寒假结业综合检测卷（第六、七、八章）高一数学人教A版必修第二册

寒假结业综合检测卷（第六、七、八章） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 3．已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A． B． C． D． 4．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 5．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 7．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 10．已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为 . 13．高原明珠又名浦宁之珠，于2008年10月13日在西宁市城西区西山山顶竣工，是集广播电视发射、城市规划展览、旅游观光为一体的西宁市标志性建筑..某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量明珠塔AB的高度．选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，.测得，在，两观测点处测得明珠塔顶部的仰角分别为，则明珠塔的高约为 m. 14．在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设，，． (1)若，求． (2)若与共线，求与夹角的余弦值． 16．（15分） 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 17．（15分） 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 18．（17分） 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假结业综合检测卷（第六、七、八章） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的乘法运算和复数除法的模的运算即可得到答案. 【详解】，， 故选：C. 2．已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 3．已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设母线长为，可得，再由圆锥的表面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面直径为2，即底面半径为， 设母线长为，则，则， 所以该圆锥的表面积为. 故选：B. 4．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】选项：根据线面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线线平行的判定定理即可判断； 选项：根据面面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线面平行的性质定理即可判断； 【详解】选项：若，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项：若且，则；又，则，B为假命题； 选项：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题． 故选：. 5．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 7．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】AC 【分析】根据复数的运算化简，再根据复数的概念，实部、虚部概念，复数模的定义依次判断. 【详解】对于A，因为，所以的实部为1，故A正确； 对于BC，，所以的虚部为2，为纯虚数，故B错误，C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：AC. 10．已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 【答案】BD 【分析】结合正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，逐项分析即可. 【详解】选项A，，无解，故A错误； 选项B，根据已知条件，由正弦定理得：. 设，，（），则最大角为（大边对大角）. 由余弦定理知：， 又，所以，故B正确； 选项C，因为，所以，即角为锐角， 但无法确定角，为锐角，故C错误； 选项D，，则， 因为，所以，又，所以， 因为，， 所以， 即， 整理得，即， 又因为，则，所以， 所以，即一定是等边三角形，故D正确. 故选：BD. 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BD 【分析】作出过点的截面，判断截面形状，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点位置，根据，的取值范围，判断C的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断D的真假. 【详解】对A：作出过的截面如下图：    延长和的延长线交于点，延长和交于点， 因为为中点，所以为中点，同理为中点. 则，即为的中位线， 连接，则过点，连接，则四边形为过点的截面， 所以平面截该正方体所得的截面是四边形，故A错误； 对B：连接，，如下图：    因为为正方体，分别为，中点，所以. 又，，平面，所以平面. 所以平面，又平面，所以平面平面.故B正确； 对C：当时，（），所以点在线段上， 所以，时取等号；，时取等号. 所以恒成立，而， 所以的最小值为不可能为，故C错误； 对D：因为，所以， 所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆周的. 所以点轨迹长度为：，故D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为 . 【答案】或2 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及平面向量基本定理列式计算即得. 【详解】由向量不共线，得不是零向量， 由向量与共线，得， 即，而向量不共线，则，解得或， 所以实数的值为或2. 故答案为：或2 13．高原明珠又名浦宁之珠，于2008年10月13日在西宁市城西区西山山顶竣工，是集广播电视发射、城市规划展览、旅游观光为一体的西宁市标志性建筑..某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量明珠塔AB的高度．选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，.测得，在，两观测点处测得明珠塔顶部的仰角分别为，则明珠塔的高约为 m. 【答案】188 【分析】设，在和中，用表示出和，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以明珠塔的高约为188m. 故答案为：188 14．在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设，，． (1)若，求． (2)若与共线，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，进而可得模长； （2）根据向量共线的坐标运算可得，进而可求夹角余弦值. 【详解】（1）因为，，， 若，则，解得，即， 可得，所以. （2）因为， 若与共线，则，解得，即 所以. 16．（15分） 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线性质可知，由线面平行的判定可证得结论； （2）根据线面垂直性质和正方形特征可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 17．（15分） 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 18．（17分） 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 【答案】(1)； (2)不正确，理由见解析； (3)，的最小值为. 【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，并求得的范围，即可得到的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以两边平方得， 故； （2）不正确，理由如下， 因为，则， 又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 所以， 又因为，所以， 则， 所以 故的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $