精品解析：广东省广州市越秀区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025学年第一学期期末诊断性调研参考资料九年级数学学科 本调研资料共6页，25小题，满分120分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在调研资料上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义即可求解，熟记掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键． 【详解】解：选项A，不满足中心对称图形的定义，故不符合题意； 选项B，是中心对称图形，故符合题意； 选项C，不满足中心对称图形的定义，故不符合题意； 选项D，不满足中心对称图形的定义，故不符合题意． 故选：B． 2. 已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系逐项判断即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 3. 如图，与是位似图形，点为位似中心，若，，，那么的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，解题思路为：根据位似图形的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，对应边的比也等于位似比，从而建立比例关系求解． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心， ∴相似比为，， ∴， ∵， ∴，解得； 故选：B． 4. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 5. 如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，再由垂径定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵瓶内液体的深度， ∴， 在中，． ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，在一块长，宽的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等．设花圃四周绿地的宽为，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，那么满足的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在几何图形面积中的实际应用．先根据绿地宽度表示出花圃的长和宽，再结合“绿地面积与花圃面积相等”的条件，得出花圃面积为整个矩形面积的一半，从而列出方程． 【详解】解：∵四周绿地的宽度为， ∴花圃的长为，宽为． ∵绿地面积与花圃面积相等，且整个矩形绿地的面积为， ∴花圃的面积为整个矩形面积的，即． 由矩形面积公式得； 故选：C． 7. 如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由平行线的性质可得、，根据旋转的性质可得、，由等边对等角可得，则，由三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕顶点顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 下列事件为必然事件的是（ ）． A. 相等的弦所对的弧相等 B. 三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C. 关于的方程有两个不相等的实数根 D. 有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的概念，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形内切圆性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据必然事件的概念，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形内切圆性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定定理，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A选项：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧才相等，否则不相等，故该事件不是必然事件，不符合题意； B选项：三角形内切圆的圆心（内心）到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等，仅当三角形为等边时成立，故该事件不是必然事件，不符合题意； C选项：方程化为，判别式， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根，为必然事件，符合题意； D选项：两组边和一组角相等可能对应情况，不一定全等（如非直角三角形的），不必然成立，故该事件不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 9. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形面积为； 故选：D． 10. 已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数值的大小比较，把点和点代入二次函数中，可得，，结合，可得，即，解得，当时，；当时，；当时，；故，有，，故，所以． 【详解】解：把点和点代入二次函数中， 则，， ∵， ∴，即， ∴，解得，这与矛盾，故不成立； 或，解得， 又， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（2，） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用．根据频率统计图确定白球的稳定频率，将其作为白球的概率，设黑球的个数为，列出方程进而求出黑球个数． 【详解】解：由频率统计图可知，摸到白球的频率稳定在左右， 根据频率估计概率的思想，可得白球的概率约为． 设黑球的个数为，则总球数为， 由概率公式得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：． 13. 已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于点，的纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称．利用对称轴公式即可求出 m． 【详解】解：因为点，的纵坐标相等， 所以点，关于对称轴对称， 所以， 解得． 故答案：3． 14. 用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题． 【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，由题意， ， 解得（cm）． 故答案为：5 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，理解好在圆锥的侧面展开图中“圆锥底面周长=侧面展开图弧长”是解题关键． 15. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 16. 如图，直径为的上有一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度得到，点恰好落在直径上． （1）若，则______； （2）若与相交于点，且，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．勾股定理，旋转的性质，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）连接，则，根据得到，再利用勾股定理可得，据此可得答案． （2）由旋转的性质可得劣弧和劣弧是等弧，则可推出，求出，则可推出，得到，，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由旋转的性质可得劣弧和劣弧是等弧， ∴劣弧所对的圆周角度数等于劣弧所对的圆周角度数， ∵， ∴的度数等于劣弧所对的圆周角度数的一半， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．用十字相乘法因式分解，得到的形式，即可得到答案． 【详解】解：因式分解，得， 或， 或． 18. 如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． （1）画出线段； （2）以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的作图与圆的基本作图． （1）利用旋转的性质(对应点到旋转中心的距离相等、旋转角为)，确定点、绕点逆时针旋转后的对应点、，进而画出线段； （2）先确定的中点作为圆心，以长度的一半为半径画圆，可借助平行四边形的对角线互相平分性质． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 19. 据传说，为了估算金字塔的高度，古希腊数学家、天文学家泰勒斯在金字塔影子的顶部处立一根长2米的木杆，测得它的影长为3米，点为金字塔底面的中心，且为201米，求金字塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．根据同一时刻太阳光线平行，证明两个直角三角形相似，再通过相似三角形对应边成比例计算金字塔的高度． 【详解】解：∵太阳光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵米，米，米， ∴，解得米． 答：金字塔的高度为米． 20. 已知号盒中有个白球、个黄球，号盒中有个白球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别． （1）若从号盒中随机摸出个球，它是黄球的概率为，则______； （2）在（1）的条件下，分别从每个盒中各随机摸出个球，请用树状图或列表法求摸出的个球中个是白球、个是黄球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用列表法或画树状图法求概率，不重复不遗漏画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）根据从号盒中随机摸出个球，它是黄球的概率为，列出方程，解方程即可； （2）先根据题意列表或画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由概率公式得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中摸出的个球中个是白球、个是黄球的结果有种， 摸出的个球中个是白球、个是黄球的概率是． 21. 某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋． （1）求该商店三月份销量； （2）求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率． 【答案】（1）144袋 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． （1）根据“二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长”直接计算即可； （2）设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据增长率公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得（袋） 答：该商店三月份的销量144袋； 【小问2详解】 解：设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得， ， 解得，（舍去）， 答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率． 22. 如图，中，，为的中点，与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． 23. 已知抛物线过点，点为抛物线与轴的一个交点． （1）用含的式子表示； （2）若点为定点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将点代入抛物线解析式，求解即可； （2）点为定点，即抛物线与轴的交点坐标不随变化，将代入抛物线解析式中，整理后令含的项系数为零，即可得解； （3）易知抛物线开口向上，，在区间的最低点可能是顶点或点，分情况讨论，根据最低点横坐标为列方程求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ，即， ； 【小问2详解】 解：， ， 点为定点， 含的项系数为零，即， ， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 对于，其顶点横坐标为， ， 抛物线开口向上， 抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为， 在时，抛物线的最低点横坐标为， 若顶点在区间内，即时，解得， 此时，最低点为顶点，有，解得， ，符合条件； 若顶点不在区间内，即时，解得， 此时，最低点为点，有，解得， ，与相矛盾，不符合条件， 综上，． 24. 龙舟比赛是端午节传统的比赛项目．某玩转数学小组发现：由于比赛龙舟长短不同，并不是所有龙舟都适合在同一条河道比赛．如图1，在型直角赛道进行龙舟比赛，以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 数学抽象绘制图形 龙舟转弯示意图可近似如图2所示 龙舟安全过弯示意图可近似如图3所示 信息收集 1．两河道宽均为米，龙舟长为米（龙头到龙尾之间的距离）； 2．龙舟中间最宽处1米，中间部分的中点即为龙舟中心； 3．当龙头行驶到河道中间某处时开始转弯，转弯过程可近似看作整个龙舟绕点逆时针旋转（在内外河道拐点的延长线上，转弯时龙头和龙尾在如图所示的圆弧上运动），此时测得，与旋转中心夹角． 1．龙舟平面示意图可近似看成是轴对称图形； 2．为保证龙舟能够安全过型直角弯道，龙舟在转弯开始前和转弯结束后都需行驶在河道正中间且与河岸平行； 3．学习小组发现若龙舟能够安全过弯，转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米（如图3所示）． （1）若该小组经过测量得到河道宽为15米，请求出河道拐点处的距离； （2）假设在龙舟能够安全过弯的情况下，龙舟从竖直河道转到水平河道过程中龙头始终保持速度大小不变，并测得转弯时间为6秒，求龙头转弯过程中的速度大小；（结果用含的代数式表示） （3）在（1）条件下，该河道能够用于比赛的龙舟长度的最大值是多少？ 【答案】（1）米； （2）； （3）龙舟长度的最大值是米． 【解析】 【分析】（1）分别作、，则米，证明四边形矩形，得到米，根据勾股定理求解即可； （2）先证明是等边三角形，得到米，再得到整个龙舟绕点逆时针旋转，求出转弯过程C点运动长，即可求出转弯过程中的速度； （3）连接交河道边缘于H，证明，证明是等边三角形，得到，米，即米，进而求出米，根据勾股定理求出米，进而求出米，根据“转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，分别作、，则米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：∵转弯时龙头和龙尾在同一圆弧上运动， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵龙舟从竖直河道转到水平河道， ∴整个龙舟绕点逆时针旋转， 则转弯过程C点运动路程为米， ∵转弯时间为6秒， ∴转弯过程中的速度为； 【小问3详解】 解：如图，连接交河道边缘于H， 则， ∴， ∴， 即， ∵转弯时龙头和龙尾在同一圆弧上运动， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，米， ∴米， ∵河道宽为15米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵龙舟中间最宽处1米， ∴米， ∴米， ∵转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米， ∴， 解得：， 即龙舟长度的最大值是米． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式，解不等式，分母有理化，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25. 在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为抛物线在，之间的图象上一动点（点与点，不重合）．过点作轴于点，交于点，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，设的面积为，的面积为，求的最大值； （3）延长交的外接圆于点，连接，当线段取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法可求函数解析式； （2）表示出和的面积，求比值关于p的函数，利用二次函数性质求最大值； （3）推导点F的坐标与t的关系，表示关于t的二次函数，求最小值对应的t，再求点F坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，得， 解得或 ∴， 设直线的解析式为， 把点B，C坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ∴的面积， ∴的面积 , ∴ ∵， ∴当，取得最大值 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 当时，最小， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末诊断性调研参考资料九年级数学学科 本调研资料共6页，25小题，满分120分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在调研资料上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 3. 如图，与是位似图形，点为位似中心，若，，，那么的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（ ）． A. B. C. 6 D. 6. 如图，在一块长，宽的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等．设花圃四周绿地的宽为，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，那么满足的方程是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 下列事件为必然事件的是（ ）． A. 相等的弦所对的弧相等 B. 三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C. 关于方程有两个不相等的实数根 D. 有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等 9. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（ ） A B. C. D. 10. 已知点和点都在二次函数图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 13. 已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 14. 用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________． 15. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 16. 如图，直径为的上有一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度得到，点恰好落在直径上． （1）若，则______； （2）若与相交于点，且，则______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 18. 如图，点，，均在正方形网格图格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． （1）画出线段； （2）以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 据传说，为了估算金字塔的高度，古希腊数学家、天文学家泰勒斯在金字塔影子的顶部处立一根长2米的木杆，测得它的影长为3米，点为金字塔底面的中心，且为201米，求金字塔的高度． 20. 已知号盒中有个白球、个黄球，号盒中有个白球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别． （1）若从号盒中随机摸出个球，它是黄球的概率为，则______； （2）在（1）的条件下，分别从每个盒中各随机摸出个球，请用树状图或列表法求摸出的个球中个是白球、个是黄球的概率． 21. 某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋． （1）求该商店三月份的销量； （2）求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率． 22. 如图，中，，为的中点，与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 已知抛物线过点，点为抛物线与轴一个交点． （1）用含的式子表示； （2）若点为定点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，求的值． 24. 龙舟比赛是端午节传统的比赛项目．某玩转数学小组发现：由于比赛龙舟长短不同，并不是所有龙舟都适合在同一条河道比赛．如图1，在型直角赛道进行龙舟比赛，以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 数学抽象绘制图形 龙舟转弯示意图可近似如图2所示 龙舟安全过弯示意图可近似如图3所示 信息收集 1．两河道宽均为米，龙舟长为米（龙头到龙尾之间的距离）； 2．龙舟中间最宽处1米，中间部分的中点即为龙舟中心； 3．当龙头行驶到河道中间某处时开始转弯，转弯过程可近似看作整个龙舟绕点逆时针旋转（在内外河道拐点的延长线上，转弯时龙头和龙尾在如图所示的圆弧上运动），此时测得，与旋转中心夹角． 1．龙舟平面示意图可近似看成是轴对称图形； 2．为保证龙舟能够安全过型直角弯道，龙舟在转弯开始前和转弯结束后都需行驶在河道正中间且与河岸平行； 3．学习小组发现若龙舟能够安全过弯，转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米（如图3所示）． （1）若该小组经过测量得到河道宽为15米，请求出河道拐点处的距离； （2）假设在龙舟能够安全过弯的情况下，龙舟从竖直河道转到水平河道过程中龙头始终保持速度大小不变，并测得转弯时间为6秒，求龙头转弯过程中的速度大小；（结果用含的代数式表示） （3）在（1）条件下，该河道能够用于比赛的龙舟长度的最大值是多少？ 25. 在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为抛物线在，之间的图象上一动点（点与点，不重合）．过点作轴于点，交于点，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，设的面积为，的面积为，求的最大值； （3）延长交的外接圆于点，连接，当线段取最小值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $