江苏省东海县2025-2026学年上学期九年级数学期末考前卷

江苏省东海县2025-2026学年上学期九年级数学期末考前卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是     A. B. 2 C. D. 4 2.某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁，若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是(    ) A. 平均数不变，方差改变 B. 平均数不变，方差不变 C. 平均数改变，方差不变 D. 平均数改变，方差改变 3.小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程是常数，的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定有没有实数根 5.如图，若，则下列结论正确的是    A. B. C. D. 6.已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是     A. B. C. D. 7.已知二次函数的图象经过点，则下列结论错误的是             A. 该图象的开口向下 B. 当时，y有最大值3 C. 该图象与x轴有两个交点 D. 当时，在y轴左侧，y随x的增大而增大 8.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，二次函数是常数的图象的顶点在线段AB上，则b的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是          . 10.扬州某日天气预报显示最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为           11.一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性          向上一面点数是3的倍数的可能性填“>”“<”或“=”。 12.若点P是线段AB的黄金分割点，且，，则          保留根号 13.如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为若三角尺的一边长为6cm，则其投影三角形的对应边的长为          . 14.点，在二次函数的图象上，则          用“<、=、>”填空 15.在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移2024个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则          . 16.如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点即小正方形的顶点、C，使O为的外心，则BC的长度是      . 17.如图，将沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若，则           18.如图，四边形ABCD中，，，，，点M在折线段上运动，令，点D到MA的距离为y，则y的最小值为          . 三、计算题：本大题共1小题，共5分。 19.解下列方程： ； ； 四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题5分 如图，已知在平行四边形ABCD中，点F在AB延长线上， 尺规作图：过点B作，垂足为点保留作图痕迹，不写作法； 在条件下，若点E为AD中点，，，求CD的长． 21.本小题6分 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． 小明从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是          ； 小明从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小明抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 22.本小题9分 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试满分100分已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩单位：分进行统计： 七年级  86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级  88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 八年级 84 87 b 根据以上信息，回答下列问题： 填空：          ，          .A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是          年级的学生； 学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； 你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 23.本小题6分 如图，已知二次函数的图象经过点，两点． 求这个二次函数的解析式； 设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求的面积． 24.本小题6分 如图，AB为的直径，点C在直径AB上点C与A，B两点不重合，，点D在上且满足，连接DC并延长到E点，使 求证：BE是的切线； 当时，求半径的长． 25.本小题9分 某农业生态园引进种植一种新品种水果，这种水果成本为10元/千克，现将这种水果投放超市进行销售．经过调查，得到如下数据： 销售单价元/千克 … 10 20 25 30 … 每天销售量千克 … 500 400 350 300 … 把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； 当地物价部门规定，该水果销售单价最高不能超过32元/千克，那么销售单价定为多少元时，销售该水果每天获得的利润最大？最大利润是多少？利润=销售总价-成本总价 若要该水果每天获得的利润不低于6090元，求该水果销售单价的范围． 26.本小题9分 已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线 该函数的图象与x轴的公共点的个数是          ； 当时，试说明； 若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 27.本小题9分 在中，，点D为斜边AB上的动点不与点A，B重合 【操作发现】如图①，当时，把线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CE，连接DE，和BE有什么关系？请写出你的探究过程； 【探究证明】如图2，当时，把线段CD绕点C逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段在点D的运动过程中，探究线段AD与线段BE的关系； 【问题解决】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，，，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，b为一次项系数，据此即可求解． 【详解】解：原方程，移项得， 一次项系数为 故选： 2.【答案】C  【解析】解：两年后该足球队队员不变，队员前后年龄的平均数变大，但数据的波动性没有变化，所以方差不变． 故选： 根据平均数的定义和方差的意义计算判断． 本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差…，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了算术平均数． 3.【答案】C  【解析】解：图中共有9块方砖，黑色的有4块， 它最终停留在黑色方砖上的概率是， 故选： 根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值解答即可． 本题考查的是几何概率，熟记概率公式是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】本题考查根的判别式，根据得判断即可． 解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选 5.【答案】B  【解析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：解：由图，根据对应性，可得 故选：B 6.【答案】A  【解析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长公式是解题的关键． 直接运用弧长公式求解即可． 【详解】解：由弧长公式可知： 故选： 7.【答案】B  【解析】解：， 抛物线的开口向下．所以A选项不符合题意； 把代入得， ， ， ， 当时，y有最大值，所以B选项符合题意； ， 抛物线与x轴有两个交点，所以C选项不符合题意； 当时，， 在y轴左侧，y随x的增大而增大，所以D选项不符合题意． 故选： 利用二次函数的性质直接对A选项进行判断；把代入得，则抛物线解析式表示为，利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，y有最大值，于是可对B选项进行判断；通过计算根的判别式的值得到，则利用根的判别式的意义可对 C选项进行判断；由于，则，然后根据二次函数的性质可对D选项进行判断． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 8.【答案】B  【解析】解：二次函数解析式为，是常数， 顶点坐标为， 又，， 直线AB的函数解析式为， 二次函数图象的顶点在线段AB上， ，且， 则， 当时，b有最大值为， 故选： 9.【答案】  【解析】此题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，，求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得， 故答案为： 10.【答案】9  【解析】最大值与最小值的差叫做极差，根据极差定义进行求解即可． 【详解】解：， 该日的气温极差为， 故答案为：9 11.【答案】>  【解析】掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4、6，点数是3的倍数有3、6，故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是，所以抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性大于向上一面点数是3的倍数的可能性.故答案为 12.【答案】  【解析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段AP的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点，且，， ， 故答案为： 13.【答案】15cm  【解析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：设其投影三角形的对应边的长为xcm， 由题意得：， 解得：， 即其投影三角形的对应边的长为 故答案为： 14.【答案】>  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的性质，开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：由函数，得对称轴为，开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 点，在二次函数的图象上，且， 故答案为： 15.【答案】1  【解析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，和图像平移变化的规律是解题的关键． 将二次函数图像向下平移2024个单位后得到新函数，令解方程可得其与x轴的交点横坐标，再计算两点间的距离即可． 【详解】解：将函数的图像向下平移2024个单位， 得新函数，令，则， 解得或，则 故答案为： 16.【答案】  【解析】解：如图：连接OA，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交格点为点B，点C， 由题意得：， 的长度是， 故答案为： 根据O为的外心，可得，从而以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交格点为点B，点C，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】115  【解析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧ACB所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：作出弧ACB所对的圆周角， ，， ， 沿着弦AB折叠， ， 故答案为： 18.【答案】3  【解析】本题主要考查了勾股定理，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据题意，对点M在AB和BC上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点M在AB上时， ，且， 点D到AM的距离为定值5， 即； 当点M在BC上时， 过点M作AD的垂线，垂足为Q， ， ， ， ， ， ， 即， 连接AC，则， 点M在BC上， ， 则当时，y的值最小为 综上所述，y的最小值为 故答案为： 19.【答案】【小题1】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小题2】 解：， 解得   【解析】  本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 运用配方法进行解方程，即可作答．   运用因式分解法进行解方程，即可作答． 20.【答案】【小题1】 解：如图所示，点E即为所求； 【小题2】 解：四边形ABCD是平行四边形， ，，，， ， ， ，， ， ， ， 点E为AD中点， ， ， ，   【解析】  本题考查了作图-相似变换，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 过点B作AD的垂线交AD于E即可；   根据平行四边形的性质得到，，，，推出，证明得，由点E为AD中点，得到，进而可得到结论． 21.【答案】【小题1】 【小题2】 解：四张卡片内容中是化学变化的有A、D， 画树状图如图： 由树状图可得，共有12种等可能出现的结果，其中小明抽取两张卡片内容均为化学变化的情况有2种， 小明抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为   【解析】  本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可得解； 解：小明从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是；   画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 22.【答案】【小题1】 85 87 七 【小题2】 人， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小题3】 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．   【解析】  根据中位数和众数的定义即可求出答案； 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七；   分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；   两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 23.【答案】【小题1】 解：将点、代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为： 【小题2】 二次函数的解析式为：， 二次函数的对称轴为， ， ，， 点， ， 故   【解析】  将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；   根据求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据可得出答案． 24.【答案】【小题1】 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小题2】 解：设的半径为r， ， ， ， ， 在中，， ， ，舍去， 半径的长为   【解析】  此题考查了圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键． 先证明，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立；   设的半径为r，在中，利用勾股定理得，求得 25.【答案】【小题1】 如图所示： 观察图象可知：y与x的函数关系为一次函数，设， 将，代入得，，解得， 与x的函数关系式为 【小题2】 设每天获得利润为w元，根据题意， 得 ，且水果销售单价最高不能超过32元/千克， 当时，w有最大值，最大值为6160， 答：销售单价定为32元时，销售该水果每天获得的利润最大，最大利润是6160元． 【小题3】 ， 当时， 解得，， 抛物线开口向下，当时，每天获得的利润不低于6090元， 答：该水果销售单价的范围是   【解析】  根据表格数据在平面直角坐标系中描出相应的点，即可猜想y与x的函数关系；   根据销售问题利润=销售总价-成本总价列出等式即可求解；   根据该水果每天获得的利润不低于6090元，即可求该水果销售单价的范围． 26.【答案】【小题1】 2 【小题2】 证明：， 对称轴， ； 【小题3】 解：根据，得二次函数的表达式为， 把点、分别代入表达式，得，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 当且时，即且， 解得且， 解为； 当时，即， 解得， 的取值范围是或   【解析】  本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系．熟悉二次函数的图象与性质，根据二次函数和一元二次方程的关系判断与x轴的交点的情况，根据a的取值范围分情况讨论，是解题的关键． 把两点坐标代入函数式，用含a的代数式分别表示b、c，再令，得到关于x的一元二次方程，计算判别式，即可得； 【详解】解：由题意得：， 化简，得：， 令，则有， 则， 函数的像与x轴的公共点的个数为2； 故答案为：2；   根据二次函数的对称轴公式计算即可；   根据，代入用含a的代数式分别表示b、c的函数解析式得到，根据对称轴公式得到，根据a的不同取值范围分情况讨论，即可得到m的取值范围． 27.【答案】【小题1】 解：结论：，理由如下： 线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CE， ，， ， ， ， ≌， ，， ，， ， ， ； 【小题2】 解：结论：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小题3】 解：如图3，连接BM， 将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形， ，， 的坐标为，点B的坐标为， ，， ， 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值， ， 最大值为； 如图2，过P作轴于E， 是等腰直角三角形， ， ， ，AM的最大值为   【解析】  根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；   由，，得到，求得，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论；   连接BM，将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；如图2，过P作轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $