精品解析：山东省枣庄市第八中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

高二年级数学学科 期末模拟定时检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图正方体，中，点、分别是、的中点，为正方形的中心，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与是相交直线 C. 直线与互相垂直 D. 直线与所成角的余弦值为 8. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（ ） A. 若点，则四边形的面积是 B. 若点，则四边形的外接圆方程是 C. 若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D. 当取得最小值时，点到圆心的距离为 11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ） A. 若，则的最小值为3 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为 D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 12. 若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为_____________ 13. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为__________． 14. 已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，且． （1）求的长度； （2）求证：平面 16. 已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知圆经过两点，圆心在直线上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切．求 （1）求圆的标准方程． （2）反射后光线所在直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科 期末模拟定时检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用代值法，计算等是否符合通项公式. 【详解】对于A，，A不符合题意； 对于B，，B不符合题意； 对于C，，C符合题意； 对于D，，D不符合题意. 故选：C 3. 已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 4. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程得到其准线方程，结合题意可得到准线的距离为3，进而结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为到直线的距离为5，所以到准线的距离为3，则. 故选：A. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 6. 已知实数，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出圆的标准方程，利用三角换元转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 7. 如图正方体，中，点、分别是、的中点，为正方形的中心，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与是相交直线 C. 直线与互相垂直 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线的位置关系判断直线与，是否异面，用向量法求异面直线所成角.即可得到答案. 【详解】在正方体中，点分别是的中点，为正方形的中心，易知四边形为平行四边形，所以相交，故A不正确. 若直线是相交直线，则直线相交或平行，这与题意不符合，故B不正确. 以分别为轴建立空间坐标系，设正方体的棱长为2，如图 则, 则,,, , ，故C正确. ，故D不正确. 故选：C 8. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差等比数列的通项以及等比求和公式即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出数列通项判断A,B,C，再结合二次函数的对称性判断D. 【详解】A选项，当时，，又， 所以，因为，则是递减数列，故A错误； B选项，由可得，故B正确； C选项，令，解得，故C正确； D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 10. 在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（ ） A. 若点，则四边形的面积是 B. 若点，则四边形的外接圆方程是 C. 若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D. 当取得最小值时，点到圆心的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，即可求解；对于B，由四边形的外接圆的直径是，即可求解；对于C，当与直线垂直时，直径最小，即可求解；对于D,由到圆心的距离为，确定 为正方形，可判断； 【详解】若，则，又，，， 所以，所以，A正确； 四边形的外接圆直径是，若，则，圆心为， 故外接圆方程是，B不正确； 因为原点O到直线的距离为， 所以当为垂足时，以为直径的圆的直径最小，为，C正确； 若点到圆心O的距离为，易得：，此时四边形是正方形，此时， 易知，当时，，，故D不正确， 故选：AC． 11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ） A. 若，则的最小值为3 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为 D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，设，切点，，的斜率为，得到，再得到切点弦直线方程，进而得到直线过定点，即可判断D． 【详解】 由可得：，焦点，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 则，故A正确； 设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得： ，故B错误； 设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心, 则，即， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设， 则， 即，故C正确； 设，切点，，的斜率为， 由题意知切线斜率存在，设为， 联立得， ，即， ， 原方程为， ， 所以切线方程为：，即， 同理切线方程为：， 由于切线与切线相交于点， 所以有：与成立， 由于切点满足直线方程， 即直线方程为：，因为， 则，即， 所以直线恒过定点， 故到直线距离的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 12. 若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率，结合双曲线参数关系求得，再由双曲线渐近线求法写出渐近线方程. 【详解】由题设，则，而双曲线的渐近线为， 所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， 因为两直线，始终垂直，点C是两条直线的交点， 所以有，所以点C的轨迹方程是， 所求可以看成点C与点连线的斜率， 如图象，求出过M点的切线斜率即可，设切线为，即. 根据相切的条件构造方程，即,解得. 可得最小值为． 故答案为：. 14. 已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，且． （1）求的长度； （2）求证：平面 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据条件求出的值，然后利用向量基底表示出，利用向量模公式求解； （2）利用向量法证明，然后利用线面垂直判定定理证明即可. 【小问1详解】 设， 由于，即，所以， 同理可得，由题意可得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以，同理可证， 又因为平面， 所以平面． 16. 已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列方程组求解，最后根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）利用分组求和、等差数列和等比数列的求和公式计算. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，所以，， 又，所以，，得，， 所以，， 即数列的通项公式为，数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以由（1）可得， . 17. 已知圆经过两点，圆心在直线上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切．求 （1）求圆的标准方程． （2）反射后光线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，将两点A、B代入圆的方程，且圆心在直线上，将圆心坐标代入直线方程，方程组求解即可； （2）根据对称的相关性质求出点关于轴的对称点，将问题转化为过的直线与圆相切，分别讨论斜率是否存在，根据直线的点斜式方程结合相切时点到直线的距离等于半径，解出斜率即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为． 由题知，解得． 因此，圆的标准方程为：． 【小问2详解】 点关于轴的对称点为． 反射光线可看作从出发并与圆相切的直线． 设反射光线的斜率为，则其方程为． 圆心到该直线的距离等于半径1，即． 解得即直线为（此时光线平行于轴，不符合反射的情景，舍去），． 当斜率不存在时，直线到圆心的距离为1，与圆相切． 因此，反射后光线所在直线的方程为：． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得底面，建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可； （2）由面面角向量法计算即可. 【小问1详解】 ∵侧面底面，侧面底面，， 底面， ∵底面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则令，则，， 得平面的法向量为． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 【答案】（1） （2）①定值，② 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，结合渐近线方程及虚轴长求解即可. （2）①设直线的方程，联立其与双曲线方程，结合韦达定理可得，代入中计算即可；②设直线的斜率为可得，结合可得，进而可得，再结合可得，从而求得直线的方程，联立直线的方程与双曲线方程可求得点的纵坐标，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由题意可设双曲线：（，）， 则解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 如图所示， ①为定值.理由如下： 由题意知，， ， 设，，直线的方程为， 由消元得， 则，，且， 所以， 所以， 故为定值. ②由①知，，设直线的斜率为，则， 又，所以， 所以. 又，，所以， 由可得，即， 又，所以（舍），. 所以直线的方程为. 由可得：，即点的纵坐标为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法： （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $