解：A、因为，所以不能组成三角形，故选项A不符合题意； B、在2，3，4中，最长边为4，因为，所以不能作为直角三角形三边，故选项B不符合题意； C、在3，4，5中，最长边为5，因为，所以能作为直角三角形三边，故选项C符合题意； D、在5，5，6中，最长边为6，因为，所以不能作为直角三角形三边，故选项D不符合题意． 故选：C． 例2．在中，的对边分别记为a，b，c，由下列哪个条件能判定不是直角三角形（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，通过三角形内角和定理与勾股定理判断各选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：选项A：∵, 且，∴，，能判定； 选项B：设, 则， ∵，∴不满足勾股定理, 能判定其不是直角三角形； 选项C：∵，∴，满足勾股定理， 能判定； 选项D：设，则，能判定． 故选：B． 变式1．在中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 变式2．如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则 ° 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，，，则，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 变式3．如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 【答案】24 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出是直角三角形．根据三角形面积求出，推出、的平方和等于的平方，求出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】的面积为， 【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 例1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 例2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 变式1．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【答案】见解析 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置. 【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②. 【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 变式2．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 变式3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 【题型3 在网格中判断直角三角形】 例1．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：由图可知，， ， ， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 例2．如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得，则，故，又因为，所以运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：观察网格，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 变式1．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 变式2．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 变式3．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 例1．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 例2．下列结论中，正确的有（   ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则是直角三角形； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；根据勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，故本选项不符合题意； ②的三边长分别为，若，则，故本选项不符合题意； ③在中，由，可得，则是直角三角形，故本选项符合题意， 综上所述，正确的有1个， 故选：． 变式1．如图，在四边形中，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 变式2．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 变式3．如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)需花费2700元 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键． （1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得； （2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出． 【详解】（1）解：． 理由：在中， ，，， ， 即， 是直角三角形， ． （2）由（1）得， 为直角三角形， ，， ， ， （元） 答：需花费2700元． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 例1．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 例2．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 【答案】(1)的长为； (2)这块菜地的面积是． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）连接，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）及题意易得，则有是直角三角形，，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：如图，连接； 在中，，，， 所以， 因此，的长为． （2）解：因为，， 所以，. 所以，是直角三角形，， ； 因此，这块菜地的面积是． 变式1．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【答案】是从村庄到河边最近的路，见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知，进而得到，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 变式2．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）证明：米，米，米， 则 ， ； （2）解：由（1）得， ， （米）， （米）． 变式3．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 例1．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 例2．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 变式1．法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的关系式，显然，满足这个关系式的有无数组.当都为正整数时，我们把这样的三个数叫做勾股数，如，就是一组勾股数． （1）请你再写出两组勾股数： ， ； （2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，那么，为勾股数，请你加以证明． 【答案】（1）；(答案不唯一)；（2）见解析． 【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案； （2）根据勾股定理的逆定理，结合完全平方公式证明即可得证． 【详解】解：（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，得到两组勾股数为（ 6，8，10），（ 9，12，15）． 故答案为：6，8，10；9，12，15． （2）证明: 即为勾股数. 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理及勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数． 变式2．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 【答案】（1）5（2）3.5a2（3）4mn． 【分析】（1）依据图像的特点用割补法进行计算即可； （2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，3a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，3a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）是以2m，n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，3n为直角边的直角三角形的斜边长；是以4m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积． 【详解】（1）△ABC的面积＝3×4−×2×2−×1×4−×2×3＝5， 故答案为：5； （2）如图：由图可得，S△ABC＝3a×3a−×a×2a−×2a×3a−×a×3a＝3.5a2；     （3）如图，AB=，AC=，BC= ∴S△ABC＝4m×3n−×2m×n−×2m×3n−×4m×2n＝4mn．    【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键． 变式3．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 1．满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由勾股定理逆定理，是直角三角形，． B．设，，，则，， ，是直角三角形，． C．，又， ，，是直角三角形． D．设，，，则，， ，不是直角三角形． 不是直角三角形的是D． 故选：D． 2．已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 通过方程的非负性求出的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是以a为斜边的直角三角形． 故选：A． 3．在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，，∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故不是直角三角形，符合题意； D、∵，且， ∴，即， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4．如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，先根据勾股定理分别求出，，的长，根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴边上的高为， 故选：B． 5．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 6．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形． 【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形； ∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形． ∴①②③④都是直角三角形，共4个， 故选：D． 7．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 8．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 9．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 11．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵是两内角平分线的交点， ∴平分， ∴， ∵，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴到的距离是． 故答案为： 12．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 13．已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 14．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 15．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 16．如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形； (2) 【分析】本题考查用勾股定理判定三角形是直角三角形，根据勾股定理列方程求线段长度； （1）求得即可解答； （2）设，则，证，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 17．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 19．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港C会受台风影响； (2)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【答案】(1)海港C会受影响 (2)货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货，理由见详解 【分析】2本题考查了勾股定理的应用及逆定理． （1）过点C作，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得，再利用三角形面积公式求得的值，即可判断海港C的影响情况； （2）设此时台风中心在上的位置为E，得出，利用勾股定理求得和的值，进而求得的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴海港C会受影响． （2）解：货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货， 理由如下：如图，设此时台风中心在上的位置为E， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵点D在上，，， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． 20．四边形是研究几何性质的重要载体．结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，完成以下探究：（注：图2、图3为示意图，若计算结果存在多种情形，请保留结果．） (1)在四边形中，已知． ①如图1，以各边向外作正方形，面积分别为，，，；若，那么___________； ②如图2，若，求的值． (2)如图3，在四边形中，若，，，且，求的度数． 【答案】(1)①35；②24或7 (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）①根据勾股定理可得，再由，即可求解；②连接，在和中，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理求出，然后分两种情况：当时，当时，结合勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：①在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：35 ②如图，连接， 在中，，， ， 在中，，， ∴， 解得：或7； （2）解：在中，，，， ∴， 当时，如图，过点C作于点E， 在中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点A作于点F， 在中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 勾股定理的逆定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 例1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，5，6 例2．在中，的对边分别记为a，b，c，由下列哪个条件能判定不是直角三角形（   ） A． B． C． D． 变式1．在中，，则的度数为 ． 变式2．如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则 ° 变式3．如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 例1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 例2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 变式2．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 变式3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【题型3 在网格中判断直角三角形】 例1．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 例2．如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 变式2．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 变式3．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 例1．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 例2．下列结论中，正确的有（   ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则是直角三角形； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式1．如图，在四边形中，，若，则的度数为 ． 变式2．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 变式3．如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 例1．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 例2．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 变式1．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 变式2．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 变式3．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 例1．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 例2．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 变式1．法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的关系式，显然，满足这个关系式的有无数组.当都为正整数时，我们把这样的三个数叫做勾股数，如，就是一组勾股数． （1）请你再写出两组勾股数： ， ； （2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，那么，为勾股数，请你加以证明． 变式2．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 变式3．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 1．满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 2．已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 3．在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 4．如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 6．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 9．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 11．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 12．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 13．已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为 ． 14．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    15．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 16．如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 17．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 19．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港C会受台风影响； (2)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 20．四边形是研究几何性质的重要载体．结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，完成以下探究：（注：图2、图3为示意图，若计算结果存在多种情形，请保留结果．） (1)在四边形中，已知． ①如图1，以各边向外作正方形，面积分别为，，，；若，那么___________； ②如图2，若，求的值． (2)如图3，在四边形中，若，，，且，求的度数． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $