精品解析：北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题

命学科网命组卷网 北京市朝阳区2025~2026学年度第一学期期末质量检测 高三数学试卷 2026.1 (考试时间120分钟满分150分) 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项， 1.己知集合A={xr>2,B={x(x-x-3列≤0，则AnB=（) A.（-2, B.（-2,3] c(1,3) D.1,3] 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B中不等式的解集，再根据交集的定义求A与B的交集 (x-1)(x-3)≤0 【详解】不等式 的解集为≤r≤3，即B=1≤x≤3到 A={x|x>-2,B={x|1≤x≤3}，A∩B={x|1≤x≤3} 已知 ，故 故选：D. 2.已知复数z满足z+2=2i,则在复平面内2z对应的点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数z,，再根据复数的几何意义即可判断. 第1页/共34页 6学科网6组卷网 -2+2i_-2+21=2+2i 2 【详解】由z+2=2i可得 i 2 则复数2对应的点为(2,2），在第一象限 故选：A 3.在等比数列0}中，若4+4=3,4，+4=27，则4+a=（) A.6 B.9 C.15 D.81 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列{口，}的公比，代入即可求得结果 ng=4+a=27=9 【详解】设等比数列{an}的公比为q,则9a+a3,.g=3, ∴.4+a=9(a+4)=3×3=9 故选：B 4.已知m>n>0,则() A.min<nm B.m+n>mn m+n m2+n2 2 2 D. n+m>2 m n 【答案】D 【解析】 【分析】对于A,把不等式两边平方再作差即可判断；对于B,根据特殊值法即可判断：对于C,利用均 值不等式即可判断；对于D,根据基本不等式即可判断： 【详解】对于A,因为m>m>0,所以可得Nn>0,Nm>0,mm>0.m-n>0, 则(mn-(nm)}=mn-m=mn(m-n)>0,即(mn>(nm, 第2页/共34页 命学科网命组卷网 所以mWn>nVm 故A错误 m=3,n=2,m+n=5,mn=6 对于B,令 ,则 ,则m+n<mn 故B错误； 3 m+n m2+n2 对于C,根据均值不等式 2 2, 当且仅当m=n时等号成立， m+n)2 m2+n2 又因为m>n,所以等号不成立， 则 2 ,故C错误： ”>0,">0 n+m≥2 对于D,因为m>n>0,所以mn,由基本不等式可知mn, ”+m>2 当且仅当m=n时等号成立，而m>n,所以等号不成立，则mn,故D正确. 故选：D 5.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的 2 高均相等时，球的体积是圆柱体积的3，且球的表面积也是圆柱表面积的3.如图所示，在一个“圆柱容 球”的模型中，若球的体积为 8W6π 则该模型中圆柱的表面积为（） A. 18π 24π B. C.30 36元 【答案】D 【解析】 第3页/共34页 命学科网命组卷网 【分析】利用球的体积公式和圆柱的表面积公式求解。 【详解】解：可设球的半径为”，则根据题意可知圆柱的底面半径也为”， ·圆柱的高等于直径，·圆柱的高等于2”， 4r3=8N6m 球的体积为86m,一30 .r=V6 :圆柱的表面积公式为S=w2×2+2w.2r=62=6π×V6=36m 故选：D 6.已知抛物 C:少=4r,直线：-y-2+3=0,若直线'与抛物线C有且仅有一个公共点，则a 的取值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】将交点问题转化为方程有唯一解的问题，对二次项系数分类讨论求解即可 y2=4x 【详解】联立方程组ax-y-2a+3=0, 可得r+(4d+6a-4x+4d2-12a+9=0 因为直线1与抛物线C有且仅有一个公共点， 所以at+(4d+6a-4x+4-12a+9=0有唯一解， 9 X三 当a=0时，方程变为4x+9=0,解得4，符合题意， 当a≠0时，此时△=(4a+6a-42-4a(4d2-12a+9)=0 第4页/共34页 6学科网命组卷网 1 化简得32a2-48a+16=0,解得a=1或2，符合题意， 则a的取值有3个，故C正确 故选：C 7.心理物理学中，史蒂文斯幂定律的对数形式可描述物理刺激强度！与主观感知强度S的关系： log2 S=l0g2 k+nlog2 I 中k,”均为大于0的常数.已知当物理刺微强度/从16单位增加到256单 ,其 log2 S 位时， 增加8：当物理刺激强度1从256单位增加到1024单位时， l0g2 S 增加() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求得n=2,再计算物理刺激强度I从256单位增加到1024单位时， log2 S 增加量即 可 【详解】当物理刺激强度1为16单位时， l0g2 S=log,k+nlog,16=l0g2 k+4n 当物理刺激强度！为256单位时， l0g2 S=l0g2k+nlog2 256=l0g2 k+8n 当物理刺激强度1为1024单位时， log2 S=l0g2 k+nlog,1024=log,k+10n 因为物理刺激强度1从16单位增加到256单位时， log2 S 增加8； 所以4n=8,解得n=2, 所以，当物理刺激强度1从256单位增加到1024单位时， 增加2n=4 10g2 S 故选：A 5 8己知数列a,}清足a,=n(n+(n-),则1<2是{a,}是递增数列的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第5页/共34页 6学科网6组卷网 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据a,}是递增数列求出‘的取值范围，结合充分条件、必要条件、充要条件的定义判断即可。 【详解】{a,}是递增数列的充要条件是a,1~a,>0对任意n∈N恒成立 已知a.=m(n+(n-）,所以a=(n+l(n+2n+1-) a1-an=(n+l)(n+2)(n+1-t）-n(n+1)(n-t)=(n+1)[(n+2)(n+1-)-n(n-)] =(n+1)3n+2-2t) 令a1-a.>0,则n+3n+2-2)>0 因为n∈N,所以n+l>0恒成立， 3n+2 I< 故只需3n+2-2t>0对任意n∈N恒成立，即2对任意n∈N恒成立. 令f()=3n+2 2,n∈N,该函数是关于n的增函数， 因此在n=1时取得曼小值，f)=3)+2_5 22 5 I< 故{an}是递增数列的充要条件是2. 故选：C 9.己已知两点AB的坐标分别为，0)，(L,0）,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之和是2，设 M C 的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： 第6页/共34页 命学科网命组卷网 ①曲线C是中心对称图形： ②对任意非零实数t,直线y=【与曲线C总有两个公共点： ③对任意非零实数t,直线y=优与曲线C总有两个公共点： ④对任意非零实数1，曲线'x与曲线C总有两个公共点。 其中所有正确结论的序号是() A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④ 【答案】B 【解析】 xy =1 【分析】由题可得曲线C方程满足：x2-1对于O,通过验证(：，乃)，（-x,)是否均在曲线上可 判断正误；对于②③④，将对应方程与曲线方程联立，通过判断联立方程在题设限制下根的个数可判断正 误 【详解】设M(x,y),由腮可得 w+w+六2=2=号le*圳 x+1x-1x2-1 xy=1 对于①，设(x,乃)在曲线C上，则x2-1 （-x)-=y,=1 对于(-x,y)代入方程左边可得（一x)-1x2-1 从而，一)也在曲线C上，即曲线C为中心对称图形，故①正确： y -=】 对于②，将y=1与x2-1联立，则x2-1 ,=1→x2-x-1=0≠0，x≠0 对于方程r-x-1=0≠0，x≠士 ,其判别式为+4>4>0， 第7页/共34页 学科网命组卷网 则方程总有两相异实根，又注意到当且仅当/=0，方程-红-1=0有根， 则t不为0时，y=与曲线C总有两不同交点，故②正确： y =1 对于③，将y=c与x2-1联立，则x2-1 ,=1→-)2+1=0+0，x≠ 显然1-1>0时，方程-)x+1=0≠0，x≠士)无实数根， 则当t>1时，y=x与曲线C无交点，故③错误； 对.高与号，则 t -=1→x2=t+1(x≠0，x≠±1，t≠0) 显然1+1<0时，方程=+1(x≠0，x≠±，1≠0) 无实数根， 则当1<-1时，x与曲线C无交点，故④错误 综上，可得①②正确. 故选：B 10在边长为1的正三角形ABC中，PQ分别在边HB,AC上，且P四-，则BP.CQ的取值范围是( a n 【答案】A 【解析】 【分析】知图建系，依恩密设亦-2，A0=1C,果出点八Q的坐标，由PQ,推得 u=3+02- 2,利用基本不等式求出 +W∈吃】，利用向量数量积的坐标公式求解BP.C0 第8页/共34页 6学科网6组卷网 利用二次函数的性质即可求得其取值范围· 【详解】如图，以BC的中点为坐标原点O,BC所在直线为x轴，BC的中垂线为'轴，建立平面直角 坐标系 因正角形ABC的达长为1，则0 2.-2.c0 0分别在边B,4C上，不妨设AP=元4B=2(-,-3,元∈0,1刂 P--5+5 2 2: 3 又0，则Pon-a++2-=+--. 1 4 12=2（九+0)一12*、 两即=0-0-项=a-以-5u 2u-》 则那.0--u-》-0-Xu-)=a+a--0. 将代入上可的丽C@=2+++0-2+心-32++ 白9可得=+2-2sa 124:当且仅当=2时取等 0a+3<+心3+，4E0,=2+. 124可得4 第9页/共34页 可学科网丽组卷网 故选：A 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 1.函数f(x)=1+cos2x 的最小正周期是 【答案】π 【解析】 【分】先利用保经公式化简)-e2 .3 ”2,再根据余弦型函数的周期公式求解即可： 【详解】由f冈=1+cos2x=1+1+cos2x1 .3 =-c0s2x+ 2 2 2, 2π 则函数f(x)的最小正周期是2 故答案为：π 12已知(2x-l°=a,x+a,r++ax+a,则a= ；6-45+a4-a3+a2-41= 第10页/供34页 6学科网 命组卷网 【答案】 ①.1②.728 【解析】 【分析】对式子的两边进行赋值，令七=0，即可求得的值；令x=一1，可得到 a,-a,+a,-a+4-a+a的值，结合0的值即可求解 【详解1令x=0,则（°=4，即4，=1： 令x=-1,则a。-a+a4-a+4-a+a=(-2-1)°-36=729 所以4-a+a4-4+4-4-729-1=728 故答案为：1；728 x+卫=1 13.若双曲线+m的离心率∈(2,3)，则m的一个取值为 【答案】-7（答案不唯一） 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再表示出离心率，进而结合题意求解参数范围，最后得到取值即 可 +卫=1 【详解】由题意得双曲线方程为m, x2、2 =1 将其化为标准方程，可得一m, 则a=l,b2=-mc2=1-m,得到e=。三=m 因为e∈(2,3)，所以1-m∈(2,3)，解得m∈(-8，-3)， 第11页/共34页 命学科网 命组卷网 则m的一个取值为-7. 故答案为：一7（答案不唯一） 14.在AABC中， B=7,b=4,则sinA √5 3 若△ABC的内切圆的半径为2，则△ABC的 周长为 8V3 【答案】 ①.3 ②.11 【解析】 a S= 【分析】由正弦定理即可求出sinA;设△ABC的面积为S,周长为l,内切圆的半径为r,根据2 可求出ac=a+c+4,再根据余弦定理得到16=(a+c-3ac,联立即可求出a+c,即可求出周长 ab483 【详解】由正弦定理得sin A sin B sin元3， 3 设△ABC的面积为S,周长为I,内切圆的半径为r, 所以S= 1 31 2,则2csnB三(a+b+c)r则2acxy 2 -2(a+b+c)x 22 2, 即ac=a+c+4, 由余弦定理得16=a+c2-ac=(a+c)2-3ac ac=a+c+4 联立 16=(a+c)}-3ac,解得 a+c=7 所以△ABC的周长为a+b+c=11 第12页/供34页 6学科网命组卷网 8V3 故答案为：3；11 15.在长方体 BCD-4BCD中，MB=3D=2,A4=1,动点M,N分别在棱4B和CD上（包含 端点)，P为线段MW的中点.给出下列四个结论： ①点P的轨迹是线段： 25 ②CP的最小值为5： ③对于给定的点N,总存在点M,使得经过 M,N及C的平面截该长方体的截面图形是矩形： ④存在点M, ,使得经过点M,N及G的平面被该长方体的截面图形是正方形. 其中所有正确结论的序号为， 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于0.过P作B1D交CD于点月，交4B于点，根据长方体的性质得到 aPRM=aPRN从而得到PR=PR,连接4D,4D,设4DnMD,=E,连接BC,BC,设 B,C∩BC=F,连接EF,可以得到P在线段EF上，从而得到答案：对于②，由点P在线段EF上， 1BC 故当点P与点F重合时，CP为最小值为2心，利用勾股定理求出即可得解；对于③，根据长方体的性 质，利用空间向量法分析是否存在满足条件的点M;对于④，据正方形的性质，利用空间向量法判断是 M,N 否存在满足条件的点 第13页/供34页 命学科网命组卷网 D A M 【详解】 对于O,过P作B1CD交CD于点B,交48于点， :AB,1/CD.AB⊥B 动点M,N分别在棱4BCD上（包含端点）， P MN ∴.PM=PN 为线段”的中点， :∠PEM=∠PPN=90°∠MPP=∠NPP .APPM APPN PR=PP 连接4D,4D,设4DnMD=E,连接 BC,BC 设BCnBC=F 连接EF, ~PR=PB,P在线段EF上，小点P的轨迹是线段，故①正确； 对于②，“点P在线段BF上，故当点P与点F重合时，GP最小， 且最小值为2 2 2，故②错误： D M B 对于③，以D为原点，分别以 DA,DC,DD 所在直线为心，八2轴建立空间直角坐标系， 第14页/供34页 命学科网命组卷网 则D(0,00)A2,00,B(23,0),C(0,30,A(2,0,1),B(2,3,1),G(03,1),D(0,01） i设M(2,a,1),0≤a≤3，N(0,b,0),0sb≤3 CM=(2,a-3,0).CN=(0,b-3,-1) 若CM-GN=0,则(a-36-3)=0,解得a=3或b=3,此时GM1C1N, 所以对于任意给定的点N,总存在点M(与B重合》， 使得经过点M,N及S的平面载该长方体的裁面图形是矩形，故③正确： 对于④，CM=(2,a-3,0）,GN=(0,b-3,-1) 若CM.GN=0,则(a-36-3)=0,解得a=3或b=3,此时CGM1GN CM=V22+(a-3}=a2-6a+13,GN=vb-3y+1=VB-66+10, 若CM=GN,则Va-6a+13=B-6+10,解得a2-6a+13=B-6b+10, 时，则-6a+13=62-66+10 当=3 转化为 9-18+13=b2-6b+10 即8-6+6=0,6=6t25=3t5 2 05b53,b=3-V5,故当a=3,b=3-5时， 经过点M,N及C的平面截该长方体的截面图形是正方形， 当6=3时，则-6a+1B=-6+10转化为4-6a+12=0,此方程无解， M,N 综上可知，存在点 使得经过点M,N及C的平面截该长方体的截面图形是正方形，放④正确 第15页/供34页 命学科网命组卷网 故答案为：①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (1)当0=2时，求 的值： (2)再从条件@、条件②、条件©这三个条件中选择一个作为已知，使得西数f(冈)唯一确定，求f(~) [元2π 的解析式及在区间9’9上的最大值与最小值， 条件①：f(x)在x=3处取得最大值，且在x=π处取得最小值： 条件②：f(x)的图象关于直线=6对称，且f()的最小正周期大于2 0, =0 条件③：f(x)在区间 6 上单调递增，」 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 【答案】(1) V3 (2)选条件②或③， f()=2sin3x:f()取得最小值V5,f()取得最大值2 【解析】 【分析】(1)根据三角函数的辅助角公式将函数()化简，然后代入即可求解， (2)条件①： 根据题设可知(2+kT= , 然后结合正弦型函数的周期公式即可判断函数∫(x)不唯一 确定： 第16页/供34页 6学科网命组卷网 条件②：根据f(x)的图象关于直线6对称可得0=3+6k,k∈Z,结合f(x)的最小正周期大于2 可得®=3，并得到的解析式，最后根据给定的区间即可求出()的最值： 2 0. =0 条件③：根据f(x)在区间6]上单调递增可得0<o≤3，结合（3 得o=3,并得到f(x)的 解析式，最后根据给定的区间即可求出(x)的最值： 【小问1详解】 依题意， f(x)=sin 所以当0=2时， f(x)=2sin2x 所以 3 【小问2详解】 2 选条件O:f()在x=霄处取得最大值，且在x=号处取得最小值： 因m期5T,w音号经+ke习 2π 所7-32t+,又1-2 0 2π2π 所以3(2k+1)0,解得0=3(2k+1)(k∈Z),不符合函数f(x)唯一确定的条件： 选条件@：∫(：)的图象关于直线=6对称，且f(x)的最小正周期大于2： 第17页/供34页 命学科网命组卷网 0受+hke乙.解得@=3+6k,keZ,f儿)的最小正周02， 由f(x)=2sinx,得6=2 解得0<4； 又0>0，ke乙，所以当k=0时，0=3，此时f()=2sin3x唯一确定，符合愿意： 所以2sin3x∈-V3,2: 年上.儿)的解5为创=2如3x,当=号，因限程果小价.当-后，f服 得最大值2： 0. 选条件③：f(x)在区间6上单调递增，且(3 =0 =2sinπ”=0 由f(x)=2 sin @x,由J(3 0=kc,k∈Z,解得@=3k,k∈Z: 3,得3 0, 0>0 0<0≤3 ,所以 所以当k=1时，0=3，此时()=2si3x唯一确定，符合题意； 所以si血3x 2 所以2sin3x∈[-V5,2]: 统L.f的能新大务问=2如x,当=，闪是世5，当-看所，了付服 得最大值2 17.某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估. 现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级” 第18页/共34页 6学科网组卷网 (评级越高，代表性能越优)，整理数据如下表： 性能评分x 行业评级 公司数 90≤x≤100 5 10 80≤x<90 4 m 70≤x<80 3 n 60≤x<70 2 20 0≤x<60 1 10 (1)当m=30时，在这100家公司中， ()从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； (i)从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求 X的分布列和数学期望E(X), (2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评 级的平均值为Y,记“上述100家公司的行业评级的平均值”为》.设Y<y"的概率为P,“Y>少的概 率为P,请根据表中信息比较P与P的大小.《结论不要求证明) 1 【答案】(1)(i)4; (ii) X 0 1 2 P 9 3 52 13 52 1 期望为2 (2)B2 第19页/供34页 可学科网 命组卷网 【解析】 【分析】(1)()当m=30时，得到不低于80分的公司有40家，行业评级为5级的公司有10家，结合 古典概型的概率计算公式，即可求解； (i)根据题意，得到变量X的可能取值为 ,1,2 ,求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即 可求解： 280+m y= (2)根据题意，求得一100，且y∈[2.8,3.4]，再求得行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽 取2家的概率，结合Y和'的关系，分别求得P和P的值，即可得到答案 【小问1详解】 解：()当m=30时，可得性能评分不低于80分的公司有30+10=40家， 其中行业评级为5级的公司有10家， P= 101 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为404： 由记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则X的可能取值为 01,2 可得P=0= 3-435_29 78052, PX=)= CC-300-5 C078013, P(X=2) C= 453 C78052, 所以随机变量X的分布列为 X 0 2 29 5 3 52 13 52 第20页/供34页 学科网命组卷网 所以期望为 (X)=0x29 +1× 2x31 5 5213 522 【小问2详解】 解：由题意，可得10+m+n+20+10=100,可得m+n=60, 5×10+4×m+3×(60-m)+2×20+1×10=280+m 抽取100家公司的行业评级总和为 一 280+m 所以 100,其取值范围为y∈[2.8,3.4]， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 20.204 则两家的评级都为2级的概率为30309，此时Y=2 2010,10、204 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为303030309，平均级别为Y=3.5: 10.101 两家的评级都为5级的概率为30309，平均级别为Y=5, 因为≥28>2，当且仅当Y=2时，满起7<少，此时A=Y<列=号 9 又因为y≤3.4<3.5且y≤3.4<5，当且仅当Y=35或Y=5,满足Y>y, 4.15 此时P=PV>列=g+g9. 所以B<P2 18. 在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD. PA⊥AD,BCI∥AD,∠ADC=90°，PA=AD=CD=3,BC=6F,G PC,PD 分别为棱 上的点， 第21页/共34页 6学科网 命组卷网 PF=FC,PG=2GD (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求平面AFG与平面ABCD夹角的余弦值： (3)若点E为线段PB的中点，判断直线EF是否在平面AFG内？并说明理由. 【答案】(1) 因平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, PALAD,PAC平面PMD,则PAL平面MBCD。 ，则 V14 (2)7: (3) 由可有8a.30.6多》. F11,2),G(0,2,1) F压-G3}元=(-0A-(-12）. 假设BFC平面4G,则B,AF,G四点共面，从而存在实数y,使FE=xFA+FG 第22页/供34页 6学科网命组卷网 =-x-y 2 x=1 5 =-x+y→ 则 2 y=- 3则 即 在平面 内 2 1 2 =-2x-y FE=FA-3FG EF AFG ZA B 【解析】 【分析】(1)由平面PAD⊥平面ABCD结合平面与平面垂直性质可完成证明： (2)由题设，如图过A作DC平行线交BC于L,建立以A为原点的空间直角坐标系，求出平面AFG 与平面ABCD的法向量，据此可得答案： (3)等价于判断是否存在实数y,使FE=xFA+yFG 据此可完成判断。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图过A作DC平行线交BC于L,由题设可得LC=AD=3, 然后如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 则A(0,0,0,P(00,3)C(3,3,0)D(0,3,0)PC=(3,3,-3),PD=(0,3-3) 内m-号cG=2D,F-写G-号PD 3 第23页/供34页 6学科网列组卷网 4F-4P+PC4G-4P+2PD 3 3 ,又P-(@03). 则F=(1,2)4G=(0,2,1),设平面4FG法向量为7=(，，2)， AF.n=x+月+2z=0 则4G”=29+2=0，令y=1可得n可为(3,1-2) 又易得平面ABCD的法向量为%=(0,0，) 设平面4G与平面ABCD夹角为，则osB=0os,网-、 -2 .V14 32+12+227 【小问3详解】 略 +少 √2 19.已知椭圆E:。+万1(a>b>0)的离心率为之，椭圆E上的点到两焦点的距窝之和为26. (1)求椭圆B的方程： (2)设点M(m,0,N(m,0)(m≠m）,过点M的直线l与椭圆E交于不同的两点4，B,点A关于x轴 的对称点记为P(P与B不重合).若mm=6,试判断三点 P,B,N 是否共线？并说明理由. x2.y2 【答案】(1)6+3=1 (2) 依题意，直线'的斜率不能为0，故可设其方程为x=少+m,再设4(，），B(:,乃)，则P(:,) B 第24页/供34页 6学科网命组卷网 联立 63 =十m,整理得(C+2P2+2y+m㎡2-6=0 令A=(2m)-4(+2m2-6)=242-8m2+48>0,即32>m2-6. 则+%2.=5 2tm t2+2. 6 又N(n,0),mn=6,所以m. w0-片.-0 n-x n-x' n-x2n-x2 则kw-kw=片-片=片+h=当(n-)+ya-x) n-xn-x2n-xn-x2（(n-x)(n-x2） 分子 y(n-x2)+y2(n-x)=n(+y2)-x2-x2y =n(y+)-(y+m)y2-(y,+m)y =(n-m)(y+y2)-2yy2 2tm】 =(n-m-+2 21.m2-6 2+2 _2m-2mn+12t-2m_2m2-121+12t-2m=0 t2+2 t2+2 所以Km-kw=0,即w=kn,所以PNI/BN, P,B,N 又V为公共点，所以 三点共线 【解析】 第25页/供34页 命学科网命组卷网 【分析】(1)根据椭圆的定义、离心率及=6+2 求解即可 (2)设出直线方程并与椭圆方程联立，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，通过证明PW与BW共 线，即可得到三点共线 【小问1详解】 因为椭圆E上的点到两焦点的距离之和为26，所2a=2W6,解得a=V6, 区因椭圆E的离心率为2，所以sCV见 √2 a2,所以c=3 所以=a2-c2=3 十 故椭圆E的方程为63 【小问2详解】 略 20.已知函数f()=xn(x+aa>0）.曲线=y)在点(0，f(0》切线方程为y=0 (1)求a的值： (2)求f(:)的单调区间： (3)若0<m<1,曲线y=()在点(m,f(m》,B(-m,f(-m》处的切线分别与x轴交于C(,0), D(x,0),求证：+x<0 【答案】1)】(2)单调递减区何为，0)，单调递暗区回为(0，+切) (3) 电f()=x血(x+),得f(m）=ml血(m+,f（m)=-mh(-m+) 第26页/供34页 6学科网6组卷网 百f=h++i,m-=h(m++.(-h(m++. 所以我y=在专4mfo是的线mh(m+)-[(a+k-. mln(m+1) mln(m+1) 令y=0得h(m+1)+m =m 血(m+1)+m m+1 自线=f(e)在点2(-mf(-m)处的物线方程为+m血（←m+)-a(-m+)+-平c+则） mln(-m+1) mln(-m+1) --mx2= -m ◆y=0用h(a++1,即5h(a++ +龙=m- mh(m+)_+mn(-m+) --m 则 a(a++年a(m++ -h(x1)m(-)h(-m)n( =m a++n(w++司 In(t m+1 =m ()m (m+1)ln(m+1)+(1-m)n(1-m) 1-m)m+1) =m [(a++n(m+】 i设h(m）=(m+lh(m+)+(1-m)h(1-m),0<m<1 第27页/供34页 命学科网命组卷网 则(m)=h(m+)-lh(1-m）)=nm+l 1-m, m+I>1(m)=InmtI>o 由于0<m<1,则1<m+1<2,0<1-m<1,则1-m,即" 1-m 所以函数h(m在(0,1)上单调递指，则hm)>h(0)=0, 即(m+)血(m+l)+(1-m)n(1-m)>0 由于0<m<1,则m2>0,(1-m(m+1)>0 由(2)知，1<x<0时，()<0.x>0时，'()>0 则f)=a(a++>0.f八-mj-h(-m+n1<0 (m+1)ln(m+1)+(1-m)n(1-m) (1-m)(m+1) 所以+x32=m2 <0 in(( 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义结合题设直接求解即可： (2)求导，利用导数的正负分析函数的单调区间； (m+1)n(m+1)+(1-m)ln(1-m) (1-m)(m+1) (3)先由导数的几何意义结合题设得到x+x,=m m 进而 I(m+1)+ +1 构造函数(m)=(m+l)血(m+)+1-m)血(1-m,0<m<1,利用导数分析西数的单调性，进而求证 即可 【小问1详解】 由f()=x血(x+a) 第28页/供34页 6学科网列组卷网 则f)=h(+a千a,用了o=na=0,则a=l 【小问2详解】 由年.因h(x+x,则=hn++点. 段8闭(++1，则8)+产t 1'+旷*i+y>0 所以函数8（四在-，+o)上单调递增，又8(0）=0， 则-1<x<0时，8()=f'()<0,x>0时，8()=f"(>0 所以西数（女的单调递减区阿为(，0），单调递增区何为(0，+切) 【小问3详解】 略 21设n为正整数且n≥3，若由实数数对组成的序列4：(，)(：，…，（化）满足对任意 i2,,m叫，均有+=l,则称A为一个U序列.若对一个U序列4，存在有序实数组 (,,…a) 其 中 ,e{-1,1},i=l,2,…,n) 使 得 x+元x++x+++…+≤1，则称A为一个V序列. a已42344 判断序列A是否为U序列？序列A是否为V序列？说明 理由； (2)当n=4时，判断是否存在U序列A:(,),(3乃，(：，乃(x,）不是V序列？若存在，请举 出一个符合要求的U序列：若不存在，说明理由： 第29页/供34页 6学科网命组卷网 （3)若任意U序列4：(，少)(，少小…(x,.)均是Ψ序列，求n的所有可能取值. 【答案】(1)序列A为序列，也是V序列： (2)存在， A:(0,1),(0,1),(0,1),(1,0) (3)n的所有可能取值为大于等于3的奇数. 【解析】 【分析】(1)根据0序列和V序列的定义判断即可： A:(0,1),(0,1),(0,1),(1,0) (2)举例 再根据新定义判断即可： (3)分n为偶数和n为奇数讨论，其中当n为奇数时，再细致分两类情况讨论即可. 【小问1详解】 可知序列4为U序列. 取(，)=，山-少，有 +5+4(x4, 版+++++-君利】 ,所以序列A为V序列 【小问2详解】 存在0序列A:(,)((玉水(）不是"序列 取X=为=无==0片=2=⅓=x4=1 则+y=li=12,34 第30页/供34页 6学科网列组卷网 所以此时序列 :0,.0,D.0,,4,0)是'序列. 对任意有序实数组（，，2)∈{-1,1，i=1,23,4 可得名x+++元x=2=1 2y+2y2+y+九4y4=2+元2+3≥1 从而2+++九x+3y+,2+元+元≥2 所以序列A不是V序列. 【小问3详解】 若n为偶数，则n≥4. 取==…=X==0,片=%=…=y1=xn=1 则对于每个整数，ie机，2…，m均有+以=1， 所以此时数对序列A是0序列. 对任意有序实数组(，名，…，)∈{-1，，i=12,,n 2x+元2x2+…+九xn=2=1 2y+乃y2+…+九y=2+元2+…+九n 所以闪+元++元与风+++=n-1的奇偶性相同。 所以+名+…+为奇数，从而+入++>0 所以3，x+5+++A+25+…+元>1 所以序列A不是严序列. 若n为奇数，则n≥3. 第31页/供34页 6学科网列组卷网 若对于一个V序列A,将其中的数对)更换为(-）， 或者将(：，)与少)对换位置，序列A仍然是V序列.， 所以不妨设对于任意1e孔2，…，心，均有乃≥0， 取=()，ie,2…,m,则 ①若对于每个1e孔，2，…，网，均有≥0，不妨设之≥…之， 则有≥y12…y≥0 y=1-x,ie{L,2,…,n x+2为3+…+九xn=(x-x2)+(xn-2-xn）+xn≥0 x+元2++x。=x-(x2-)--(x1-x)≤x≤x≤1 则有3+5++九+3y+++ =2x+232+…+九x+1-(x+x2+…+x) =元x+2x2+…+元nxn+1-(2x+3x2+…+九nxn)=1 ②若存在6∈，2，m,使得名<0， 则可设≥2…之≥0≥x之…≥x i记a=+6++。.b=-nkl-乃2x2--x。 当m为偶数时， a=(-x)+(x-x4)+…+(xm1-xm)≥0 b=-xm1+(xm2-xm+3)+(xm4-Xm5)++(xn1-x)≥0 第32页/供34页 6学科网6组卷网 同时a=x-(名-)-(x-)--(x2-x)-xn≤x≤1 b=(xm+2-xmH)+(xm+4-xm+3）小…+(xn1-xn-2)-xn≤-x,≤k≤1 当m为奇数时， a=(x-x2)+(x-x4)+…+(xm-2-xm)+xm≥0 b=(xml-xm+2)+(xm+3-xm+4)+…+(xn1-xn)≥0 同时a=-(名-为)-（化-）-(x-x)≤x≤1 b=xm1+(xnm3-xm+2)+(xm5-xm4）…+(xn1-xn-2)-xn≤-xn=x≤1 综上可得a,be0,1] 由己知条件得+y=l,ie,2…,m及+y=ljem+,…,吗 则有+25++元，x=a-b y+九22+…+yn =[A(1-x)+乃(1-x2)+…+元(1-xm】+[2m41(1+xmi)+元m+2(1+xmi)+…+,(1+x] =(2+乃2+…+)-(2x+x3+…+元nxm)+(2mHxm1+九m+2xm2+…+九xn）=1-a-b 不妨设a≥b, 若1-a-b≥0，则la-b+1-a-=a-b+1-a-b=1-2b≤1 若l-a-b<0,则la-+l-a-b=a-b+a+b-1=2a-1s1 综上可知，n的所有可能取值为大于等于3的奇数. 第33页/供34页 命学科网组卷网 第34页/共34页 北京市朝阳区2025~2026学年度第一学期期末质量检测 高三数学试卷 2026.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. 6 B. 9 C. 15 D. 81 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，直线，若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则的取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 心理物理学中，史蒂文斯幂定律的对数形式可描述物理刺激强度与主观感知强度的关系：，其中均为大于0的常数．已知当物理刺激强度从16单位增加到256单位时，增加8；当物理刺激强度从256单位增加到1024单位时，增加（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ①②④ 10. 在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的最小正周期是___________． 12. 已知，则___________；___________. 13. 若双曲线的离心率，则的一个取值为___________． 14. 在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________． 15. 在长方体中，，动点分别在棱和上（包含端点），为线段的中点．给出下列四个结论： ①点的轨迹是线段； ②的最小值为； ③对于给定的点，总存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是矩形； ④存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是正方形． 其中所有正确结论的序号为___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数. （1）当时，求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数唯一确定，求的解析式及在区间上的最大值与最小值. 条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值； 条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于； 条件③：在区间上单调递增，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （1）当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 18. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 19. 已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由． 20. 已知函数．曲线在点切线方程为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：． 21. 设为正整数且，若由实数数对组成的序列满足对任意，均有，则称为一个序列．若对一个序列，存在有序实数组（其中）使得，则称为一个序列． （1）已知序列，判断序列是否为序列？序列是否为序列？说明理由； （2）当时，判断是否存在序列不是序列？若存在，请举出一个符合要求的序列；若不存在，说明理由； （3）若任意序列均是序列，求的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $