精品解析：湖北省沙市中学2026届高三上学期阶段性测试（二）数学试题

2026届高三阶段性测试（二） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求. 【详解】， 故选：D. 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 5. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果. 【详解】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根， 因为恰为的最小正周期，且当时，，所以， 若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时， 即，解得，所以． 故选：A 6. 方程的两个不等实根为m，n，那么过点，的直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切或相交 C. 相切 D. 与的大小有关 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的直线方程，再根据圆心到直线的距离与半径的关系可得正确的选项. 【详解】由题设有且， 故均在直线上， 所以的直线方程为：， 圆心（原点）到直线的距离为， 而， 故直线与圆相交或相切， 故选：B. 7. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 8. 设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 10. 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对ABC选项分别赋值即可判断，对于D先根据赋值得及，再由基本不等式及等式性质可得. 【详解】对于A：令，则， 即， 又函数不是常数函数，所以， 即，故A正确； 对于B：令，则， 所以，即，故B错误； 对于C：令，，则， 再令，，则， 由可知，当时，， 则，故C正确； 对于D：令，则，所以， 则，，又， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ） A. 四边形的周长为定值 B. 四棱锥的体积的最大值为 C. 当时，平面截球所得截面的周长为 D. 当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算，对A：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C：根据球的性质分析运算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解. 【详解】对于边长为2的正方体，则ABCD为棱长为的正四面体，则球心O即为正方体的中心， 连接，设， ∵，，则为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面， 又∵平面，，平面， ∴平面平面， 对A：如图1， ∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，则，即， 同理可得： ，， ，， ∴四边形EMGH的周长（定值），A正确； 对B：如图1，由A可知：，， ，， ∵为正方形，则， ∴为矩形， 根据平行可得：点A到平面的距离， 故四棱锥的体积， 则， ∵，则当时，则，在上单调递增， 当时，则，在上单调递减， ∴当时，取到最大值， 故四棱锥的体积的最大值为，B正确； 对C：正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球， 其半径， 设平面截球O所得截面的圆心为，半径为， 时，，平面过外接球球心， 平面截球所得截面圆半径为， 截面圆周长为，C错误； 对D：如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转后得到正四面体， 设， ∵，则分别为各面的中心， ∴两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成， 根据正方体可得：，正四棱锥的高为， 故公共部分的体积，D正确； 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式化简得，再降下标作差即可得，结合等差数列定义即可得到其通项. 【详解】，①， 当时，②， ①-②得，， ，，， 是等差数列， 又， 故答案为： 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. （1）求； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】（1），； （2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【解析】 【分析】（1）根据已知表格数据得到所有的值，最后计算出均值、方差即可； （2）根据公式计算出的值，和比较大小即可得结论. 【小问1详解】 计数如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 6 8 15 11 19 18 20 12 则， . 【小问2详解】 由（1）知，，故有， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 16. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，E为的中点， 所以； 在和中， 因为， 所以， 所以， 又因为E为的中点， 所以； 又因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【解析】 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 19. 已知无穷数列满足：，为正整数，且，. （1）若，，求； （2）证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； （3）若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或3或5 （2）记，， 必要性：若是周期为3的周期数列，或， 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，该式当且仅当或时成立， 与，为正整数矛盾； 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，则或（舍，此时）， ，，此时数列：，，0，，，0，，，0，…存在，使得， 另一方面：取数列：1，1，0，1，1，2，3，5，…其中当时，， 此时数列不是周期数列， 综上，“存在，使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件. （3）不存在，理由如下： 等价于（*）或（**）， 首先说明不存在，使得，否则由得记为， 所以，，， 依此类推得前项为…，，0，，，0，，，0（第项）， 则，要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立， 其次，不存在，使得以及同时成立，否则两式相加得，矛盾. （ⅰ）若（*）式只对有限个正整数才成立，不妨设当且仅当时（*）式成立，其中， 则当时，（**）式恒成立，此时恒成立， 由此易知当，因此数列是无界数列， （ⅱ）若存在无限个正整数使得（*）式成立，不妨设当且仅当时（*）式成立， 其中，考虑与，为方便书写记为，，， 则， 若，则， 若，则，…，，， 则， 此时， 无论哪种情况总有成立，即恒成立， 记，则恒成立，由此易得数列是无界数列， 所以，存在使得，故不存在符合题意的，. 【解析】 【分析】（1）根据递推式进行求解计算即可. （2）先证明必要性，然后取反例证明不充分性. （3）等价于（*）或（**），首先说明不存在，使得，其次，不存在，使得以及同时成立. 【小问1详解】 因为对任意成立； 令得，所以，则或3， 若，由，则，则或3， 若，由，则，则或5， 因为，综上所述：或3或5. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三阶段性测试（二） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 5. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 方程的两个不等实根为m，n，那么过点，的直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切或相交 C. 相切 D. 与的大小有关 7. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ） A. 四边形的周长为定值 B. 四棱锥的体积的最大值为 C. 当时，平面截球所得截面的周长为 D. 当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________． 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. （1）求； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 16. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围. 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 19. 已知无穷数列满足：，为正整数，且，. （1）若，，求； （2）证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； （3）若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $