1.5角平分线 同步达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.5角平分线》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．如图，已知是内一点，且，垂足分别为，，作射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．18 D．36 6．如图，在中，，平分，，的面积为，则的值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 7．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 11．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 12．如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为 ． 13．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 14．如图，在中，，，，角平分线与相交于点O，则点O到斜边的距离为 ． 15．如图，在中，平分是的中点，，则的长度为 ． 16．如图，△两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且∥，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③ ；④．其中正确的是 ． 三、解答题（满分72分） 17．电信部门要在S区修建一座手机信号发射塔点P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，请在图中用尺规作图作出手机信号发射塔点P（保留作图痕迹，不写作法）． 18．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：． 19．如图，，，O是的平分线和的平分线的交点，的延长线交于点D．求证：． 20．如图，在中，是的平分线，过点D作于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．已知中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； 22．如图，，平分，点为上一定点，四边形的顶点分别在射线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点F在射线上，且，请探究：线段之间的数量关系，并加以证明． 23．人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 参考答案 1．C 【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得，是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴在中斜边， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， 故D选项符合题意； ，无法证明， 故B、C选项不符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键；根据三角形内角和定理可以知道的度数，然后根据角平分线判定定理即可求出的度数. 【详解】解： 是的平分线 在中， 故选：A ． 4．D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，解二元一次方程组，解答本题的关键是在第四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数． 根据在第四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数求得m值即可． 【详解】解：∵点在第四象限的角平分线上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴点M的坐标为． 故选：D 5．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过作于，如图， ∵平分交于点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过D作于E，根据角平分线的性质定理得到，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 8．C 【分析】根据，，分别平分，，，可以分别设，，，利用三角形内角和定理与外角定理以及平行线的性质分别求出：，，可判断①错误，③正确；利用三角形内角和定理可得出，从而得到，故②正确；然后利用角平分线的性质和判定证明是角平分线，继而可求出，进而求出，从而得到④正确． 【详解】解：如图所示： ∵平分，平分， ∴令，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故①错误；③正确； ∵平分， ∴令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 过点D作分别交、、于点G、M、N， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 综上可知，正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外角定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及角平分线的性质与判定等知识．解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，以及角平分线的性质与判定快速得到也是角平分线． 9．3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 点是的角平分线的交点， ，， ， ， ， ； 故答案：． 11． 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 12．7 【分析】如图，过点作于点，点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得，，设，则，根据等边对等角得，在中，求得，继而得到，在中，推出，，，求出，，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，点作，交的延长线于点， ∴， ∵平分， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．2 【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到 ，，于是得到，，代入数据即可得到结论． 本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 14．2 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积列出方程是解题的关键．利用勾股定理列式求出，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到三边的距离相等，设为h，再利用的面积列出方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 角平分线与相交于点O， 点O到三边的距离相等， 设为h，则， 解得， 即点O到斜边的距离为. 故答案为： 15．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线，三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得的长，又根据点D是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如下图所示，延长、交于点F， 平分，， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， 点D是的中点，是的中位线， ． 故答案为：2． 16．①②④ 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，关键是由角平分线的性质的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出， ， 得到， 推出点在的平分线上，由平行线的性质推出， ， 由角平分线定义得到， 因此，推出， 由角平分线定义得到由三角形的外角性质得到，， 求出，由三角形内角和定理得到的度数即可解题． 【详解】过作于， ∵平分，平分， 于点，于点， ∴， ， ∴， ∴点在的平分线上，故①②符合题意； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ∵平分， 平分， ， ∵， ， ， ， 故③不符合题意， ∴其中正确的是①②④， 故答案为： ①②④． 17．见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P， 则点P即为所求． 18．见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质得出． 根据角平分线的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】证明∵平分，于点D，于点E， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴． 19．证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，关键是得到．根据平行线的性质和角平分线的定义得到，再根据等角对等边得到，从而得到，再根据等边对等角得到是的平分线，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴． ∵CO是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BO是的平分线， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，再利用全等三角形即可解决问题. （2）根据（1）中所得全等三角形，得出，然后在中利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的平分线，， ∴ 又， 在和中， ∴， ∴． （2）∵， ∴． 又∵， ∴， 即． 在中， ， ∴， 解得， ∴的长为8． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过O作于点F，作于点G，作于点H，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴设，∠， ∴ ， ∴； （2）证明：过O作于点F，作于点G，作于点H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴平分． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形判定与性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质， （1）先证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于H，于N，证明 即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点C作于H，于N， 平分，，， ，， 又，， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 23．（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知， ， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ． 学科网（北京）股份有限公司 $