精品解析：安徽省合肥市一六八中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷

安徽省合肥市一六八中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 现有组数对依次排列为，，，则（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】 根据给出的前4组数得出规律，从而得出答案. 【详解】由这组数对依次排列为，， 根据给出的前4组数的规律:为第一个数的通项公式 第二个数的通项公式 所以可得第5组为 故选：B 2. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件直接列式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 故选：D. 3. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 4. 已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若点到点的距离之和恰好为两点之间的距离，则点的轨迹不是椭圆， 所以前者不能推出后者． 由椭圆的定义知，椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数，所以后者能推出前者． 故“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的必要不充分条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及逻辑条件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 7. 如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ， ，， ， 所以点P到的距离． 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数以及二倍角公式可得，进而根据数量积的定义得，换元，即可求解，进而根据图形关系,结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以，故舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知， 且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可. 【详解】解析：设公差为，则， ，，， 对于A：，知A正确； 对于B，由知B正确； 对于C，由通项公式知道，知C错误； 对于D，由时，，且，知D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意要证，即证，结合数量积的运算律判断A、C、D，将四面体放入长方体中，即可判断B. 【详解】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C. 反射光线所在直线的斜率为，则 D. 记点，直线与相切，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于A：若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得： 二者联立解得：.故A错误； 对于B：光由所经过的路程为. 故B正确； 对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即. 故C正确. 对于D：设直线PT的方程为. ，消去y可得：. 其中，即，解得 代入，有，解得：. 由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以. 所以.故D正确 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项数列中，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列是等比数列，利用等比中项的性质求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的表达式. 【详解】在正项数列中，，则，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则， 因为. 故答案为：. 13. 已知抛物线：焦点为，过的直线交抛物线于两点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立结合抛物线的性质求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点为，由题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，，， 由消去得，则， 所以，解得①， 因为，所以，即②， ①②联立解得，即，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 14. 如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形相似比求得相邻两个正方形的边长之比，和第一个正方形的边长，然后可得面积构成等比数列，利用等比数列求和公式可得. 【详解】由可得， 因为，所以，即， 又，所以，即，所以. 由上可知，， 同理可得，所以， 即数列是以为首项和公比的等比数列， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △三个顶点是，圆是△的外接圆． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将坐标代入圆中，求解出参数即可. （2）分情况讨论斜率是否存在，利用直线和圆的位置关系求解即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为，，在圆上，带入坐标得 解得：，，， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离为， 若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，可得，解得 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知数列和数列满足：，其中. （1）求数列的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解方程组得与的通项公式，再解方程组可得、的通项公式. （2）求得的通项公式，运用分组求和、等差数列求和公式、错位相减求和可得结果. 【小问1详解】 ∵，① ，② ①+②得：， ∴是以为首项，公差为0的等差数列， ∴，③ ①-②得：， ∴是以为首项，公比为的等比数列， ∴，④ ∴由③④得：，. 【小问2详解】 ∴，令 ∴③ ④ 由③-④得： ∴ ∴. 17. 已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】 （1）当时，；当时，；当时无轨迹. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M到定点的距离之和等于定值，结合椭圆的定义判定当时，M的轨迹为椭圆，并写出标准方程；当时，为线段,并写出方程；无轨迹. （2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以为中点的直线的斜率，进而得到方程. 【详解】（1）略 （2）当时，轨迹的方程是：，设点则 作差得，除以得，代入中点坐标，则，直线的方程是. 【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，识别已知条件，转化为动点到两定点的距离之和等于定值是关键，求解中点弦问题是，利用代点平方差方法求斜率是常用的方法. 18. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． （1）求证：平面； （2）已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 连接.因为，且， ∴， ∵， ∴． ∵是棱的中点， ∴． ∵平面，且， ∴平面． ∵平面， ∴． 由题意可得，则， ∴． ∵平面，且， ∴平面． ∵平面， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平面，且， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，结合已知利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明平面，再根据勾股定理及线面垂直的判定定理证明即可. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量法求解两面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，. 从而，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 因为平面，平面的法向量为. 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角为的余弦值为. 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； （2）对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）成立，理由如下： 已知，设，， 则，，，. 由（2）知在点处的切线方程为. 同理在点处的切线方程为， 联立可得，所以. 因此 ，同理. 所以， ，即，可得， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）圆心到直线的距离为，所以.，根据设，，其中为参数，则得到答案. （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 【小问1详解】 有已知得圆心到直线的距离为，所以. 设，，其中为参数，则 【小问2详解】 点不在直线族的任意一条直线上，所以无论m取何值时，无解. 即. 若该方程无解，则，即. 所以对于给定的实数，的取值范围为， 直线族的包络曲线为. 证明如下：在上任取一点， 设在A点处的切线方程为， 与联立得， 由相切得，即，则，（此处已经学过导数的可以直接用导数） 故在A处的切线方程为， 即.在直线族中， 令，则，即与完全等价， 所以直线族中的每一条直线都是抛物线的切线，抛物线的每一条切线都是该直线族中的某条直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是直线族的直线.直线族的包络曲线为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用向量夹角的坐标表示是探究第3问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市一六八中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 现有组数对依次排列为，，，则（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 2. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 3. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 4. 已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 10. 如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C. 反射光线所在直线的斜率为，则 D. 记点，直线与相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项数列中，，且，则______． 13. 已知抛物线：焦点为，过的直线交抛物线于两点，若，则__________. 14. 如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △三个顶点是，圆是△的外接圆． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 16. 已知数列和数列满足：，其中. （1）求数列的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 17. 已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 18. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． （1）求证：平面； （2）已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； （2）对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $