第4章 概率（知识清单）数学湘教版九年级下册

第四章 概率 1. 必然事件：在一定条件下， 会发生的事件叫做必然事件，概率为 。 2. 不可能事件：在一定条件下， 的事件叫做不可能事件，概率为 。必然事件和不可能事件统称为 。 3. 随机事件：在一定条件下， 的事件叫做随机事件，也叫 ，概率为 。 4.概念的定义：用来刻画随机事件发生的可能性大小的 ，叫做这个随机事件发生的概率，记为 （A表示具体的随机事件）。概率是 ，是一个 ，不受 影响。 5. 概率的取值范围及求法：所有事件的概率都满足： ； 当 时，P(A)=1；当A为不可能事件时， ； 当 时，0<P(A)<1。若一次试验有n个等可能结果，随机事件A包含其中的m个结果，则随机事件A发生的概率为：P(A)= (n：试验的所有等可能结果的总数；m：随机事件A所包含的等可能结果的个数)。 6.求概率的方法：① ：直接将试验的所有等可能结果一一列举出来，数出总结果数n和事件A包含的结果数m，再代入公式计算。（注意： ）；② ：将第一步试验的所有结果列为表格的行，第二步试验的所有结果列为表格的列，表格内的单元格为两步试验的组合结果，数出n和m后计算概率。（区分放回试验和不放回试验，放回时行、列结果数不变，不放回时需剔除重复的组合结果）； ③ ：按照试验的步骤分层画树状图，第一层为第一步试验的所有结果，第二层为第二步试验的所有结果（从第一层每个结果出发画分支），依次类推，树状图的最后一层所有分支为试验的所有等可能结果，数出n和m后计算概率。（不放回试验时，后续步骤的分支结果数依次递减，剔除已出现的结果）。 7. 频数：在多次重复试验中，某个 发生的次数，叫做事件A发生的频数，记为m。 8. 频率：在多次重复试验中，随机事件A发生的频数与试验总次数的比值，叫做事件A发生的频率。计算公式：频率= 。(频率具有随机性，同一事件在不同次数的试验中，频率可能不同)。 9.频率的稳定性：随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定在 附近摆动，这种现象称为频率具有 。 10.用频率估计概率：当试验的结果不是有限个，或每个结果发生的可能性不相等时，利用 得到的频率来估计该随机事件的概率，这种方法叫做用频率估计概率。 11. 频率与概率的关系：概率是事件A本身的 ，是一个 ，而频率与实验次数有关，没有实验就没有频率，不是事件A的本身属性。然而在大量重复试验的情况下，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定到某个 ，这个数值就是该事件的概率。（通俗理解：大量重复试验时，频率≈概率，试验次数越多，频率越接近概率）。 备考建议与方向： 1. 区分几大事件的概念，能对某一事件作出正确的判断； 2. 掌握求概率、频率的基本公式，会求概率和频率； 3. 理解概率与频率的区别，会运用频率估算概率解决实际问题； 4. 会熟练使用列举法、列表法、画树状图法求事件A的概率。 错误1：忽略等可能事件的前提，盲目套用公式P(A)= 注 意：等可能事件的概率的两个前提缺一不可：① 试验结果有限；② 每个结果发生的可能性相等。若结果不等可能，即使结果有限，也不能用P(A)=算概率。 例题1：将一枚不均匀的骰子掷一次，掷出点数6的概率为。 错误解法：√ 错 因：骰子不均匀，导致6个点数出现的可能性不等，不满足等可能事件的前提，无法用公P(A)式计算。 正确结论：× 例题2：一个转盘被分成红、黄两个区域，红色区域面积占，黄色占，转动转盘，求指针落在黄色区域的概率。 错误解法：总结果2种（红、黄），黄色1种，故P(黄)=。 错因：转盘两区域面积不等，指针落在两区域的可能性不等，忽略等可能前提。 正确解法：根据区域面积占比计算，P(黄)=。 错误2：混淆放回试验与不放回试验的本质，导致总结果数计算错误 注意：放回试验：每次试验后，将样本放回，总结果数始终不变（如摸球后放回，每次摸球的样本总数相同）； 不放回试验：每次试验后，样本不放回，总结果数依次递减（如摸球后不放回，下次摸球的样本总数减少1）。 例题1：袋中有2个红球，记R1、R2和1个白球，记W，从中依次摸2个球，求两次都摸到红球的概率。 情况1：放回摸球（错误+正确解法） 错误解法：总结果数3×2=6种，两次红球有2种， 错因：放回试验，每次摸球均有3种结果，总结果数应为3×3=9； 正确解法：列表法列所有结果（9种），两次红球结果为(R1,R1)、(R1,R2)、(R2,R1)、(R2,R2)（4种），所以P=。 情况2：不放回摸球（正确解法） 总结果数3×2=6种，两次红球结果为(R1,R2)、(R2,R1)（2种），。 例题2：从一副52张扑克牌中抽2张牌，放回抽和不放回抽的总结果数相同。 错误解法：√ 错因：放回抽总结果数52×52，不放回抽为52×51，结果数不同。 正确结论：× 错误3：将频率等同于概率，忽略频率的随机性 注 意： ，是试验后的结果，具有随机性，同一事件不同试验次数的频率可能不同；概率：事件本身的固有属性，是固定值，不受试验次数影响。只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，可用频率估计概率，而非直接等同。 例题1：抛一枚质地均匀的硬币，抛10次，正面朝上6次，判断：该硬币正面朝上的概率为0.6。 错误结论：√ 错 因：试验次数过少，频率（0.6）仅为本次试验结果，不能直接当作概率（固定值0.5）。 正确结论：× 例题2：某同学做投篮试验，结果如下表，有同学认为“投篮50次时，命中率0.84就是投篮命中的概率”，请判断并说明理由。 投篮次数n 10 20 50 100 200 命中次数m 8 17 42 83 168 频率m/n 0.8 0.85 0.84 0.83 0.84 错误结论：该说法正确，概率为0.84； 错因：频率虽逐渐稳定，但仅50次试验的频率不能直接等同概率； 正确解答：该说法错误，投篮命中的概率需通过大量重复试验，用稳定后的频率估计，本题中试验次数增多后频率稳定在0.84附近，可估计概率为0.84，而非直接认定。 错误4：列举试验结果时重复或遗漏，忽略结果的顺序性 注意：对于两步及以上的试验，若试验步骤有先后（如先后掷两枚骰子、依次摸两个球），结果具有顺序性，(A,B)和(B,A)是两个不同的结果，列举时需单独列出，否则会出现遗漏；若结果无顺序（如一次性摸两个球），则需避免重复计数。 例题1：同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为5的概率。 错误解法：列出点数和为5的结果：(1,4)、(2,3)，共2种，总结果36种，； 错 因：忽略结果的顺序性，(4,1)、(3,2)也是点数和为5的结果，属于遗漏结果； 正确解法：点数和为5的结果有(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2)，共4种，。 例题2：依次掷两枚骰子，结果(1,2)和(2,1)是同一个结果。 错误解法：√ 错 因：依次掷骰子有先后顺序，两个结果代表不同的投掷情况，是两个不同结果。 正确结论：× 错误5：混淆等可能事件概率中的m和n的含义，导致分子分母颠倒 注 意：等可能事件概率公式中， n为试验的所有等可能结果总数（整体）； m为事件A包含的等可能结果数（部分）。两者不可颠倒，且m<n，故概率取值一定在0至1之间，若计算结果大于1，必为分子分母颠倒。 例题1：掷一枚质地均匀的骰子，求掷出偶数点的概率。 错误解法：偶数点有3种（2、4、6），总结果6种，； 错 因：将分子分母颠倒，误把总结果数当作m，事件结果数当作n； 正确解法：。 例题2:从1、2、3、4、5这5个数字中随机抽1个，求抽到奇数的概率。 错误解法：奇数有3个，总结果5个，； 错 因：分子分母颠倒，且结果大于1，明显不符合概率取值范围； 正确解法：。 重难点01 随机事件、必然事件、不可能事件的判断 【典例1】下列成语描述的事件是不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．一箭双雕 D．旭日东升 【典例2】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．在地面向上抛出一个篮球还会下落 B．三角形的三个内角之和等于 C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．掷一枚硬币次，仅有1次正面朝上 【典例3】下列事件为必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，正面朝上 B．校园排球赛，九年级三班获得冠军 C．三角形内角和为 D．打开电视，正在直播神舟二十号载人飞船发射情况 重难点02 等可能事件概率计算 【典例1】一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． (1)求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； (2)若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． 【典例2】黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 重难点03 用列举法列表法、树状图、求概率 【典例1】有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明． 【典例2】一张圆桌旁设有四个座位，先坐在如图所示的座位上，、、三人等可能地坐到其他三个座位上． (1)与不相邻而坐的概率为 ； (2)求与、均相邻而坐的概率． 【典例3】平遥古城非遗店铺推出剪纸纪念品盲抽活动，柜台里有四种山西特色剪纸，分别是“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，每种剪纸各有1张，共4张，打乱后供游客抽取．游客小王随机抽取2张作为纪念． (1)小王第一次抽取就拿到“应县木塔”剪纸的概率是______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率． 【典例4】近日，教育部举办了《第七届中华经典诵写讲大赛》，本届大赛分为“诵读中国”经典诵读、“诗教中国”诗词讲解、“笔墨中国”汉字书写和“印记中国”师生篆刻比赛四个类别． (1)我校学生会从有意向参与比赛的学生中抽取若干名学生进行问卷调查，若报名参赛的同学每人只能参加一个类别，那么莹莹同学从中随机选择恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为______； (2)经过激烈角逐，我校走走老师率领初中部选拔出的两位同学莹莹和格格闯入“诗教中国”诗词讲解比赛决赛，比赛规则是：组委会提供主题为“清明”“端午”“七夕”“重阳”“中秋”的五组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组题目，选手根据题目要求进行诗词讲解，评委根据讲解情况给选手打分．请用列表或画树状图的方法，求出莹莹和格格两名选手拿到的题目恰好在同一组的概率． 重难点04 几何概率 【典例1】小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 【典例2】（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【典例3】（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 重难点05 用频率估计概率的应用 【典例1】区林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 84 279 505 892 6384 13560 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.892 0.912 0.904 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率（精确到0.01）为（   ） A．0.93 B．0.91 C．0.90 D．0.89 【典例2】已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共500个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为 个． 【典例3】一个不透明口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”的两种小球共20个，它们除表面所写汉字不同外其他完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到写有“如意”的球的频率稳定在，估计这个口袋中写有“吉祥”的球的个数． ∴口袋中写有“吉祥”的球的个数为． 重难点06 概率与统计综合 【典例1】中小学春秋假主要基于回归教育本质、引导学生实践体验、优化公共服务与旅游发展等因素．仁寿县2025年秋假期间，某校鼓励学生外出参加社会实践活动，为方便学生更好地完成社会实践活动，学校为学生推荐了、、、四个地方．9年级1班对全班学生到四个地方的人数情况进行了问卷调查，每一个学生只能够选择一个地方，并根据问卷情况绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)9年级1班共有学生_____________人；扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为_____________； (2)将条形统计图补充完整； (3)已知去地的四名学生中男女学生各两名，要抽取其中两名学生来做本次实践活动的方案，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【典例2】某校开展了学习党史的知识竞赛活动．全体初三年级学生的比赛成绩根据结果分为四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知：该校初三共有___________名学生，比赛成绩等级为级的学生有___________人； (2)的值为：___________，B等级所对的圆心角为___________度； (3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率． 【典例3】某校的课后服务活动采用了四种活动形式：A．跑步，B．跳绳，C．做操，D．游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： (1)本次调查学生共 人，扇形统计图中“跳绳”部分对应的圆心角为 度； (2)若该校有学生4000人，估计该校选择“做操”这种活动的学生约有 人； (3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 概率 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，概率为1。 2. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件，概率为0。必然事件和不可能事件统称为确定事件。 3. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，也叫不确定事件，概率为0<P<1。 4.概念的定义：用来刻画随机事件发生的可能性大小的数值，叫做这个随机事件发生的概率，记为P(A)（A表示具体的随机事件）。概率是事件本身的固有属性，是一个固定值，不受试验次数影响。 5. 概率的取值范围及求法：所有事件的概率都满足：0≤ P(A)≤ 1； 当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0； 当A为随机事件时，0<P(A)<1。若一次试验有n个等可能结果，随机事件A包含其中的m个结果，则随机事件A发生的概率为：P(A)= (n：试验的所有等可能结果的总数；m：随机事件A所包含的等可能结果的个数)。 6.求概率的方法：①列举法：直接将试验的所有等可能结果一一列举出来，数出总结果数n和事件A包含的结果数m，再代入公式计算。（注意：列举时不重复、不遗漏）；② 列表法：将第一步试验的所有结果列为表格的行，第二步试验的所有结果列为表格的列，表格内的单元格为两步试验的组合结果，数出n和m后计算概率。（区分放回试验和不放回试验，放回时行、列结果数不变，不放回时需剔除重复的组合结果）； ③树状图法：按照试验的步骤分层画树状图，第一层为第一步试验的所有结果，第二层为第二步试验的所有结果（从第一层每个结果出发画分支），依次类推，树状图的最后一层所有分支为试验的所有等可能结果，数出n和m后计算概率。（不放回试验时，后续步骤的分支结果数依次递减，剔除已出现的结果）。 7. 频数：在多次重复试验中，某个随机事件A发生的次数，叫做事件A发生的频数，记为m。 8. 频率：在多次重复试验中，随机事件A发生的频数与试验总次数的比值，叫做事件A发生的频率。计算公式：频率==。(频率具有随机性，同一事件在不同次数的试验中，频率可能不同)。 9.频率的稳定性：随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定在一个常数P附近摆动，这种现象称为频率具有稳定性。 10.用频率估计概率：当试验的结果不是有限个，或每个结果发生的可能性不相等时，利用大量重复试验得到的频率来估计该随机事件的概率，这种方法叫做用频率估计概率。 11. 频率与概率的关系：概率是事件A本身的固有属性，是一个固定值，而频率与实验次数有关，没有实验就没有频率，不是事件A的本身属性。然而在大量重复试验的情况下，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定到某个固定的数值，这个数值就是该事件的概率。（通俗理解：大量重复试验时，频率≈概率，试验次数越多，频率越接近概率）。 备考建议与方向： 1. 区分几大事件的概念，能对某一事件作出正确的判断； 2. 掌握求概率、频率的基本公式，会求概率和频率； 3. 理解概率与频率的区别，会运用频率估算概率解决实际问题； 4. 会熟练使用列举法、列表法、画树状图法求事件A的概率。 错误1：忽略等可能事件的前提，盲目套用公式P(A)= 注 意：等可能事件的概率的两个前提缺一不可：① 试验结果有限；② 每个结果发生的可能性相等。若结果不等可能，即使结果有限，也不能用P(A)=算概率。 例题1：将一枚不均匀的骰子掷一次，掷出点数6的概率为。 错误解法：√ 错 因：骰子不均匀，导致6个点数出现的可能性不等，不满足等可能事件的前提，无法用公P(A)式计算。 正确结论：× 例题2：一个转盘被分成红、黄两个区域，红色区域面积占，黄色占，转动转盘，求指针落在黄色区域的概率。 错误解法：总结果2种（红、黄），黄色1种，故P(黄)=。 错因：转盘两区域面积不等，指针落在两区域的可能性不等，忽略等可能前提。 正确解法：根据区域面积占比计算，P(黄)=。 错误2：混淆放回试验与不放回试验的本质，导致总结果数计算错误 注意：放回试验：每次试验后，将样本放回，总结果数始终不变（如摸球后放回，每次摸球的样本总数相同）； 不放回试验：每次试验后，样本不放回，总结果数依次递减（如摸球后不放回，下次摸球的样本总数减少1）。 例题1：袋中有2个红球，记R1、R2和1个白球，记W，从中依次摸2个球，求两次都摸到红球的概率。 情况1：放回摸球（错误+正确解法） 错误解法：总结果数3×2=6种，两次红球有2种， 错因：放回试验，每次摸球均有3种结果，总结果数应为3×3=9； 正确解法：列表法列所有结果（9种），两次红球结果为(R1,R1)、(R1,R2)、(R2,R1)、(R2,R2)（4种），所以P=。 情况2：不放回摸球（正确解法） 总结果数3×2=6种，两次红球结果为(R1,R2)、(R2,R1)（2种），。 例题2：从一副52张扑克牌中抽2张牌，放回抽和不放回抽的总结果数相同。 错误解法：√ 错因：放回抽总结果数52×52，不放回抽为52×51，结果数不同。 正确结论：× 错误3：将频率等同于概率，忽略频率的随机性 注 意： ，是试验后的结果，具有随机性，同一事件不同试验次数的频率可能不同；概率：事件本身的固有属性，是固定值，不受试验次数影响。只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，可用频率估计概率，而非直接等同。 例题1：抛一枚质地均匀的硬币，抛10次，正面朝上6次，判断：该硬币正面朝上的概率为0.6。 错误结论：√ 错 因：试验次数过少，频率（0.6）仅为本次试验结果，不能直接当作概率（固定值0.5）。 正确结论：× 例题2：某同学做投篮试验，结果如下表，有同学认为“投篮50次时，命中率0.84就是投篮命中的概率”，请判断并说明理由。 投篮次数n 10 20 50 100 200 命中次数m 8 17 42 83 168 频率m/n 0.8 0.85 0.84 0.83 0.84 错误结论：该说法正确，概率为0.84； 错因：频率虽逐渐稳定，但仅50次试验的频率不能直接等同概率； 正确解答：该说法错误，投篮命中的概率需通过大量重复试验，用稳定后的频率估计，本题中试验次数增多后频率稳定在0.84附近，可估计概率为0.84，而非直接认定。 错误4：列举试验结果时重复或遗漏，忽略结果的顺序性 注意：对于两步及以上的试验，若试验步骤有先后（如先后掷两枚骰子、依次摸两个球），结果具有顺序性，(A,B)和(B,A)是两个不同的结果，列举时需单独列出，否则会出现遗漏；若结果无顺序（如一次性摸两个球），则需避免重复计数。 例题1：同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为5的概率。 错误解法：列出点数和为5的结果：(1,4)、(2,3)，共2种，总结果36种，； 错 因：忽略结果的顺序性，(4,1)、(3,2)也是点数和为5的结果，属于遗漏结果； 正确解法：点数和为5的结果有(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2)，共4种，。 例题2：依次掷两枚骰子，结果(1,2)和(2,1)是同一个结果。 错误解法：√ 错 因：依次掷骰子有先后顺序，两个结果代表不同的投掷情况，是两个不同结果。 正确结论：× 错误5：混淆等可能事件概率中的m和n的含义，导致分子分母颠倒 注 意：等可能事件概率公式中， n为试验的所有等可能结果总数（整体）； m为事件A包含的等可能结果数（部分）。两者不可颠倒，且m<n，故概率取值一定在0至1之间，若计算结果大于1，必为分子分母颠倒。 例题1：掷一枚质地均匀的骰子，求掷出偶数点的概率。 错误解法：偶数点有3种（2、4、6），总结果6种，； 错 因：将分子分母颠倒，误把总结果数当作m，事件结果数当作n； 正确解法：。 例题2:从1、2、3、4、5这5个数字中随机抽1个，求抽到奇数的概率。 错误解法：奇数有3个，总结果5个，； 错 因：分子分母颠倒，且结果大于1，明显不符合概率取值范围； 正确解法：。 重难点01 随机事件、必然事件、不可能事件的判断 【典例1】下列成语描述的事件是不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．一箭双雕 D．旭日东升 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），分析各成语的含义，即可作答． 【详解】解：A、水中捞月：月亮在水中仅为倒影，无法实际捞取，一定不会发生，为不可能事件； B、守株待兔：兔子可能偶然撞树桩，不是不可能事件； C、一箭双雕：可能发生，不是不可能事件； D、旭日东升：太阳从东方升起是必然事件，不是不可能事件； 故选：A． 【典例2】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．在地面向上抛出一个篮球还会下落 B．三角形的三个内角之和等于 C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．掷一枚硬币次，仅有1次正面朝上 【答案】D 【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 本题主要考查了随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义是解题关键． 【详解】∵ A：篮球受重力作用总会下落，是必然事件； ∵ B：三角形内角和恒为，是必然事件； ∵ C：袋中只有红球，摸出白球是不可能事件； ∵ D：掷硬币结果不确定，正面朝上次数随机，是随机事件。 故选：D． 【典例3】下列事件为必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，正面朝上 B．校园排球赛，九年级三班获得冠军 C．三角形内角和为 D．打开电视，正在直播神舟二十号载人飞船发射情况 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、掷一枚硬币，正面可能朝上，也可能朝下，不是必然事件，不符合题意； B、校园排球赛，九年级三班可能获得冠军，也可能没有获得冠军，不是必然事件，不符合题意； C、三角形内角和为，是必然事件，符合题意； D、打开电视，可能正在直播神舟二十号载人飞船发射情况，也可能不正在直播神舟二十载人飞船发射情况，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 重难点02 等可能事件概率计算 【典例1】一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． (1)求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； (2)若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据再放入5个蓝球后盒子篮球的总个数和球的总个数求出从中随机摸出一个球是蓝球的概率即可． 【详解】（1）解：蓝球个数：（个）， 摸出蓝球的概率：． （2）解：放入5个蓝球后，蓝球总个数为： （个）， 总球数为（个）， ∴此时摸出一个球是蓝球的概率：． 【典例2】黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 重难点03 用列举法列表法、树状图、求概率 【典例1】有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，列举法求概率，利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3， 5 ，6）、（3， 5， 9）、（3 ，6，9）、（5， 6， 9）四种等可能结果， 其中能组成三角形的有（3 ，5 ，6）、（5 ，6 ，9）两种等可能结果， 所以能组成三角形的概率 【典例2】一张圆桌旁设有四个座位，先坐在如图所示的座位上，、、三人等可能地坐到其他三个座位上． (1)与不相邻而坐的概率为 ； (2)求与、均相邻而坐的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键； （1）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． （2）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由于的位置已经确定，、、随机而坐的情况共有6种（如图所示）： 6种情况出现的可能性相同．其中与不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：； （2）与、均相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：． 【典例3】平遥古城非遗店铺推出剪纸纪念品盲抽活动，柜台里有四种山西特色剪纸，分别是“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，每种剪纸各有1张，共4张，打乱后供游客抽取．游客小王随机抽取2张作为纪念． (1)小王第一次抽取就拿到“应县木塔”剪纸的概率是______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，列表法或画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）根据列举法求概率进行解答即可； （2）根据列表法或画树状图求概率进行解答即可． 【详解】（1）解：小王第一次抽取的结果有“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，共4种等可能性的结果，其中拿到“应县木塔”剪纸的概率是． 故答案为：． （2）解：将“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”剪纸依次记作A、B、C、D，画树状图如下： 共有12种等可能性的结果，其中恰好有“黄河壶口瀑布”剪纸的结果有6种， ∴P（恰好有“黄河壶口瀑布”剪纸）， 答：小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率是． 【典例4】近日，教育部举办了《第七届中华经典诵写讲大赛》，本届大赛分为“诵读中国”经典诵读、“诗教中国”诗词讲解、“笔墨中国”汉字书写和“印记中国”师生篆刻比赛四个类别． (1)我校学生会从有意向参与比赛的学生中抽取若干名学生进行问卷调查，若报名参赛的同学每人只能参加一个类别，那么莹莹同学从中随机选择恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为______； (2)经过激烈角逐，我校走走老师率领初中部选拔出的两位同学莹莹和格格闯入“诗教中国”诗词讲解比赛决赛，比赛规则是：组委会提供主题为“清明”“端午”“七夕”“重阳”“中秋”的五组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组题目，选手根据题目要求进行诗词讲解，评委根据讲解情况给选手打分．请用列表或画树状图的方法，求出莹莹和格格两名选手拿到的题目恰好在同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）利用概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：莹莹同学从“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”和“印记中国”中随机选择一个，恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为， 故答案为：； （2）解：令“清明”、“端午”、“七夕”、“重阳”、“中秋”五个主题依次为A、B、C、D、E．     格格 莹莹 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中莹莹和格格两名选手拿到的主题相同的结果有5种，所以P（两人拿到的主题相同）． 重难点04 几何概率 【典例1】小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 【答案】小张更有可能获得奖品，理由见解析 【分析】本题考查了几何概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键； 根据概率公式分别计算出小张和小李获奖的概率并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，两个图形靶的边长都是． 图形靶一：， ． 图形靶二：， ． ， 即（小张获得奖品）（小李获得奖品）， ∴小张更有可能获得奖品． 【典例2】（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 【典例3】（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 重难点05 用频率估计概率的应用 【典例1】区林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 84 279 505 892 6384 13560 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.892 0.912 0.904 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率（精确到0.01）为（   ） A．0.93 B．0.91 C．0.90 D．0.89 【答案】C 【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率稳定于概率. 由表可知，随着移植棵数增加，成活频率在0.904附近稳定，故估计概率为0.90（精确到0.01）． 【详解】解：∵移植棵数为15000时，成活频率为0.904， ∴估计成活概率为0.90（精确到0.01）， 故选：C． 【典例2】已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共500个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为 个． 【答案】165 【分析】本题考查了由频率估计概率．解题的关键在于熟练掌握：大量重复实验时，事件发生的频率逐渐稳定于某个固定的值，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， ∴摸到红球的概率为， ∴（个）， 故答案为：． 【典例3】一个不透明口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”的两种小球共20个，它们除表面所写汉字不同外其他完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到写有“如意”的球的频率稳定在，估计这个口袋中写有“吉祥”的球的个数． 【答案】9个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用概率求数量． 摸到“如意”球的概率约为，计算“如意”球数量后求差得“吉祥”球数量． 【详解】解：∵摸到“如意”球的频率稳定在， ∴摸到“如意”球的概率约为， ∴口袋中写有“如意”的球的个数为， ∴口袋中写有“吉祥”的球的个数为． 重难点06 概率与统计综合 【典例1】中小学春秋假主要基于回归教育本质、引导学生实践体验、优化公共服务与旅游发展等因素．仁寿县2025年秋假期间，某校鼓励学生外出参加社会实践活动，为方便学生更好地完成社会实践活动，学校为学生推荐了、、、四个地方．9年级1班对全班学生到四个地方的人数情况进行了问卷调查，每一个学生只能够选择一个地方，并根据问卷情况绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)9年级1班共有学生_____________人；扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为_____________； (2)将条形统计图补充完整； (3)已知去地的四名学生中男女学生各两名，要抽取其中两名学生来做本次实践活动的方案，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)40； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息的关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和熟知概率公式是解题的关键． （1）用D的人数除以其人数占比可求出9年级1班的人数，再用360度乘以C的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）根据（1）所求求出B的人数，再补全统计图即可； （3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽到一名男生一名女生的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：人， ∴9年级1班共有学生40人， ∴扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为； （2）解：B的人数为人， 补全统计图如下： （3）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一名男生一名女生的结果数有8种， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【典例2】某校开展了学习党史的知识竞赛活动．全体初三年级学生的比赛成绩根据结果分为四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知：该校初三共有___________名学生，比赛成绩等级为级的学生有___________人； (2)的值为：___________，B等级所对的圆心角为___________度； (3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，用列表法或树状图法求概率，求扇形统计图相关数据，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用成绩等级为等级的人数除以所占的比例即可得出总人数，用总人数减去其他等级的人数即可得出成绩等级为级的学生人数； （2）用成绩等级为等级的人数除以总人数即可得出的值，用乘以成绩为等级所占的比例即可得出结果； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：该校初三共有名学生； 比赛成绩等级为级的学生有（人）； 故答案为：；； （2）解：，故； B等级所对的圆心角为； （3）解：画树状图可得： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为种， 故抽取的2人中至少有1个女生的概率为． 【典例3】某校的课后服务活动采用了四种活动形式：A．跑步，B．跳绳，C．做操，D．游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： (1)本次调查学生共 人，扇形统计图中“跳绳”部分对应的圆心角为 度； (2)若该校有学生4000人，估计该校选择“做操”这种活动的学生约有 人； (3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 【答案】(1)300，36 (2)800 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，列表法与树状图法求概率． （1）用A类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其它项目的人数，求出跳绳的人数，从而求出“跳绳”部分对应的圆心角； （2）用该校的总人数乘以“做操”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：调查学生人数：， 跳绳人数：(人)， 跳绳人数所占百分比：， “跳绳”部分对应的圆心角：． 故答案为：300，36； （2）解：做操人数所占百分比：， (人)， 答：估计该校选择“做操”这种活动的学生约有800人； 故答案为：800； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2， 所以每班所抽到的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $