北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题

北京市朝阳区2025~2026学年度第一学期期末质量检测 高三数学试卷 2026.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. 6 B. 9 C. 15 D. 81 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，直线，若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则的取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 心理物理学中，史蒂文斯幂定律的对数形式可描述物理刺激强度与主观感知强度的关系：，其中均为大于0的常数．已知当物理刺激强度从16单位增加到256单位时，增加8；当物理刺激强度从256单位增加到1024单位时，增加（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ①②④ 10. 在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的最小正周期是___________． 12. 已知，则___________；___________. 13. 若双曲线的离心率，则的一个取值为___________． 14. 在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________． 15. 在长方体中，，动点分别在棱和上（包含端点），为线段的中点．给出下列四个结论： ①点的轨迹是线段； ②的最小值为； ③对于给定的点，总存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是矩形； ④存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是正方形． 其中所有正确结论的序号为___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数. （1）当时，求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数唯一确定，求的解析式及在区间上的最大值与最小值. 条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值； 条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于； 条件③：在区间上单调递增，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （1）当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 18. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 19. 已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由． 20. 已知函数．曲线在点切线方程为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：． 21. 设为正整数且，若由实数数对组成的序列满足对任意，均有，则称为一个序列．若对一个序列，存在有序实数组（其中）使得，则称为一个序列． （1）已知序列，判断序列是否为序列？序列是否为序列？说明理由； （2）当时，判断是否存在序列不是序列？若存在，请举出一个符合要求的序列；若不存在，说明理由； （3）若任意序列均是序列，求的所有可能取值． 北京市朝阳区2025~2026学年度第一学期期末质量检测 高三数学试卷 2026.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）选条件②或③，；取得最小值，取得最大值 【17题答案】 【答案】（1）（i）； （ii） 0 1 2 期望为 （2） 【18题答案】 【答案】（1） 因平面平面，平面平面， ，平面，则平面； （2）； （3） 由（2）可得，，. 则。 假设平面，则四点共面，从而存在实数，使， 则.则，即在平面内. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 依题意，直线的斜率不能为0，故可设其方程为，再设，，则. 联立，整理得. 令，即. 则，. 又，，所以. 又，， 则. 分子 所以，即，所以， 又为公共点，所以三点共线. 【20题答案】 【答案】（1）1 （2）单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 由，得，， 而，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，即. 曲线在点处的切线方程为， 令，得，即. 则 ， ， 设， 则， 由于，则，，则，即， 所以函数在上单调递增，则， 即， 由于，则，， 由（2）知，时，，时，， 则，， 所以. 【21题答案】 【答案】（1）序列为序列，也是序列； （2）存在，； （3）的所有可能取值为大于等于3的奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $