精品解析：福建省南安第一中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考数学试题

南安一中2026-2027学年度高三年第一次阶段考 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知函数，若，则（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 6. 设，，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 7. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若集合中至少有个元素，且满足：①对于任意的，若，则；②对于任意的，若，则.若有个元素，则可能有（    ） A. 个元素 B. 个元素 C. 个元素 D. 个元素 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 11. 对于函数，下面说法正确的有（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数不存在极值点 C. 当最小值为时， D. 当时，函数在区间单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，，则等于______． 13. 已知为上的奇函数，且，当时，，则_____. 14. 函数，若在上无零点，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 16. 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m． （1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度； （2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2026-2027学年度高三年第一次阶段考 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 4. 已知函数，若，则（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，故，所以. 5. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角与的终边关于直线对称，的终边经过点， 所以的终边经过点， 由三角函数定义可得， 所以. 6. 设，，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 7. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 8. 若集合中至少有个元素，且满足：①对于任意的，若，则；②对于任意的，若，则.若有个元素，则可能有（    ） A. 个元素 B. 个元素 C. 个元素 D. 个元素 【答案】B 【解析】 【分析】设出集合的三个元素，利用条件①推导出集合中必须包含的元素，再利用条件②推导出中元素之间的差值关系，进而确定中元素的个数. 【详解】由于集合有个元素，不妨设，其中， 由①知，则必有，，， 由②知，，，， 显然有， 若，则，此时中有元素，则符合， 此时中有个元素； 若，则有即， 此时中有个元素， 综上所述，中有个元素，故B正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时，，不成立， 故D错误； 故选：BC 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得， 由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确； 对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 11. 对于函数，下面说法正确的有（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数不存在极值点 C. 当最小值为时， D. 当时，函数在区间单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数分析极值点及零点即可判断；对于C，由最值可确定，进而得到，结合最值即可判断；对于D，对求导，利用导数确定单调性即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，解得， 不妨取，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， 易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误； 当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点； 若，因，则,，则在上单调递减，无极值点； 综上，当时，函数不存在极值点，故B正确； 由A项分析可知，当最小值为时，有， ，即， 令，则，即， 令，， 当时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，的解为， 即，，此时，即，故C正确； 当时，函数 由，可得，即函数的定义域为， 则，因， 则， 故当时，，即在上单调递减，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合同角关系可求，，再由两角差的余弦公式计算即得． 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以． 故答案为：． 13. 已知为上的奇函数，且，当时，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】首先判断函数的周期，再利用对数运算，以及周期公式，化简，最后代入求值. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数是周期的函数， 因为，所以， 所以. 故答案为： 14. 函数，若在上无零点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先换元得到相位的取值区间，结合区间长度推出的初步范围，再根据无零点条件列出不等式组，再对整数分类讨论，结合筛选出符合条件的取值范围． 【详解】由题意得，得， 由，得， 因为在上无零点，所以（）， 解得（）．结合可知， 当时，，当时，， 因为，所以或， 所以的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 【答案】（1） 增区间为，减区间为、. （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数后求导，根据导数正负判断函数单调区间； （2）先利用极值点处导数为求出的值，再计算区间内的极值和端点函数值，比较大小得到最小值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得. 令，即，整理得， 解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故的增区间为，减区间为和. 【小问2详解】 对求导得， 因为是的极值点， 故， 代入得，解得. 此时，， 令，解得或，两点均属于区间. 单调性分析： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由单调性可知，最值出现在端点和极值点处，计算如下： ， ， ， ， 比较得最小值为. 16. 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m． （1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度； （2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出ME，再求出，进而求出，最后根据正弦定理求出答案； （2）先用等面积法求出间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立之间的不等式，两者结合即可得到答案 . 【详解】（1）当，重合时， 由余弦定理知， 所以， 因为，所以 因为，所以， 因为，所以， ∴在中，由正弦定理可知，，解得m. （2）易知到地面的距离， 所以，所以 又由余弦定理可知，， 当且仅当时“=”成立. 所以，解得m． 答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解， （2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解， （ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由题意知， 又由正弦定理得，所以. 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故， （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2） （3）因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内 函数单调递增， 内 函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当 时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 故在 时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值，所以. （3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到 时取得最大值，因此，即，故得证. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且 ， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时， ，即，单调递减； 当 时， ，即 ，单调递增； 所以函数在 处取得极小值也是最小值， 当时， ，时， ， 因为有且仅有1个解， 所以. 【小问3详解】 略 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1） （2）证明： 必要性：因为是偶函数，所以任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义，代入数值，解不等式； （2）分必要性和充分性，结合偶函数的定义，以及“对称集”的定义，即可证明； （3）由定义可知，，所以在上单调不减，利用导数分析函数的单调性，求的取值范围. 【小问1详解】 由定义得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以恒成立. 所以. 当时，，等号仅当时成立，所以单调递增， 而，所以对任意，； 当时，若满足， 即时，，而， 因此当时，，不合题意 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $