1.2等腰三角形 同步达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.2等腰三角形》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 2．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（    ） A．39 B．41 C．43 D．45 4．如图，在等腰中，，，是边上的中线，，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 5．如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 6．如图，在等边中，，分别在，上移动，且，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当点为线段的中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（满分24分） 9．若等腰三角形的一边长为，另一边是其三倍，则该等腰三角形的周长为 ． 10．等腰三角形的顶角是底角的10倍，若腰长为，则腰上的高为 ． 11．如图，在中，，点在边上，且，，则的度数为 ． 12．如图，在中，点E在边上，，，交的延长线于点D，，，则的长为 ． 13．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则 ． 14．如图，在中，，于，点为线段上的一点，过点作于点E，交于点G，且，过点A作交于点D，若，，则为 ． 15．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． （1）当时，为 三角形； （2）当 时，是等腰三角形． 16．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在等腰三角形中，，． (1)求的面积； (2)过点作边的高线，求的长． 18．如图，把长方形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，点A落在处． (1)试说明是等腰三角形； (2)试猜想之间的关系，并说明理由． 19．已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 20．如图1，在中，，，，交于点D． (1)求证：平分； (2)如图2，若的平分线交于点E，求证：． 21．如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． (1)的长度为_______； (2)求的度数； (3)当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 22．某数学兴趣小组在研究一个尺规作图课题：在中，，作以为顶点的等腰三角形．以下为两位同学的做法： 甲：如图1，以为圆心，为半径画弧交于点，连结BE． 乙：如图2，步骤1，作的高线；步骤2，作的平分线交于点，连结BE． (1)如图1，若，则___________°． (2)尺规作图：请你在图2中完成乙同学的步骤2．（不写作法，保留作图痕迹） (3)你认为乙同学的做法正确吗？如果正确请证明，如果错误请说明理由． 23．在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 参考答案 1．解：对于A、， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于B：由得， 则不是等腰三角形，故本选项符合题意． 对于C：由，得， 则， 则， 故是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于D：由得，则， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴若为顶角，则底角； 若为底角，则另一个底角也为， ∴ 底角为或， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了等腰三角形判定、平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义得出，解答．根据角平分线的定义得出，，进而利用平行线的性质得出，，进而解答即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 梯形的周长， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．根据等腰三角形的性质易知，根据含度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：，，是边上的中线， ，，平分， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图所示： ∵点D为的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，因为，可得． 【详解】解： 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过点作于，交于，则此时，的值最小，利用等边三角形的性质求出角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出边的长度，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于，交于， 则此时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三线合一定理可判断①②，可证明，据此可判断③；可证明，则可分和两种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数，据此可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵，点为线段的中点， ∴，故②正确； ∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或，故④错误； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 9． 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解决本题的关键是根据三边关系选出正确的边长进而求得周长；根据等腰三角形的性质，需分类讨论边长为的边是腰还是底，并结合三角形三边关系进行判断． 【详解】解：等腰三角形的一边长为，另一边为其三倍即； 若为腰，则底为，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 若为腰，则底为，此时两边之和，，，均满足三角形三边关系，则周长为； 故答案为． 10． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，是解题的关键． 设底角，则顶角，根据三角形内角和定理，利用列方程求出底角和顶角为，再利用含角的直角三角形的性质计算即可解答 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点D， 设等腰三角形的底角，则顶角， 由三角形内角和定理得：， 解得：， ， ∴， 在中， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，一元一次方程的应用等知识点，设，由，，得，根据三角形外角性质得，又，则，故有，然后通过三角形内角和定理得出，再求出的值即可，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，可得出，得到；根据等边对等角，得到，从而得到，得到，从而得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，继而得到，根据勾股定理，得． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，连接， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 13．10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 14． 【分析】过点B作交的延长线于点M，则四边形是矩形，设，则，， 则，，，根据勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：过点B作交的延长线于点M， 则四边形是矩形， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴点A到的距离等于， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 15． 直角 或或 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，根据可证明，利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）和是等边三角形， ， ，，， ， ， 在和中， ， ； ， ，， ， 是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：，，，， ①要使，需， ， ； ②要使，需， ， ； ③要使，需， ， ． 所以，当为或或时，是等腰三角形， 故答案为：或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键． 16．①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到可判断①，结合，得到，可判断②，接着证明，得到，可判断③，最后证明是等边三角形，可得到，从而判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∵点B，C，E在同一条直线上， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出，则面积可求； （2）结合（1）的结果，根据即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ， ， ， ； （2）解：如图， ，， ． 18．(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由矩形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，结合等腰三角形的判定及性质，即可求解； （2）由矩形的性质及折叠的性质，结合勾股定理得，则，即可求解； 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ∴是等腰三角形 （2）解：，理由如下： 四边形是长方形， ， 由折叠得：，，，， 由（2）得 ， 在中，， 即． 19．(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）先由三角形内角和定理得到，再根据等边对等角得到，则，故，即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21．(1) (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由折叠的性质可得，，结合题意求出，即可得出结果； （3）由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，同理可得是等边三角形，得出，，求出，结合题意得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同理可得：是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22．(1) (2)见解析 (3)乙同学的做法正确 【分析】（1）根据已知可求，由等边对等角可知，再根据三角形内角和即可求解； （2）关键垂线和角平分线作法作图即可； （2）由，，证明即可得出结论. 本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等.解题关键利用三角形内角和、外角的性质推出角的关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由作图可知：， ∴， ∴； （2）如图： （3）乙同学的做法正确， 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴，即是以为顶点的等腰三角形． 23．（）；（） 为等腰三角形，理由见解析； 为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）先证明，则有，再证明为等边三角形，从而求解； （2）先证明，所以，则，根据平行线的性质可得，所以，从而有，然后通过等腰三角形的判定即可求解； 证明，则有，又，所以，根据平行线性质可得，所以，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； （2） 为等腰三角形， 证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 如图，为等腰三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $