精品解析：河南省洛阳市宜阳县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得答案． 【详解】解：， 故选A 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 关于一元二次方程的根的说法，正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 没有实数根 C. 两根之和为 D. 两根之积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：由题意可知：， ∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积， 故选：B． 4. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【详解】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 5. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到160次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 与y轴的交点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、与y轴交点以及单调性。通过顶点式可快速判断． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为， ∵， ∴开口向下， 故A错误； 顶点为，不是， 故B错误； 当 时，， ∴与轴交点为， 故C错误； ∵开口向下，对称轴， ∴当时，随增大而减小， ∵在范围内， ∴当时，随增大而减小， 故D正确， 故选：D． 7. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可. 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得：，，， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 10. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，证明为等边三角形，再证明，得到，，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 12. 春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路________米了”． 【答案】260 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：山坡的坡度， ， 米， （米）， 由勾股定理得：（米）， 所以我们至少走坡路260米了， 故答案为：260． 13. 如图，在中，，，点是的重心，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键．由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可． 【详解】解：，，点是的重心， ，，， 如图，作，交于点G， ，， ，， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据图象的顶点坐标为，且开口向上，即函数最小值为，即可确定m的取值范围． 【详解】解：由图可知（）的顶点坐标为，且开口向上，即函数最小值为， ∴有实数根，即， 故答案为． 15. 如图，在中，，点在边上，点在射线上，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在边上，且与相似，已知，，则的长为_____． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，轴对称性质，以及等腰三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 利用勾股定理推出，根据与相似，分两种情况：①当时， ②当时，结合相似三角形性质，勾股定理，轴对称性质，以及等腰三角形的性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 与相似， 有以下两种情况： ①当时， 有， ， 连接，由轴对称性质可知， ， ， ， 解得， ； ②当时， 有， 连接，由轴对称性质可知， ， ， ， 同理可证，， ， 综上所述，的长为 或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题考察二次根式的运算、解一元二次方程，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先进行二次根式的乘法运算，同时进行绝对值和二次根式的化简，再加减运算即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 则， ∴或， 解得：，． 17. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 18. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为_______； （2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式； （3）当时，设点，在该抛物线上，若，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一般式化顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式的性质是解题关键． （1）将一般式化为顶点式，得出对称轴； （2）根据（1）中的顶点式得出顶点坐标，由于顶点在轴上，则其纵坐标为0，求出的值，从而得到抛物线的解析式； （3）由可知，抛物线开口向上，则越接近对称轴，函数值越小，用绝对值表示距离，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解： ， ∴顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，顶点坐标为， ∵顶点在轴上， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴该抛物线开口向上， 由二次函数的增减性可知，离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 去绝对值，得或， 解得，或． 20. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件． （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能多让利顾客，则每件应降价多少元？ （2）每件降价多少元时，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 【答案】（1）每件应降价15元 （2）每件降价10元时，每周销售利润最大，最大销售利润为8000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设每件应降价x元，则每件服装的利润为元，每周能卖出件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的方程，然后解方程并作出取舍即可． （2）设该店铺每周销售利润为W元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出W关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每件应降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让利于顾客． ∴x应取较大值，即不符合题意， ∴． 答：每件应降价15元； 【小问2详解】 解：设该店铺每周销售利润为W元， 由题意得：， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W有最大值，最大值为： （元）， 答：每件降价10元时，每周销售利润最大，最大销售利润为8000元． 21. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 22. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【答案】（1） （2） 当时，， 球不能射进球门． （3）1 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处． 【小问1详解】 ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程的根的说法，正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 没有实数根 C. 两根之和为 D. 两根之积为 4. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 5. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 与y轴的交点 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 12. 春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路________米了”． 13. 如图，在中，，，点是的重心，，则的长为__________． 14. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 15. 如图，在中，，点在边上，点在射线上，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在边上，且与相似，已知，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 18. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 19. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为_______； （2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式； （3）当时，设点，在该抛物线上，若，请直接写出m的取值范围． 20. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件． （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能多让利顾客，则每件应降价多少元？ （2）每件降价多少元时，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 21. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 22. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $