精品解析：山东菏泽第一中学2025-2026学年上学期高二12月月考数学试题

菏泽一中高二2025年12月月考数学试题 一、单选题 每题5分，共40分 1. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式以及前项求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，由可得，即， 所以，又，所以. 故选：B 2. 已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】应用直线与圆的相离关系可得，再由余弦定理及三角形内角的性质即可判断三角形的形状. 【详解】由题设，，即，又， 所以，且， 故以，，为边长的三角形为钝角三角形. 故选：A. 3. 在数列中，，，，若的前项和为，则（ ） A. 4052 B. 4053 C. 4054 D. 4055 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，， 令，则，即， 且，可得， 可知数列的一个周期为3， 所以. 故选：A. 4. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 5. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 6. 数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减数列 B. 数列的前 2025 项和为 2017 C. D. 设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据作差求出的通项公式，即可判断A、C；再由并项求和法判断B；列出的前几项，再分析其余项的特征，即可判断D. 【详解】因为，当时， 当时， 所以， 经检验当时也成立，所以， 因为，所以， 所以是递减数列，故A正确； 因为， 记的前项和为， 则 ，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，， 又，所以，，，，， 当时，，，，所以， 所以当或时数列的前项和取最大值，故D错误. 故选：D 7. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 8. 如图，分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据双曲线定义及题干知，，，，根据，得，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解渐近线方程． 【详解】如图，连接， ，由双曲线的定义可得， 则，，， 在中，， 在中，， ，，得， ，得，即，， 该双曲线的渐近线方程为，即． 故选：A 二、多选题 每题6分，共18分 9. 已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，，. 逐个代入选项化简与的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点，，. 当时，， . 故点的轨迹为除去两点的椭圆，A正确 ；当时，， 故点的轨迹为除去两点的双曲线，B正确； 当时，. ，即不含点， 轨迹是一条直线不含，C错误； 当时，则. 故的轨迹为除去两点的抛物线，D正确. 故选：ABD. 10. 已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ） A. 直线与直线的斜率相等 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列通项的性质与前项和公式，验证各选项的结论. 【详解】设等差数列的公差为，是互不相同的正整数，且， 则有，， 直线的斜率，直线的斜率，A选项正确； ， ， 已知条件中不能得到，B选项错误； ，， ，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值． B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面． D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；选项B，根据条件，可得面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，即可作出判断，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C和D选项的正误． 【详解】对于选项A，因为平面，平面平面， 所以，点到平面的距离等于， 的面积为， 所以，，故选项A正确； 对于选项B，连接，易知面，又面，所以， 又分别为棱的中点，则，而，所以， 又面，，所以面， 又面，所以平面平面，故选项B正确， 对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角为， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 每题5分，共15分 12. 已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以，， 故椭圆C的方程为． 故答案为：． 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将等差数列之比转换为它的前n项和的比即可得解. 【详解】由 ， 因为为整数且，所以. 故答案为：. 14. 已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，结合已知列方程求得，然后利用离心率公式求解即可. 【详解】圆即圆心为，半径为， 不妨取双曲线一条渐近线为即， 由题意圆上恰有3点到直线的距离为2， 只需圆心到直线的距离，即，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为： 四、解答题 共77分 15. 如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：因为且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，得到，从而利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则， 设，则，设， 则，解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则， 平方化简得，解得， 综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为， 此时. 16. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 【小问2详解】 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 17. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. （1）求椭圆的离心率； （2）设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 【答案】（1） （2） 由题解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以. 又点在椭圆：上，所以， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据“伸缩变换”的定义得到的方程，然后求离心率即可； （2）根据得到的方程，然后设的方程，与的方程联立，根据相切得到，即可得到，为关于的方程的两根，然后利用韦达定理得到，最后将代入即可. 【小问1详解】 对于椭圆：，所以为， 故椭圆：（）中，， 故， 则椭圆的离心率. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 18. 已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在斜三棱柱中，由点为等边边的中点，得， 在菱形中，由，得为正三角形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）结合（1）中信息，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知为侧面与底面所成的角，则， 由，得，则为正三角形， 在平面内过点作于D，由平面平面， 平面平面，则平面，过作， 则直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， （1）若的面积为，求的值及圆的方程 （2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围. 【答案】（1），圆的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出. 【小问1详解】 由对称性可知：， 设，由焦半径可得：， ， 解得： 圆的方程为： 【小问2详解】 由题意得：直线的斜率一定存在，其中， 设关于直线的对称点为， 则，解得：， 联立与得：， 设， 则， 则， 则 ， 解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或， 所以 ， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽一中高二2025年12月月考数学试题 一、单选题 每题5分，共40分 1. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 2. 已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不存在 3. 在数列中，，，，若的前项和为，则（ ） A. 4052 B. 4053 C. 4054 D. 4055 4. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减数列 B. 数列的前 2025 项和为 2017 C. D. 设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 7. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 每题6分，共18分 9. 已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线 10. 已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ） A. 直线与直线的斜率相等 B. C. D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值． B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面． D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 三、填空题 每题5分，共15分 12. 已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为_____ 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________. 14. 已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______. 四、解答题 共77分 15. 如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 17. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. （1）求椭圆的离心率； （2）设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 18. 已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， （1）若的面积为，求的值及圆的方程 （2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $