2026年寒假验收卷（范围：必修第三册第七、八章）高一数学人教B版

2026年寒假验收卷 范围：人教B版必修第三册 第七章~第八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数为偶函数，则的最小值为（   ） A．3 B． C．2 D． 5．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ） A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 6．若，则的值是（      ） A． B． C． D．以上均不对 7．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为，则（   ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 10．函数的图象如图所示，则下列说法中正确的有（   ）    A． B．函数的图象关于点对称 C．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 D．将向左平移个单位长度，得到函数 11．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（   ） A． B． C． D．设为内一点（含边界），的最小值为6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.则 ． 13．设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为 ． 14．已知函数，其中，若关于的方程在区间上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知． (1)求；(2)设函数，求的最小正周期和单调区间． 16．（15分）在梯形中，已知，，与交于点. (1)用，表示，； (2)若，，，求与所成角的余弦值. 17．（15分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数 (1)求函数的单调增区间： (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象． ①当时，求函数的值域； ②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 19．（17分）人脸识别技术是一种通过分析人脸图象或视频流中的特征信息来识别或验证个体身份的生物识别技术．其核心是将人脸图象转化为特征向量，结合机器学习实现高精度识别．而余弦相似度就是人脸识别中常用的一种衡量特征向量相似性的方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，设．（参考公式：） (1)求，两点余弦距离的最大值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年寒假验收卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 月要求的. 2 3 C B A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AB AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.√19 13.(2+√2)π 4 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,【详解】1)因为0)=)，所以snp .1分 因为子5p受所以p= 3分 6 (2)由1)得=m2x+引】 所以 g国=m2r+8m2-号}周-m2x+}n2x-引sm2om+s2sg-o2x -sin 2x+-cos 2 6 6 2 -sin2x-1 cos 2x=sin 2xcos-cos 2xsin=sin2x 2 6 6 6 …6分 所以gx的最小正周期为 2 ,… 8分 6x∈R,则y=sint,t∈R 令t=2x- 因为t=2x- ,x∈R是增函数， 6 所以当-号+2x≤s2,kE2,即-名a≤x≤骨+红，eZ时，函数g到单调递增；10分 2 6 当经+2加≤1≤受2eZ,即子+血≤x≤+：keZ时，函数g草调道减 1/5 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以gx)的单调递增区间为 6 +kT+k远k乙，单调递减区间为元+ 3 ,5π+kn keZ.13分 16.【详解】(1) D E B 因为在梯形ABCD中，已知B=2D,正=6+C, 测正-B+4C列-丽+aD+DC)=丽+号0 .2分 由1正，得F=正-n46+知0， 4分 由B,F,D共线，得AF=入AB+(1-)AD, 3 4 m=入 m= 4 所以 1 得 所以亚-B+2D 3 7分 5 2m=1-， (2)因为4E=BC-BA,BD=Bc+BA, 又AB=4,BC=2,BA.BC=4, 所以4E-80=}8c-8d8c+8d-8C-8c-B1-8=-99分 到-}c--ac-ca+B所=而. 11分 D-C+4- BC+BC.BA+IB4=23. 13分 AE·BD -9 3v39 设AE与BD所成的角为O,则cos6= AE BD √13×2V3 26 15分 17.【详解】(1)设()的最小正周期为T,所以7= 7π 解得T=π， 24 24 所以T=2红=元，解得0=2. 2分 由题意知A=3,所以f(x)=3sin2x+p), 2/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又货)n+pj小，所以2 1π 24 +0=元+2km,keZ,即0= 24 2 12π+2km,keZ, 又-<0<，所以p= 5π ,所以/)=3sim2x 5分 12 （2)令5+2版≤2x-设s班+2版keZ,解得+a≤r 23π +kπ，k∈Z, 122 24 24 即∫(x)的单调递减区间为 +k 24 23+ 24 8分 (3)将函数y=∫(x)的图象向左平移亚个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为 24 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为 g=3nx-号 11分 当x∈ 所以g(x)mas=3,g(x)mn=3sin 13分 若对任意销[，都小gs2a-1,2a-1lem-g-号 2 解符a心号闻a的取位范用足什网 15分 18.【11)由-5+2a2x+2点keZ,可得+a≤x≤keZ. 32 所以函数fx)的单调塔区间为2十 … 3分 (2)①：由已知得g,)=，sin(x+乃+1， 2 6 所以+会， 5分 所以gm+71[ 6 所以函数g()的值域为年2] 「33 7分 662 则2inx++1=sint+1, 61 令0-1+1，则函的图象下图所不，得-后1子片 =sin3π+1= 6 2尸2sin2+ 3/5 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 h 5π1 2=2sin +1 3 2 …10分 由图象得h(t)-m=0有三个不同的实数根1,2,4（4<t<), =2,6=2+4,所以4+2，+5=4，即x++2名+ 则+6= +x+=4元， 2 6 6 6 10π 所以x1+2x2+x3= 3 …14分 所以am+2+-a9gm4红-}-5 故tan(x+2x,+x)=V5 17分 19.【详解】1)由题：csM,N)=cos(O,ON= OM.ON OM ON sm++ 3分 √2 sinx+ 所以M,N两点余弦距离为：1-co(M,W)=1-sm+》 易知当six+号-1时，M，N两点的余弦距离最大值为2。 π 5分 2)由)知不等式+f+引0即为sn+到引+sm(+经+写》0， 上恒成立， …7分 由x0,得+[] 12 334 当号-员耳x=爱时，+写引=0，则不等式即为>0成立，此时tR:9分 6 当T<X+T<号，即0≤x<时，osx+ >0, 3 6 3 则不等式等价于k>- -tanx+交》 恒成立， 11分 3 时+=5，所以>5： .13分 4/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 12 sm+到 则不等式等价于k< -am+写到恒成立， 15分 =-1,所以k<-1, 所述：实数k的取值范围为-√3，- 17分 5/5 2026年寒假验收卷 范围：人教B版必修第三册 第七章~第八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，且为第三象限角， 所以为第三象限角. 故选：C 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 3．（四川省雅安市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 4．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数为偶函数，则的最小值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象. 又函数为偶函数，所以，， 解得，. 因为，所以当时，取得最小值. 故选：B. 5．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 6．若，则的值是（      ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】A 【详解】因为，则， 当时，， 则 ， 当时，， 则 . 故选：A. 7．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 所以，由于， 所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为， 当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：A.    8．已知函数的最大值为，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为. 当时，取最大值为5. 此时，所以. 化简得. 由于，化简得，解得， 所以或. 因为，所以在第四象限， 所以在第二或第四象限，所以，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于，故A符合题意； 对于，故B符合题意； 对于C：，故C不合题意； 对于D：，故D不合题意. 故选：AB 10．函数的图象如图所示，则下列说法中正确的有（   ）    A． B．函数的图象关于点对称 C．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 D．将向左平移个单位长度，得到函数 【答案】AD 【详解】由图可知，函数图象过点，所以，即， 所以，解得，又因为，所以，故A正确； 由，， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 又由，，令， 所以方程在上有两个不相等的根， 等价于函数与有两个不同的交点，如图：    由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数与有两个不同的交点，则， 故方程在上有2个不相等的实数根，则，故C错误； 又将向左平移个单位长度，得 ，故D正确. 故选：AD. 11．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（   ）    A． B． C． D．设为内一点（含边界），的最小值为6 【答案】ABD 【详解】对于A，延长交于点， 由题意可得，，所以四边形为平行四边形， 而，为等边三角形，四边形为三个全等的等腰梯形， 则，， 所以，故A正确； 对于B，由于，则， 所以，故B正确；    对于C，由B知，，且为等边三角形，边长为4， 所以，故C错误； 对于D，由， 因为表示在的投影，显然，当位于点时，投影最小， 由于，，则， 所以， 则，即的最小值为6，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 13．设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为 ． 【答案】 【详解】由题设，以正方形的边为弦时所对圆心角为，其在圆上滚动时点的顺序依次如下图示， （图中各点字母，从左到右表示第一次、第二次、到达该点的正方形顶点字母）， 当首次回到的位置时，正方形滚动了3圈，共12次， 设第次滚动，的路程为，则，，，， 所以点所走过的路径的长度为. 故答案为： 14．已知函数，其中，若关于的方程在区间上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】 【详解】由函数， 因为方程在区间上有且仅有2个不相等的实数根，且， 可得在区间上有且仅有2个不相等的实数根， 令，因为，可得， 即等价于方程在上有且仅有2个不相等的实数根， 结合正弦函数性质，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知． (1)求； (2)设函数，求的最小正周期和单调区间． 【详解】（1）因为，所以. 1分 因为，所以. 3分 （2）由（1）得， 所以 . 6分 所以的最小正周期为. 8分 令，则. 因为是增函数， 所以当，即时，函数单调递增； 10分 当，即时，函数单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 13分 16．（15分）在梯形中，已知，，与交于点. (1)用，表示，； (2)若，，，求与所成角的余弦值. 【详解】（1） 因为在梯形中，已知，， 则. 2分 由，得， 4分 由共线，得， 所以得,所以. 7分 （2）因为，， 又，，， 所以. 9分 ， 11分 . 13分 设与所成的角为，则. 15分 17．（15分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 2分 由题意知，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以. 5分 （2）令，解得， 即的单调递减区间为. 8分 （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 11分 当， 所以， 13分 若对任意的，都有，则， 解得，即的取值范围是. 15分 18．（17分）已知函数 (1)求函数的单调增区间： (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象． ①当时，求函数的值域； ②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【详解】（1）由，可得， 所以函数的单调增区间为； 3分 （2）①：由已知得， 当时，， 所以， 5分 所以， 所以函数的值域为； 7分 ②当时，，令， 则， 令，则函数的图象如下图所示，且，，， 10分 由图象得有三个不同的实数根， 则，，所以，即， 所以， 14分 所以， 故. 17分 19．（17分）人脸识别技术是一种通过分析人脸图象或视频流中的特征信息来识别或验证个体身份的生物识别技术．其核心是将人脸图象转化为特征向量，结合机器学习实现高精度识别．而余弦相似度就是人脸识别中常用的一种衡量特征向量相似性的方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，设．（参考公式：） (1)求，两点余弦距离的最大值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题： ， 3分 所以，两点余弦距离为：， 易知当时，，两点的余弦距离最大值为． 5分 （2）由（1）知不等式即为， 即在上恒成立， 7分 由，得， 当，即时，，则不等式即为成立，此时； 9分 当，即时，， 则不等式等价于恒成立， 11分 此时，所以； 13分 当，即时，， 则不等式等价于恒成立， 15分 此时，所以， 所述：实数的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $