重难点突破02 数列求和（寒假预习讲义）高二数学人教B版

重难点突破02 数列求和 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：倒序相加法】 【题型02：并项求和法】 【题型03：分组求和法】 【题型04：一次型裂项相消法】 【题型05：根式型裂项相消法】 【题型06：指数型裂项相消法】 【题型07：错位相减法】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 倒序相加法 如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 知识点2 分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）适用于的形式 知识点3 并项相加法 适用于通项公式中含或，该数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后,各个“大项”又呈现出有规律特征,进而通过“大项”的求和得出结果 知识点4 裂项相消法 （1）等差型: （2）根式型： （3）指数型：， 具体过程：两边分别相加得 知识点5 错位相减法 适用于,其中中一个是等差数列,另一个是等比数列-求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和. 【题型01：倒序相加法】 1．已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. 2．已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 3．已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 【答案】6078 【详解】因为是正项等比数列，所以，， 即， 由，则， 故， 故 ， 所以. 故答案为：. 4．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 【答案】13 【详解】由，因， 则 . 故答案为：13. 5．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 【题型02：并项求和法】 6．已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（   ） A．2025 B．2023 C． D．0 【答案】A 【详解】因为，所以，， ，，， 所以， 所以，，，，，， ，所以数列四项之和为， 故数列的前项和为. 故选：A 7．已知，则 . 【答案】5100 【详解】因为，所以， 而，（为偶） ∴当为偶数时，， 当时，. 故答案为：5100. 8．已知各项均为正数的数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为各项为正数，， 所以上式两边同时除以，得， 令，则，即，解得（负值舍去）， 所以，又， 所以是以，的等比数列， 故. （2）， 当时，，当时，，当时，， 当时，，根据三角函数周期性知的周期为4， 则 9．已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，整理得，又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则 （2）当时， 当时，， 当时，， 当时，， 则 10．已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）数列的前项和 . （3）由（1）可知 ， 则前项和为. 11．已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)， (2)-1011 【分析】 【详解】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 【题型03：分组求和法】 12．已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为 . 【答案】7893 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为. 计算最大的，使得，当时，， 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2. 数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 13．设数列的前项和为，则 . 【答案】2760 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 14．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)（）. (2) 【分析】 【详解】（1）由已知条件可知等比数列的公比, 所以,. 设等差数列的公差为. 因为,,所以,即. 所以（）. （2）由(1)知,,.因此. 从而数列的前项和为: . 15．已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，所以，， 又，所以，，得，， 所以，， 即数列的通项公式为，数列的通项公式为； （2）因为， 所以由（1）可得， . 16．已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及的前项和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）由题，，公差，故； 设等比数列的公比为，由，， 则，解得或，又，即， 故，则. （2）由（1），； . 17．已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； （2）由题意， 【题型04：一次型裂项相消法】 18．已知数列满足，数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【详解】由， 当时，， 两式相减，可得，即， 此时，； 当时，，则； 当时，， 显然满足上式，则. 故答案为：. 19．已知等差数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知 ，根据通项公式可得 ， 则 ，解得 ， 所以 （2）由（1）知 ，则 ， 所以 . ， 因此，数列 的前 项和 . 20．已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； （2）因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 . 21．已知三棱柱､四棱柱､五棱柱的顶点数按从小到大的顺序排列，构成数列. (1)写出，并求的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）三棱柱的顶点数为，四棱柱的顶点数为，五棱柱的顶点数为， 因此，棱柱的顶点数为，数列的第项为棱柱的顶点数， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 因此， 所以. 22．已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意，得且， 解得 所以. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 23．已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，. (1)求的表达式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，，则，则，解得或（舍）， 则，所以，则， 由，可得，化简得，代入得， 所以； （2）， 所以 【题型05：根式型裂项相消法】 24．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以这个数列的前63项之和. 故选：C 25．已知数列，，且数列的前项和为，那么 ． 【答案】99 【详解】因为， 所以， 由，得解得. 故答案为：. 26．在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是等比数列且公比为， 所以，即； （2）， ， 所以， 两式相减得， 所以， ， 所以． 27．已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 【详解】（1）由可得：， 代入消元得：，解得或， 因为当时，，不满足递增数列，故舍去， 而当时，，满足递增数列， 所以； （2）由可得：， 又因为，所以是方程的两个根， 而解方程可得：， 根据递增数列，所以 即，所以数列为等差数列； （3）由，可得， 所以. 【题型06：指数型裂项相消法】 28．已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】数列前项和分别为，且，又， 当时，，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，令，所以，即， 所以， 则， 所以， 所以，又因为，所以，所以， 对任意的，恒成立，则， 则的取值范围是. 故答案为：. 29．已知数列的前项和为，．设，数列的前项和为，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 当时，则，两式相减得， 即，可得， 当时，，则，即， 可知数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，可得， 可知数列是以首项为，公差为1的等差数列， 则，即， 可得， 所以． 故答案为：. 30．已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，由，① 得，② 由①-②得，，所以． 又，且，所以，且． 所以，． 所以，数列为以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 所以． 所以， ． 又，所以，． 31．设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 32．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 【题型07：错位相减法】 33．如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，设，所以，所以， ，， 所以， 以此类推，,， 所以， 所以， 设{nan}的前n项和为， ， 所以， 所以 ， 所以， 故选：A 34．已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 35．数列满足：设 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为， 所以，即. 又因为，所以， 故是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 数列的前项和， 相减可得 ， . 36．在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）因为是等差数列，且，， 所以，联立，解得，， 由，得，解得，，故， 数列的前项和，， 当时，， 当时，上式成立，故； （2）由（1）知， ， ， ①②，得， 其中， 所以，得. 37．已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，而， 所以是首项为5，公比为5的等比数列，则，即. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ，则， 所以数列前项的和. 38．已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）由题意， 所以， 令，① 则，② ①②得： 故，所以． 1．已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 2．已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则 【答案】 【详解】， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 故答案为：. 3．已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1), (2) 【分析】 【详解】（1）设数列的公差为，的公比为， 因为，，所以， 解得，，所以. 由，，可得，解得或， 因，则，故. （2）由（1）知，， 4．记数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前2n项和B2n； (3)设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)7. 【分析】 【详解】（1）在数列中，，则， 当时，，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此，当时，，而不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， ， . （3）设，则， 当时，， 于是， 则， 因此，由，得，又， 所以符合题设条件的m的最小整数值为7. 5．已知正项等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为数列是正项等比数列，则，设公比为， 由可得，即， 解得或（舍去）， 又因为，所以，解得， 所以的通项公式； （2）由（1）得，所以， 所以， 所以 . 6．设正项数列的前n项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由得，可知 两式相减得，，即， 即 因为数列是正项数列，所以，所以，即， 又时解得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 数列的通项公式为； . （2）由（1）知，所以，， 所以数列的前n项和. 7．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，解得， 由，可得， 两式相减得， 即时，， 则， 因，所以是首项和公比均为的等比数列， 所以，即， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前项和． 8．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． (1)求与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 【答案】(1)． (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由已知，，，，得， 即， 解得（舍）或， 故． （2）， 故， 则，即，即， 解得， ，的最大值为，即满足条件的n的最大值为． 9．正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)最大值为3，最小值为 【分析】 【详解】（1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 10．已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，其中表示不超过x的最大整数，如，．求数列的前2025项和． 【答案】(1)； (2)； (3)4968. 【分析】 【详解】（1）数列中，由，得，则，而，解得， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则，， 两式相减得， 所以. （3）由（1）得， 当时，，，共有9项； 当时，，，共有90项； 当时，，，共有900项； 当时，，，共有9000项； 而，所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破02 数列求和 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：倒序相加法】 【题型02：并项求和法】 【题型03：分组求和法】 【题型04：一次型裂项相消法】 【题型05：根式型裂项相消法】 【题型06：指数型裂项相消法】 【题型07：错位相减法】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 倒序相加法 如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 知识点2 分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）适用于的形式 知识点3 并项相加法 适用于通项公式中含或，该数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后,各个“大项”又呈现出有规律特征,进而通过“大项”的求和得出结果 知识点4 裂项相消法 （1）等差型: （2）根式型： （3）指数型：， 具体过程：两边分别相加得 知识点5 错位相减法 适用于,其中中一个是等差数列,另一个是等比数列-求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和. 【题型01：倒序相加法】 1．已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 2．已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 3．已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 4．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 5．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【题型02：并项求和法】 6．已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（   ） A．2025 B．2023 C． D．0 7．已知，则 . 8．已知各项均为正数的数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求． 9．已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 10．已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 11．已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【题型03：分组求和法】 12．已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为 . 13．设数列的前项和为，则 . 14．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 16．已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及的前项和． 17．已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【题型04：一次型裂项相消法】 18．已知数列满足，数列的前n项和为，则 ． 19．已知等差数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 20．已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和 21．已知三棱柱､四棱柱､五棱柱的顶点数按从小到大的顺序排列，构成数列. (1)写出，并求的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求. 22．已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 23．已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，. (1)求的表达式； (2)求数列的前项和. 【题型05：根式型裂项相消法】 24．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 25．已知数列，，且数列的前项和为，那么 ． 26．在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 27．已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 【题型06：指数型裂项相消法】 28．已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是 . 29．已知数列的前项和为，．设，数列的前项和为，则 ． 30．已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 31．设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 32．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【题型07：错位相减法】 33．如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（   ）    A． B． C． D． 34．已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 35．数列满足：设 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和为． 36．在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 37．已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 38．已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 1．已知函数，（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则 3．已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．记数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前2n项和B2n； (3)设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 5．已知正项等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．设正项数列的前n项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 7．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． (1)求与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 9．正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 10．已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，其中表示不超过x的最大整数，如，．求数列的前2025项和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $