第08讲 勾股定理（4个知识点+15个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第08讲 勾股定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 2．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 知识点2 ：勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽·月考）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 知识点3 ：勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 知识点4 ：勾股定理的实际应用 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 2．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 5．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 6．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    9．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 11．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【题型1 勾股定理的证明】 例1．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 例1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 变式1．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 变式2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 变式3．图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【题型2 以弦图为背景的计算题】 例1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 例2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 变式1．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边和较长直角边的乘积的值是 ． 变式2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为 ． 变式3．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【题型3 勾股数问题】 例1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 例2．若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 变式1．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是 ．（结果用含的式子表示） 变式2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 ． 变式3．满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【题型4 用勾股定理解三角形】 例1．如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 例2．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 变式1．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为 ． 变式2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 变式3．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． (2)如图3，在中，，，，求边上的高． 【题型5 勾股定理与网格问题】 例1．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．13 变式1．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出 个． 变式2．问题提出：求边长分别为、、的三角形面积． 问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为、、的格点三角形（如图1），是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请直接写出图1中的面积 ； (2)类比迁移：求边长分别为、、的三角形的面积，要求：请利用图2的正方形网格画出相应的，并求出它的面积． (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，若，，，求六边形的面积． 变式3．如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． (1)求的长； (2)求的周长． 【题型6 勾股定理与折叠问题】 例1．如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 例2．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 变式1．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 变式2．如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______； (2)求点D的坐标； (3)求点E关于y轴的对称点的坐标． 变式3．在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【题型7 梯子滑落高度】 例1．一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 例2．如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 变式1．如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． (1)这个梯子的顶端A距地面有多高？ (2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 变式2．如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 变式3．综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【题型8 小鸟飞行距离】 例1．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 例2．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 变式1．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 变式2．如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m） 变式3．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 【题型9 大树折断前的高度】 例1．如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 例2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 变式1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 变式2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 变式3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米．    (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂； (2)求点B到的距离． 【题型10 航海问题】 例1．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 例2．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度． 变式1．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 变式2．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 变式3．如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【题型11 河宽】 例1．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得长为10m，长为8m，求出图中、两点之间的距离． 例2．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 变式1．如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 变式2．如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    变式3．如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 【题型12 台阶上地毯长度】 例1．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 例2．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 变式1．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 变式2．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 变式3．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【题型13 判断汽车是否超速】 例1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 例2．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 变式1．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 变式2．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 变式3．某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【题型14 是否受台风影响】 例1．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 例2．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 变式1．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 变式2．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 变式3．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【题型15 最短路径问题】 例1．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 例2．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 变式1．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 变式2．如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 变式3．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 1．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 2．如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．以的顶点为圆心，任意长为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一这两点间距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点并以为端点画射线，交于．若，那么的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 7．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 8．文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有，已知，当它以底边水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当以腰水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（   ） 图形 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 绝对高度 ？ 绝对宽度 ？ A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2．56和2.88 D．2.88和3.00 9．如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 10．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 11．如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 米． 12．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是 ； （2）当取得最小值时，点M的坐标是 ． 14．有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是 ． 15．学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元． 16．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 17．阅读材料：若，求的值． 解：， ，即， ，解得， ． 解决问题： (1)若，求的值； (2)已知直角三角形的两边长为，．满足，求的周长； (3)已知正整数，，，满足不等式．求的值． 18．如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 19．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 20．海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 21．某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 22．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 23．阅读下列材料： 小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)计算图1中的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，每个小正方形的边长为1，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接． ①判断与面积之间的关系，并说明理由； ②直接写出六边形的面积为________． 24．填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． (2)应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 25．如图，在中，，． (1)如图，点是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，是内部一点，，连接，若，，求点到的距离． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 勾股定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意，数形结合，根据勾股定理得到另一条直角边为，从而得到小正方形的边长，最后由正方形面积公式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12， 由勾股定理可知，另一条直角边为， 小正方形的边长为，则小正方形的面积是， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 知识点2 ：勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽·月考）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. 知识点3 ：勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 知识点4 ：勾股定理的实际应用 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 2．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 5．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 【答案】水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 6．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 【答案】A、C两点之间的距离为． 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深． 【答案】湖水深3.75尺． 【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解． 【详解】设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5， 根据勾股定理得： 解得：x=3.75． 答：湖水深3.75尺． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于结合题意列出方程． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    【答案】612元 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】解：如图，    由题意得，， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要元． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，正确求得地毯的长与宽是解答的关键． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【详解】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 11．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 【题型1 勾股定理的证明】 例1．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 例1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 变式1．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 变式2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 变式3．图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1)图形见解析，直角梯形 (2)验证见解析 (3)能，拼图见解析 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 【题型2 以弦图为背景的计算题】 例1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 例2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 变式1．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边和较长直角边的乘积的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找到图形的面积和，之间的关系是关键． 根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值． 【详解】解：大正方形的面积是，设边长为， ， 每个直角三角形的面积是， 又直角三角形的面积是， ， 故答案为：． 变式2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，化为最简二次根式，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式3．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 【题型3 勾股数问题】 例1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，勾股数的定义，需同时满足正整数和勾股定理两个条件． 根据三角形三边关系判断是否构成三角形，根据勾股数是满足的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足勾股定理， 对于A：，，不是正整数，故不是勾股数； 对于B：不是正整数，故不是勾股数； 对于C：9，12，15均为正整数，且，满足勾股定理，故是勾股数； 对于D：5，7，12均为正整数，但，不能构成三角形，故不是勾股数； 故选：C． 例2．若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 变式1．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是 ．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 变式2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理的应用是做题的关键． 根据勾股定理和正方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理可知， 正方形与的面积和等于正方形的面积，正方形与的面积和等于正方形的面积，并且正方形与的面积和等于最大的正方形的面积， 因此，四个小正方形A、B、C、D的面积之和为最大的正方形的面积． 最大的正方形的边长是， 最大的正方形的面积为， 即图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是． 故答案为：． 变式3．满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 【题型4 用勾股定理解三角形】 例1．如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积， 故选：C． 例2．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 变式1．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线的性质求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，． 是的平分线，，， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 变式2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由直角三角形两锐角互余得出，再根据垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，最后根据求解即可； （2）设，则，直接根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，即． 变式3．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． (2)如图3，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)①5；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）①直接利用勾股定理求解即可；②根据等面积法求解即可； （2）设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②，， ， 解得， 边上的高的长为． （2）解：设，则． 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 【题型5 勾股定理与网格问题】 例1．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理进行求解，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，，，， 线段长度为的是， 故选D． 例2．如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．勾股定理是直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，利用此计算即可． 【详解】解：根据勾股定理． 故选：C． 变式1．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出 个． 【答案】4 【分析】本题考查网格作图、勾股定理、全等三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 由网格知，，根据勾股定理解得的长，再由全等三角形对应边相等的性质，作图即可． 【详解】解：如图： 共4个． 故答案为：4． 变式2．问题提出：求边长分别为、、的三角形面积． 问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为、、的格点三角形（如图1），是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请直接写出图1中的面积 ； (2)类比迁移：求边长分别为、、的三角形的面积，要求：请利用图2的正方形网格画出相应的，并求出它的面积． (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，若，，，求六边形的面积． 【答案】(1) (2)3，画图见解析 (3)31 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积公式、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，计算以三角形为顶点的长方形的面积，再分别计算以三角形的三边为斜边所围成的直角三角形的面积，利用面积差来计算的面积即可； （2）仿照题干，再正方形网格中，画出以是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，画出即可，计算长方形面积和三个直角三角形的面积即可； （3）将六边形分成两个三角形和两个正方形，根据（1）计算三角形面积的方法，计算和的面积，根据，计算正方形和正方形的面积，进而求得六边形的面积即可． 【详解】（1）解：图1中，以为基础构造一个长为3，宽为3的长方形，则长方形的面积为：， 由题意知，以为斜边的直角三角形的面积为：， 同理，以为斜边的直角三角形的面积为：， 以为斜边的直角三角形的面积为：， 因此的面积为 故答案为：； （2）解：在图2的正方形网格中，是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，画出，如下图， 构造一个长为4，宽为2的长方形，则该长方形的面积为， 三个直角三角形的面积分别为： ， ， ， 则的面积为； 答：的面积为3； （3）解：根据（1）、（2）求三角形面积的方法， 同理得： 的面积为：， 的面积为： 由于，， 则正方形的面积为：， 正方形的面积为：， 因此六边形的面积为：． 答：六边形的面积为31． 变式3．如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； （2）由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 【题型6 勾股定理与折叠问题】 例1．如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 例2．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 变式1．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 变式2．如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______； (2)求点D的坐标； (3)求点E关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质． （1）根据矩形的性质即可解决问题； （2）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，进而可得点的坐标； （3）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，可得点的坐标，进而求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标、点的坐标和点的坐标； 故答案为：；；； （2）解：由折叠可知：， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴点的坐标； （3）解：在中，，， 根据勾股定理，得 ， ， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点E关于y轴的对称点的坐标为． 变式3．在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 【题型7 梯子滑落高度】 例1．一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为. （2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处， 则， 则， ∴ 例2．如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 【答案】向外滑了13米 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理在实际生活中的运用，理解题目中云梯的长度不变，正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，运用勾股定理求出的长，再求的长，然后利用勾股定理即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，米， ∴（米）， 在直角中，米， ∴米， ∴向外滑了米． 变式1．如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． (1)这个梯子的顶端A距地面有多高？ (2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有7米 (2)云梯的底部在水平方向应滑动4米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可； （2）根据题意表示出长，再在直角中利用勾股定理计算出长，进而可得长． 【详解】（1）解：由题意得：米，米， 则（米）． 答：这个梯子的顶端距地面有7米； （2）解：由题意得：米，米，则米， （米）， ∵米， ∴（米）， 答：云梯的底部在水平方向应滑动4米． 变式2．如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的底端离墙面有20米； (2)梯子的底端向右滑动了4米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求解即可； （2）首先求出（米），然后根据勾股定理求出（米），进而求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，， ∴（米）， ∴这架云梯的底端离墙面有20米； （2）解：∵梯子的顶端下滑了8米， ∴米， ∴（米）， ∵梯子长度不变 ∴米， ∴（米）， ∴（米）． ∴梯子的底端向右滑动了4米． 变式3．综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用， （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）解：，， ∴， ∴； （3）解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 【题型8 小鸟飞行距离】 例1．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 例2．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米． 【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作，则四边形是矩形，故可得的长度，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画出图形如下： 其中米，米，米， 过点D作，则四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在中，米， 答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键． 变式1．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 变式2．如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m） 【答案】小鸟至少飞行m． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m， 过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形， 连接AB， ∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m， 在Rt△AEB中，AB=(m)， 故小鸟至少飞行m． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找出直角△AEB，并且根据勾股定理正确的计算AB是解题的关键． 变式3．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 【答案】小鸟至少要飞10米． 【分析】作于点E，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作于点E， ∵∠B=∠C=∠DEB=90°， ∴四边形BCDE是长方形， ∴BE=CD=7（米），BC=ED=8（米）， （米）， （米）， 答：小鸟至少要飞10米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是作垂线构建直角三角形． 【题型9 大树折断前的高度】 例1．如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 例2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 变式1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 变式2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． 变式3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米．    (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂； (2)求点B到的距离． 【答案】(1)6米 (2)4.8米 【分析】（1）设旗杆在离底部x米的位置断裂，则，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：设旗杆在离底部x米的位置断裂， ∵，， ∴． 在中，，，， ∴，即， 解得：． 故旗杆在离底部6米的位置断裂． （2）作于点D，    ∴ ∴米 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理解三角形是解题的关键． 【题型10 航海问题】 例1．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 例2．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度． 【答案】海里/小时 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解；先根据勾股定理求出的长度，再根据路程时间关系求出速度即可． 【详解】解：在，，，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得， （海里/小时） 答：该船的行驶速度为海里/小时． 变式1．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 变式2．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得． 在中， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 变式3．如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用，根据题意列关系式是解题的关键． 设相遇时补给船航行了x海里,则海里，由军舰的速度是补给船的倍,它们的时间相同,可得 海里，根据勾股定理可得方程,解方程即可求解． 【详解】解：设相遇时补给船航行了,即． 军舰的速度是补给船的2倍,他们的时间相同, ． , ． 在中，，根据勾股定理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 故相遇时补给船航行了． 【题型11 河宽】 例1．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得长为10m，长为8m，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： 由于线段长度为正数，得： 故A、B两点之间的距离是． 例2．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 变式1．如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 变式2．如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    【答案】向岸A移动了9米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出． 【详解】解：由题意得， 在中，， 在中，， ∴． 答：船向岸A移动了9米． 变式3．如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 【答案】240米 【分析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． 【详解】解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：， 解得， 答：河宽240米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是关键． 【题型12 台阶上地毯长度】 例1．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 例2．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 变式1．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 变式2．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 变式3．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【答案】156 m2. 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜. 【详解】棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b， 则m 棚的长d为12m 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力,理清题意，掌握勾股定理是解题的关键. 【题型13 判断汽车是否超速】 例1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 例2．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 变式1．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 变式2．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 变式3．某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理即可解答； （2）求出汽车的速度即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这里汽车超速了． 【题型14 是否受台风影响】 例1．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 例2．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键． （1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，， ∴（千米）, ∵， ∴市会受到沙尘暴的严重影响； （2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点， 在中，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴市受影响的时间为（小时）， 故市受影响的时间为小时． 变式1．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)农场会受到台风的影响，理由见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． （1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下： 如图，过作于， ， ， ， 的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； （2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是（小时）． 变式2．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)持续小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 变式3．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 【题型15 最短路径问题】 例1．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． 例2．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴从仓库到配送点的最短路径为． 变式1．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 变式2．如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3) 【分析】（）根据图形画出侧面展开图即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，正确画出木块的侧面展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：根据题意可知，侧面展开图中，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为． 变式3．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 1．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到，，，，然后通过勾股定理求出，四边形的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解：含有角的三角板和，， ，，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形的面积 ， 故选：A． 2．如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 3．以的顶点为圆心，任意长为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一这两点间距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点并以为端点画射线，交于．若，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理，含30度角的直角三角形，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 5．如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，当时，线段的和最小，最小值为． 【详解】解：∵在等腰中，，是的中线， ∴，故点B关于的对称点是点C， 连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度， 故的最小值是． 故选：B． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用．根据题意得出，，进而可得，根据，，即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， 故选：C． 7．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【分析】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题是解题的关键． 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，则线段的长为的最小值，根据勾股定理得到，即；延长交于点，则，当点P运动到时，有最大值，过点B作于点F，则，根据勾股定理求得，即有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E， 线段的长为的最小值， 、、, 、、， 即的最小值； 延长交于点， 、 当点P运动到时，有最大值， 、、， 过点B作于点F，则， 即有最大值， ， 故选：A． 8．文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有，已知，当它以底边水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当以腰水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（   ） 图形 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 绝对高度 ？ 绝对宽度 ？ A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2．56和2.88 D．2.88和3.00 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握图形的绝对高度和绝对宽度的定义 根据等腰三角形的性质，勾股定理可求，即图⑤绝对宽度，再根据三角形面积公式可求图⑤绝对高度 【详解】解∶图④，过点作于， 由图④可得，， ∵，， ∴， 在中，， 图⑤绝对宽度为； 图⑤绝对高度为∶ 故选 9．如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分和两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】解：如图，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 11．如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用、圆柱的侧面展开图，将圆柱侧面展开成矩形，彩带的长度就是三个矩形对角线长度之和． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，如下图所示， 圆柱的高为，底面周长为， ，， ， 彩带的长度为． 故答案为：． 12．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 过点作于点，摆绳与地面的垂足为，证明，得到，再利用勾股定理求出，得到，求出，由题意得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂足为， 与成角， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是 ； （2）当取得最小值时，点M的坐标是 ． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 14．有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解．正确得出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，边长为的大正方形经过次“生长”后，形成图形如图， “生长”次，“生长”出的两个正方形，三个正方形围成，三个正方形面积和为：； “生长”次，又“生长”出四个正方形，所有的正方形围成的直角三角形有、、，则这四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，即，， ∴所有正方形的面积之和为： ； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第二次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为：； …… 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， ∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为：． 故答案为：． 15．学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作于点，设米，则米，再根据勾股定理求出的值，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可得出结论； （2）用花园的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设米，则米， 在与中，由勾股定理得，， ， 即， 解得，米， （米）， 这块三角形空地的面积为（平方米）； （2）学校修建这个花园需要投资（元）， 故答案为：． 16．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．阅读材料：若，求的值． 解：， ，即， ，解得， ． 解决问题： (1)若，求的值； (2)已知直角三角形的两边长为，．满足，求的周长； (3)已知正整数，，，满足不等式．求的值． 【答案】(1)1 (2)12或 (3)8 【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形为两个平方项相加得形式，再根据平方的非负性求出、的值，最后代入计算； （2）先将已知等式通过完全平方公式变形为两个平方项相加得形式，再根据平方的非负性求出、的值，再分情况讨论、是直角边还是斜边，进而求出三角形的周长； （3）对不等式进行变形，配方后根据非负数的性质求出、、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 当、为直角边时，，此时的周长， 当为斜边，为直角边时，，此时的周长； 综上所述，的周长为或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，为正整数， ∴，，， 若，则，与不等式矛盾，故， 代入得， 若，则，故此时必有，且， 解得，或，，均因不是整数而舍去， 故， 代入得，即， 解得， ∴． 18．如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：4． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ， ，即点P与点B重合， ， 当，点在点左侧时，， ， ， 当点在点右侧，， ， ， 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 19．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，勾股定理的应用，利用列出方程是解题的关键． （1）作的垂直平分线与交于点，则点即为所作； （2）连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，则点E就是医院的建造位置，如图所示： （2）解：连接，设，则. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离 20．海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，，， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得，， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 21．某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 【答案】(1)风筝的高度是 (2)还需要放出风筝线14米 (3)，乙 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是关键． （1）勾股定理求出，即可得到答案； （2）勾股定理求出，即可得到答案； （3）勾股定理求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：∵于点D． 在中，， ∴ ∵， ∴， 即此时风筝的高度是； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴； 即则还需要放出风筝线14米． （3）由题意得，， ∴ ∴同学乙所放风筝的垂直高度是m， ∵， ∴乙的风筝更高， 故答案为：，乙 22．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； （2）解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 23．阅读下列材料： 小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)计算图1中的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，每个小正方形的边长为1，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接． ①判断与面积之间的关系，并说明理由； ②直接写出六边形的面积为________． 【答案】(1)； (2)①与面积相等，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形面积． （1）三角形的面积=矩形的面积减去周围的三个三角形面积； （2）①分别用分割法计算△PQR与△PEF的面积，再比较即可； ②先用勾股定理求解线段和，再用分割法求解六边形的面积即可． 【详解】（1）解：． （2）①与面积相等． 理由：的面积， 的面积， 的面积的面积； ②由勾股定理得： ，， 六边形的面积为． 24．填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． (2)应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)， (2)应用场景1：；应用场景2： 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； 应用场景2：设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：由等面积法知：， ∴， ∴，得证． 故答案为：，； （2）解：应用场景1：在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； 应用场景2：∵，， ∴， 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． 答：绳索的长为． 25．如图，在中，，． (1)如图，点是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，是内部一点，，连接，若，，求点到的距离． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①证明，得出； ②由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得出，，由面积法可得出答案． 【详解】（1）①证明：， ， ． 又，， ， ； ②解：， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 由（1）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ． ． ， 设点到的距离为， . ， ． 即点O到的距离为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $