2026年中考数学第一轮复习精讲精练 专题四 反比例函数的图象与性质

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题四 反比例函数的图象与性质（解析版） 命题点1 反比例函数的性质 1．（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，增减性，根据解析式可得经过的象限和增减性可判断A、B、D；再根据反比例函数自变量不为0，可知函数与坐标轴不会相交可判断C． 【详解】解；∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且图象越来越靠近坐标轴，但不会相交， 在中，当时，，则图象经过点， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意， 故选：B． 2．（2024·山西晋城·二模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（      ） A．图象必经过 B．图象位于一、三象限 C．随的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象与系数之间的关系，反比例函数的增减性等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、在中，当时，，则图象不经过，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴图象位于二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴图象位于二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，原说法错误，不符合题意； D、如果点在它的图象上，则，则点也在它的图象上，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中有四个点，分别代表阻值不同的甲、乙、丙、丁四个电阻通过不同电流时的情况，其中甲、丙两个电阻对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻中两端的电压最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及反比例函数的图象与性质，读懂题意，根据电阻、电流与电压的关系，结合反比例函数图象与性质，数形结合求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，阻值与电流满足反比例关系，设电阻、电流与电压函数表达式为， 甲、丙两点均在反比例函数图象上，， 甲、丙两个电阻两端的电压值相等，均为， 过乙、丁作轴平行线交反比例函数图象于两点，如图所示： 不变时，；不变时，； 在反比例函数图象上，由知， ；，即四个电阻中两端的电压：丁甲丙乙， 这四个电阻中两端的电压最大的是丁， 故选：D． 4．（2025山西运城模拟）已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握在函数图象上点的特征，即可． 【详解】∵双曲线， ∴， A、，不在双曲线，符合题意； B、点中，，在双曲线，不符合题意； C、点中，，在双曲线，不符合题意； D、点中，，在双曲线，不符合题意． 故选：A． 5．（2024·山西临汾·一模）车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式以及求反比例函数的自变量，设反比例函数为：，用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据函数值求自变量即可． 【详解】解：设反比例函数为：， 由函数图像可知，函数过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：， 当时，则：， 故答案为：30． 6．（2025山西太原模拟）已知反比例函数的图像经过A（-2，3），则当时，y的值是 . 【答案】2. 【详解】试题分析：∵反比例函数的图像经过A（-2，3），∴. ∴反比例函数的解析式为. ∴当时，. 考点：曲线上点的坐标与方程的关系. 命题点2 反比例函数的解析式 1．（2025·山西·模拟预测）已知反比例函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（     ） A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于y轴对称 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，图象关于y轴不对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 故选：B． 2．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式；设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中，得到关于m的方程，解方程即可求得m的值，从而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中， 得，即， 解得：， ∴， 即函数解析式为； 故选：B． 3．（2025·山西·一模）某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（   ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A．0.12 B．0.15 C．0.16 D．0.18 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数应用，首先利用待定系数法得到，然后将代入求解即可． 【详解】根据题意得，电流I和电阻R，成反比例函数关系，即 ∴将，代入得， ∴ ∴将代入得，． ∴若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为． 故选：B． 4．（2025·山西吕梁·模拟预测）甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻，经过测量发现，检测电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表所示： 0.1 0.2 0.4 0.6 ．．． 200 100 50 ．．． 则当甲醛浓度时，检测电阻的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，根据图中的数据，得检测电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系为，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则检测电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系为， 把代入，得， 故答案为：． 5．（2025·山西运城·一模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为 Ω． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，正确求得反比例函数的性质成为解题的关键． 先求得反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系为， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴在第一象限，y随x的增大而减小， ∵蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A， ∴用电器的可变电阻至少为Ω． 故答案为：． 6．（2025·山西忻州·一模）【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为 Pa． 【答案】2000 【分析】本题主要考查了求反比例函数，根据题意设压强和受力面积的关系式为，求出解析式，再将代入计算求出p即可． 【详解】解：设压强和受力面积的关系式为，根据题意，得 ， ∴反比例函数的关系式为， 当时，（）. 故答案为：2000． 7．（024-山西中考真题）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为 【答案】 【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【详解】解：， 则C的坐标是， 设反比例函数的解析式是， 把C的坐标代入得， 则反比例函数解析式是， ∵上口宽， ∴点F的横坐为， 当时，． 答：整个冷却塔的高是． 故答案为：． 8．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 命题点3反比例函数的系数k的几何意义 1．（2024·山西·模拟预测）如图，反比例函数和的部分图象与直线分别交于，两点，如果的面积是，则的值为（   ） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，， 的面积是， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，先求出反比例函数的解析式为，可得，然后结合行四边形的面积是24，可得，再求出直线的解析式为，设点C的坐标为，点B的纵坐标为，，可得点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 3．（2025·山西晋中·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， （函数图象经过第二象限）， ， 故答案为：． 4．（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键；根据k的几何意义求出，进而求出，再根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：由题意知：四边形是矩形， 点在的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 5．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数交于点，，过点作轴于点，若的面积为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的图象与性质、反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．过点作轴于点，先根据函数的图象与性质可得点与点关于原点对称，且，再设点的坐标为，则点的坐标为，根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由函数的图象与性质可知，点与点关于原点对称，且， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵轴于点，轴于点， ∴，，，， ∵的面积为2， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可． 【详解】解：∵E，F两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，轴,轴, ∴，， ∵四边形的面积为16， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】作轴，轴，轴，，作，利用反比例函数的性质以及勾股定理可得，，再利用勾股定理可得长，根据三角形面积公式计算即可．本题考查了反比例函数值几何意义，勾股定理，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，轴，，作， ∵顶点A、B在反比例函数 ∴ ∵，， ∴ 把代入，得： 解得（负值舍去） ∴， ，， ， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ， ． 故答案为：4． 8．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 10．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 1．如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 则一次函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 3．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ①若点A、点B同在第二或第四象限， ∵， ∴a-1＞a+1， 此不等式无解； ②若点A在第二象限且点B在第四象限， ∵， ∴， 解得：； ③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能． 综上，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏． 4．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．经过点 B．分布在第二、第四象限 C．关于直线对称 D．越大，越接近轴 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，k=5＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小． 【详解】解：A、把点（2，3）代入反比例函数，得2.5≠3不成立，故A选项错误； B、∵k=5＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误； C、反比例函数有两条对称轴，y=x和y=-x；当x＜0时，x越小，越接近x轴，故C选项正确； D、反比例函数有两条对称轴，y=x和y=-x；当x＜0时，x越小，越接近x轴，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的性质： ①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限． ②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 5已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 6．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 7．已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 8．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 9．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 1．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：    托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．    (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围． 【答案】(1)作图见解析； (2)①；②；③减小，减小，下； (3)． 【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可； （2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；②根据可能与成反比例，设，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可． （3）利用反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解∶函数图象如图所示，    （2）解：①观察图象可知，可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； ②观察表格以及①可知，可能与成反比例，设， 把的坐标代入，得， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； ③由图图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到， 故答案为：减小，减小，下； （3）解：当时，解得， 当时，解得， ∴托盘与点的距离（）的取值范围． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型． 2．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②函数值逐渐减小 (3)或 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 3．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1 ①列表；下表是x与y的几组对应值，其中； ②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则； ②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则； ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则； 【答案】（1）①1，②见解析，③见解析；（2）①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）①4，②4，③2k 【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象； （2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质； （3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案． 【详解】解：（1）当时，，而当时，， ， 故答案为：1；补全图象如图所示： （2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）如图， ①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且， ②同①可知：， ③， 故答案为：4，4，． 【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． 1．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 2．若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时， ∵， ∴， 即， 故选：． 3．反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像所在的象限与系数的关系，关键在于熟练掌握两种函数的性质． 首先由反比例函数y＝的图像位于第二、四象限，得出，则，得到一次函数图像经过第二，四象限且与y轴正半轴相交． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图像过二、四象限，与y轴相交于正半轴， ∴一次函数的图像过一、二、四象限． 故选：C． 4．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 5．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 6．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 7．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题四 反比例函数的图象与性质 命题点1 反比例函数的性质 1．（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小 2．（2024·山西晋城·二模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（      ） A．图象必经过 B．图象位于一、三象限 C．随的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 3．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中有四个点，分别代表阻值不同的甲、乙、丙、丁四个电阻通过不同电流时的情况，其中甲、丙两个电阻对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻中两端的电压最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2025山西运城模拟）已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西临汾·一模）车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ． 6．（2025山西太原模拟）已知反比例函数的图像经过A（-2，3），则当时，y的值是 . 命题点2 反比例函数的解析式 1．（2025·山西·模拟预测）已知反比例函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（     ） A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于y轴对称 D．y随x的增大而增大 2．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·一模）某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（   ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A．0.12 B．0.15 C．0.16 D．0.18 4．（2025·山西吕梁·模拟预测）甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻，经过测量发现，检测电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表所示： 0.1 0.2 0.4 0.6 ．．． 200 100 50 ．．． 则当甲醛浓度时，检测电阻的值为 ． 5．（2025·山西运城·一模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为 Ω． 6．（2025·山西忻州·一模）【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为 Pa． 7．（024-山西中考真题）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为 8．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 命题点3反比例函数的系数k的几何意义 1．（2024·山西·模拟预测）如图，反比例函数和的部分图象与直线分别交于，两点，如果的面积是，则的值为（   ） A．11 B． C． D． 2．（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 3．（2025·山西晋中·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为 ． 4．（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 5．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数交于点，，过点作轴于点，若的面积为2，则 ． 6．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 7．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 8．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 9．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    10．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 1．如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 2．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．经过点 B．分布在第二、第四象限 C．关于直线对称 D．越大，越接近轴 5已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 8．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 9．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 1．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：    托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．    (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围． 2．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 3．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1 ①列表；下表是x与y的几组对应值，其中； ②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则； ②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则； ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则； 1．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 4．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 5．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 7．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 8．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 10．如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $