第1章三角形的证明 同步单元达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》 同步单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列命题的逆命题是假命题的是（） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的对应角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 2．如图，在中，点在边上，点在边上，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图摆放的一副直角三角板，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，，平分，点B、C分别在、上，且，要想求出四边形的面积，只需知道下列哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且 ，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 二、填空题（满分24分） 9．已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 11．如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么 ． 12．如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 13．如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为 ． 14．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线，交于点E，，F是垂足．若，，则 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 16．如图，在中，已知，于点M，于点N，P为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的是 （填写序号） 三、解答题（满分72分） 17．快递服务让我们的生活更加便捷．为了更高效地服务于客户，某快递公司计划新修建一个快递中转站．如图所示，为了取送方便，要求该快递中转站到，两条公路的距离相等，且到E，D两个小区的距离相等．请用尺规作图法，求作该快递中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 19．如图，是一边上的高，垂直于且与交于点，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 21．如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 22．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 23．如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 24．【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点F在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点E作于点D．如图②，若点F在点B右侧，求证：． 参考答案 1．C 【分析】本题考查的是逆命题及定理的相关知识，关键是先确定每一项的逆命题．判断每个命题的逆命题，并验证其真假． 【详解】解：∵对于A，原命题相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，此为真命题； 对于B，原命题两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，此为真命题； 对于C，原命题全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，此为假命题，因为对应角相等的三角形只是形状相同但未必全等； 对于D，原命题等腰三角形的两个底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，此为真命题． ∴逆命题是假命题的是C． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握外角的性质及计算是关键，根据三角形的外角得到，结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 3．D 【分析】本题考查与三角板有关的计算，三角形的外角，根据三角形的外角的性质，求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：如图，由题意，可知：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 4．C 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直接根据该性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解，利用线段垂直平分线的性质和等边对等角可得，即可得，再利用含角的直角三角形的性质可求解的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理；解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将四边形面积转化为与相关的三角形面积． 作辅助线（D到、的垂线），利用角平分线性质得垂线相等，结合角度条件证三角形全等，将四边形面积转化为含的三角形面积，从而确定只需知道的长． 【详解】解：过点D作于M，于N，如图， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵点D是平分线上的一点，， ∴．， ∴ ， ∴，． ∵，， ∴ ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 由勾股定理得：， ∴， ∴要想求出四边形的面积，只需知道的长即可． 故选：B． 7．A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查等边三角形的性质、轴对称有关的线段最值问题、勾股定理等，准确添加辅助线是解题的关键． 首先判断最小值时所对应的情况，添加辅助线后计算线段长度，结合线段长度和差计算以及勾股定理，依次计算出、、的长度，最终计算出ME的长度． 【详解】解：∵，， ∴，∴， 判断最值情况，以为对称轴作点的对称点，则，连接，故当最小时即为的长度，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴，∵， ∴，结合， ∴，由勾股定理可得， ∵，，， ∴， 结合，， 由勾股定理得， 即的最小值为， 故选A． 9． 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，角平分线的性质．点在第一、三象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等，据此列出方程求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， 点到坐标轴的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2，   为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 11．/65度 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可证，所以，因为E为中点，由等腰三角形三线合一可知，根据直角三角形两锐角互余即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，，， ∵是的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点．连接，过点E作于点G，交于点H，交于点O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点G，交于点H，交于点O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 16．①②③④ 【分析】根据于点得是直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得，由此即可对结论①进行判断； 根据于点M得是直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得，进而得，由此即可对结论②进行判断； 设与相交于点O，根据，及三角形外角性质得，，则，在四边形中，根据四边形内角和等于． 得，进而得，则，由此得，则是等边三角形，再根据等边三角形性质可对结论③进行判断； 根据，得是等腰直角三角形，由勾股定理得，再根据得，由此即可对结论④进行判断． 【详解】解：于点N， ， 是直角三角形， 点P为边的中点， 是的斜边上的中线， ， ， 故结论①正确； 于点M， ， 是直角三角形， 点P为边的中点， 是的斜边上的中线， ， ， 故结论②正确； 设与相交于点O，如图所示： ，， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， 在四边形中，， 又，，， ， ， ， 在中，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故结论③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 又， ， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 17．图见解析 【分析】本题考查了作角平分线(尺规作图)，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用尺规作出的平分线，的垂直平分线，它们的交点即为所求作的点． 【详解】解：作的平分线，的垂直平分线，它们的交点即为所求作的点． 18．1 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． 19．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）证明由全等三角形的性质得出； （2）由直角三角形的性质可得再证明是等腰直角三角形，可得最后再求解即可． 【详解】（1）证明：∵是一边上的高，， ， 在和中， （2）解： 是等腰直角三角形， 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，即可得证； （）由线段垂直平分线的性质可得，点是的中点，得出为的平分线．求出，由等腰三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵垂直平分于点， ∴，点是的中点， ∴为的平分线， ∴， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴ ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 22．(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）（2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23．(1) (2)见解析 (3)9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 24．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明即可得出结论； （2）在射线上截取，连接，,得出是等边三角形，证明，得出对应角相等，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）； （2）如图，在射线上截取，连接，, ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $