重难点突破01 求数列的通项公式（寒假预习讲义）高二数学人教B版

重难点突破01 求数列的通项公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：周期数列】 【题型02：累加法】 【题型03：累乘法】 【题型04：（一）——与或与】 【题型05：（二）——“”】 【题型06：“积”型】 【题型07：待定系数法】 【题型08：倒数法】 【题型09：同除指数法】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 累加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 知识点2 累乘法 适用于，求 具体过程：，两边分别相乘得 知识点3 型及型 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 知识点4 取倒数法 数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 知识点5 利用与的关系 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 【题型01：周期数列】 1．已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 2．已知数列，则（    ） A．1 B．5 C．-4 D．4 3．已知数列满足，则 . 4．已知数列满足若，则 ． 5．记为数列的前n项和，已知数列满足，则 . 6．数列满足，则 . 【题型02：累加法】 7．在数列中，，则的最小值为 . 8．在数列中，，，则 ． 9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（    ） A．100 B．120 C．128 D．240 10．已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（   ） A． B．2 C． D．3 11．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型03：累乘法】 12．已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （    ） A． B． C． D． 13．设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 14．已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 15．已知数列中，，则 . 16．若数列满足，， 则 ，数列的通项公式 ． 17．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； 【题型04：（一）——与或与】 18．已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 19．已知数列的前项和为，且满足，则 ． 20．已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 21．记为数列的前项和，若，则 . 22．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（    ） A．18 B．24 C．32 D．42 23．在数列中，已知其前项和则当为奇数时， ． 【题型05：（二）——“”】 24．（多选）已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 25．（多选）记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 26．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为 . 27．已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； 28．设正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； 29．已知数列满足． (1)求的通项公式； 【题型06：“积”型】 30．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 31．设各项都不为的数列的前项积为，，，求数列的通项公式； 32．已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 33．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 34．记为数列的前项之积，已知，则 . 【题型07：待定系数法】 35．若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 36．已知数列中，，则数列的通项公式 ． 37．已知数列满足，则 ． 38．已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 39．在数列中，，，则 . 40．数列的首项，，令，则 ． 【题型08：倒数法】 41．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 43．若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 44．已知数列满足，，，则 . 【题型09：同除指数法】 45．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 46．在数列中，，，则 ． 47．记数列的前项和为，若，则 . 48．已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； 49．（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 1．在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 2．已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 3．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 4．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 7．（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 8．数列满足，数列的前项和为 ． 9．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； 10．设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前n项和. (1)若，求证：是等差数列； (2)若，求数列的通项公式. 11．已知数列的前项和为，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式及. 12．已知数列前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破01 求数列的通项公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：周期数列】 【题型02：累加法】 【题型03：累乘法】 【题型04：（一）——与或与】 【题型05：（二）——“”】 【题型06：“积”型】 【题型07：待定系数法】 【题型08：倒数法】 【题型09：同除指数法】 第二步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 累加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 知识点2 累乘法 适用于，求 具体过程：，两边分别相乘得 知识点3 型及型 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 知识点4 取倒数法 数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 知识点5 利用与的关系 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 【题型01：周期数列】 1．已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解法1：由数列满足， 可取，则； 取，则； 取，则， 猜想数列是周期为3的周期数列，. 解法2：由得，，逐项代换可得， 数列是周期为3的周期数列，. 故选：C 2．已知数列，则（    ） A．1 B．5 C．-4 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以数列是周期为6的周期数列， 所以. 故选：B. 3．已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】由，所以， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 故答案为：. 4．已知数列满足若，则 ． 【答案】 【详解】由且，可得，，， 可得数列是以3为周期的周期数列，则． 故答案为： 5．记为数列的前n项和，已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】当 为奇数时，,当 为偶数时，;     因此， . 故答案为：0. 6．数列满足，则 . 【答案】 【详解】已知，且， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 发现从第项开始，数列以为一个周期循环出现，周期长度为， 因为，所以 . 故答案为：. 【题型02：累加法】 7．在数列中，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，， 因此当，或，有最小值， 即的最小值为. 故答案为： 8．在数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】化简得：， ，，，； 将上述式子相加， 得， 代入，得， 则， 故答案为：. 9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（    ） A．100 B．120 C．128 D．240 【答案】B 【详解】设第层的小球个数为， 依题意，，且当时，， 当时，， 满足上式，因此， 所以，即第15层有120个小球， 故选：B 10．已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】因为数列是公比为3的等比数列，所以， ， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A. 11．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，且，， 所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足， 所以. 故选：C 【题型03：累乘法】 12．已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知是公比为的等比数列，， 则； 故当时，， 则， 当时，也适合上式， 故，则. 故选：A 13．设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得， 所以 ． 故选：C． 14．已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 15．已知数列中，，则 . 【答案】 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 16．若数列满足，， 则 ，数列的通项公式 ． 【答案】 8 【详解】因为，，所以，. 由题意，，，， 以上各式相乘可得. 故答案为：8   17．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 又因为，即对也成立，所以． （2）①， ②， ①-②得： ， 所以． 【题型04：（一）——与或与】 18．已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列的前项和为，，所以， 即，所以，. 所以数列是以公比为3，首项为4的等比数列，所以，即. 故选：B. 19．已知数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】 【详解】当，， 当，， 验证时，，符合的通项， 故． 故答案为：． 20．已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 【答案】 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 不满足，所以. 故答案为：. 21．记为数列的前项和，若，则 . 【答案】63 【详解】当时，，得， 当时，，得， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故. 故答案为：. 22．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（    ） A．18 B．24 C．32 D．42 【答案】C 【详解】由题设是等差数列，， 则的公差为，故， 则得，故. 故选：C. 23．在数列中，已知其前项和则当为奇数时， ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，且为奇数时，为偶数， 所以，， 所以， 综上， 【题型05：（二）——“”】 24．（多选）已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】ABD 【详解】因为， 当时，则，故B正确； 当时，则， 两式相减可得，则； 且符合上式，所以，故D正确； 因为，，，则， 所以数列不是等比数列，故C错误； 又因为，可知数列是等差数列， 所以，故A正确. 故选：ABD. 25．（多选）记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】由，可得： ， 两式相减得：，即， 所以为等比数列，故B正确； 再由，可得， 即， 当时，有， 由于不满足上式，所以，故A错误； 由 ，故C正确； 由， 则， 两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 26．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 27．已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 28．设正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且， 当时，则，可得； 当时，则，即， 整理可得，解得或（舍去）； 当时，则， 可得， 则，可得， 两式相减得，整理可得， 且，可得； 且，可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以. （2）因为， 所以. 29．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得， 解得， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 【题型06：“积”型】 30．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：B. 31．设各项都不为的数列的前项积为，，，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，当时，，两式相除可得， 因为，所以，满足， 所以． 32．已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【详解】由题意，当时，则， 当时，①可得②，①②得：， 所以数列是公差为的等差数列，故， 令，又，所以的最小值为. 故选：B 33．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【详解】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B 34．记为数列的前项之积，已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，整理可得， 可知数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 【题型07：待定系数法】 35．若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 36．已知数列中，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 37．已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】由，可得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 38．已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 39．在数列中，，，则 . 【答案】 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 40．数列的首项，，令，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以，又， 所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 代入得， 设数列的前项和为， 则， 则. 故答案为： 【题型08：倒数法】 41．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 42．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 43．若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 44．已知数列满足，，，则 . 【答案】 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【题型09：同除指数法】 45．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 46．在数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 47．记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 48．已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 【答案】(1); (2)证明见解析，首项为1，公差为1； (3) 【分析】 【详解】（1）∵,且, ∴, . （2）由, 得. 又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知：,,故； , , 两式相减，得 , , , ; 故. 49．（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 1．在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为， 所以，，， ，所以数列具有周期性，周期为，所以， 故选：A 2．已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 【答案】D 【详解】奇数项 ，构成首项为8、公差为 的等差数列. 通项； 偶数项： ，构成周期为2的周期数列；， 通项：， 选项A，，对应， ，选项A 错误. 选项B，为偶数， 奇数项和：， 偶数项和：， ， 为奇数， 偶数项和：， ， 选项B 错误. 选项C，由 为偶数，， 为奇数，， 开口向下的二次函数，对称轴都为， 所以， ，C错误. D. ， ，即 ， ， ， ， ，选项D 正确. 故选：D 3．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 4．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，且，，取，由得， 由于为数列的前项积，所以， 则，两式相除，可得， 由于，化简得，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以. 故选：D 6．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【详解】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 7．（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 8．数列满足，数列的前项和为 ． 【答案】 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而，即，满足上式，因此， 所以数列的前项和为. 故答案为： 9．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 10．设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前n项和. (1)若，求证：是等差数列； (2)若，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，，当时，， 两式相减，得，整理得， 所以是等差数列. （2）当时，，令，而，得，解得， 于是，当时，， 两式相减，得，整理得，即， 因此，数列是常数列，从而，，显然满足上式， 所以数列的通项公式是. 11．已知数列的前项和为，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式及. 【答案】(1)证明详见解析 (2)， 【分析】 【详解】（1）依题意，， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，所以， 所以 . 12．已知数列前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，所以， 当时，， 两式相减可得：， 所以，所以 所以，又因为， 所以从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以① （2）当时，， 所以， 当时，， 所以， 则①， ②， ①②得：， ， ， 所以 又因为当时，， 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $