精品解析：广东省江门市新会区2025-2026学年上学期义务教育质量监测九年级数学科试题

2025-2026学年度第一学期义务教育质量监测 九年级数学科试题 （说明：本试题必做题共五大题，满分120分，测试时间120分钟，请在答题卷作答，在试题卷作答无效！） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 6. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，则该粒米不落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则；其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有字母和I．从三个口袋中各随机取出1个小球，则取出的3个小球恰有一个元音字母的概率是______． 13. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）解方程：． （2）请直接写出函数的图像与轴交点坐标． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转后得到．（每个方格的边长均为1个单位） （1）画出； （2）并直接写出：的坐标为________，的坐标为________； （3）判断直线与直线的位置关系为________． 18. 如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 20. 某商家销售一种糕点，每盒进价为元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … … 周销量（盒） … … （1）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （2）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 21. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于x的方程的解是（、、均为常数，），则方程的解是？ 解法探讨 （1）小明的思路如下所示： 小明的思路 第1步把1、代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“x”，则“”的值是______，从而更简单地解决了问题． （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是______； 策略运用 （4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是三边的长，判断的形状． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）当9米材料恰好用完时，分别求与的长； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 23. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图1，与相切于点，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图2，与相切于点，是的外接圆，求证：． 【性质应用】 （2）如图3，与相切于点，是的弦，是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为________（用含的代数式表示）． （3）如图4，是的弦，是上的一点，的半径为5，．若四边形边所在的直线与相切，且平分一组对角时，根据题意自行画图并求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期义务教育质量监测 九年级数学科试题 （说明：本试题必做题共五大题，满分120分，测试时间120分钟，请在答题卷作答，在试题卷作答无效！） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形是主视图是解题关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下： 故选A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 3. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据旋旋转角的定义即可判断； 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到， 旋转角是或， 故选：A． 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误，弧是圆上两点间的部分，不符合题意； B、如图， 弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误，不符合题意； C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径，故本选项错误，不符合题意； D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型． 6. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 7. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，则该粒米不落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理，求概率，掌握这些知识是关键；先求出圆的面积与扇形面积，两者的差即为扇形外的面积，由概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得 ∴， 圆面积为，扇形面积为，， ∴该粒米不落在扇形内的概率为； 故选：D 8. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 9. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 10. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则；其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数的关系，考查了二次函数对称轴，二次函数与方程关系等知识，综合性强，难度较大．由抛物线开口向上得，根据对称轴得到，，根据抛物线与y轴交于负半轴，得到，①错误；由得②正确；根据抛物线对称轴为直线，开口向上，得到函数最小值为，得到③正确；根据抛物线与x轴一个交点在左侧，对称轴为直线，得到抛物线与x轴另一个交点在右侧，得到④正确；根据得到，结合，得到抛物线对称轴为，得到⑤正确． 【详解】解：由抛物线开口向上得， 由抛物线对称轴为， ∴， ∴， 由抛物线与y轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； 由得，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，开口向上， ∴函数最小值为， ∴m为任意实数时，，即，故③正确； ∵抛物线与x轴一个交点在左侧，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点在右侧， ∴当时，，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴当和时函数值相等， ∵抛物线对称轴为， ∴，故⑤正确． 故选：C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 12. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有字母和I．从三个口袋中各随机取出1个小球，则取出的3个小球恰有一个元音字母的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，理解题意是解决本题的关键． 根据题意列树状图求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图得： 由树状图知共有12种等可能的结果，取出的3个小球恰有一个元音字母的有5种情况， ∴取出的3个小球恰有一个元音字母的概率为， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）解方程：． （2）请直接写出函数的图像与轴交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，以及一元二次方程的解法． （1）根据因式分解法求出x的值； （2）根据（1）中的解可得到函数图像与x轴交点坐标． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，， 由（1）得：， ∴函数的图像与x轴交点的坐标为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转后得到．（每个方格的边长均为1个单位） （1）画出； （2）并直接写出：的坐标为________，的坐标为________； （3）判断直线与直线的位置关系为________． 【答案】（1） 如图， （2）， （3）垂直 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键． （1）按照旋转的定义进行旋转即可； （2）由（1）中的图即可得坐标； （3）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）图可知点坐标为，点坐标为， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：∵把绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴直线与直线的位置关系为垂直． 18. 如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 【答案】 证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 20. 某商家销售一种糕点，每盒进价为元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … … 周销量（盒） … … （1）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （2）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 【答案】（1）当销售单价定为元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用． (1)设关于的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数的解析式；设销售利润为元，根据利润销量单件利润，可得关于的函数关系式，根据二次函数的性质可以求出最大利润； (2)根据，求出每周利润的取值范围，即可得到每周至少可获得的利润． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 当时，， 当时，， 可得：， 解得： 关于的函数表达式为； 设销售利润为元， 由题意可得：， 整理得：， ， 有最大值， 当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； 【小问2详解】 解：由(1)可知每周出售这种糕点所获利润， 又， 当时，所获利润最小为元； 当时，所获利润最大为元， 销售单价需满足，则每周至少可获得元的利润． 21. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于x的方程的解是（、、均为常数，），则方程的解是？ 解法探讨 （1）小明的思路如下所示： 小明的思路 第1步把1、代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“x”，则“”的值是______，从而更简单地解决了问题． （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是______； 策略运用 （4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是三边的长，判断的形状． 【答案】 （1）解：将代入到方程中， 得， ∴， 解得 ∴． ∴ 第个方程可变形为， 即， 解得：； （2）或； （3）； （4）是直角三角形． 【解析】 【分析】此题考查了用特殊方法解一元二次方程． （1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解； （3）根据二次函数的平移规律作答即可； （4）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到、、的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）解：函数的图象与x轴交于点和， 函数的图象相当于将上述图象向左平移2个单位， ∴与x轴交于点和， ∴方程的解为； 故答案为：； （4）解：∵当时，成立， ∴方程必有一根是 ∴方程的两根为． ∴． ∴． ∴是一个直角三角形 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）当9米材料恰好用完时，分别求与的长； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） （2）的长为6米，的长为3米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的函数表达式为，把点A或点B的坐标代入解析式，确定解析式即可； （2）由点在抛物线上，不妨设点的坐标为，继而得到，．根据题意得，构造方程 ，求解即可； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个 【小问1详解】 解：所在直线是的垂直平分线，且， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由点在抛物线上， 不妨设点的坐标为， ，交轴于点， ， ． 在中，， ． ， 根据题息，得， ， 解得：（不符合题意，舍去）， ． ， 答：的长为6米，的长为3米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， 根据题意，得，，， 设直线和的表达式分别为：， 故， 解得， 故直线和的表达式分别为：， 设点， 则矩形周长， 根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为， 故矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 23. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图1，与相切于点，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图2，与相切于点，是的外接圆，求证：． 【性质应用】 （2）如图3，与相切于点，是的弦，是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为________（用含的代数式表示）． （3）如图4，是的弦，是上的一点，的半径为5，．若四边形边所在的直线与相切，且平分一组对角时，根据题意自行画图并求的长． 【答案】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图所示： ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）或或或； （3）解：如图： ． 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，由题意易得，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可； （3）先证明，过点C作于点E，连接，然后由勾股定理求解，则，再由勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：当为等腰三角形时，则可分： ①当时， 由（1）可得：， 则， ∴由三角形内角和得：； ②当时，则； ③当点E在优弧上且时，则， ∴； ④当点E在劣弧上且时，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： ∴， 由弦切角定理可知：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，或或或； （3）解：如图： 由弦切角的性质可知：， 由题可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作于点E，连接， ∴， ∴垂直平分 ∵ ∴点在上， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $