精品解析：甘肃省天水市2025-2026学年高一上学期1月月考阶段性检测数学试卷

高一阶段性检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册第一章至第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合交集的定义即可求得结果. 【详解】. 故选：A. 2. 某扇形的周长为100，圆心角为2弧度，则该扇形的半径为（ ） A. 12.5 B. 50 C. 25 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，利用扇形的弧长公式和扇形的周长公式计算得解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，则弧度， 则扇形的弧长为，扇形的周长为， 因为扇形的周长为100，所以，解得. 故选：C. 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象向（ ） A. 右平移个单位长度 B. 右平移个单位长度 C. 右平移个单位长度 D. 左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用函数的图像变换规律，可得结论 【详解】因为， 所以将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象. 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数，对数函数的性质，以及中间值进行判断即可. 【详解】，，，所以. 故选：D. 5. 若函数的零点在内，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递增，再由一元二次函数的性质求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题设及指数复合函数的单调性知，解得. 故选：C. 7. 设函数，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. e C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】依题意得， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 所以时，等号成立, 所以的最小值为2. 故选：D. 8. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设音速，并整理公式为 ，燃料质量为 a、马赫数为 6，代入公式得到含和 的方程(2);燃料质量为、马赫数为10，再利用对数运算法则拆分 ，得到含和的方程(3)，最后联立方程(2)(3)求解，计算音速. 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式： ， 化简为， (1) 设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6， 所以 又因为 ， 所以, 化简得， , (2) 当燃料质量为 时，马赫数为 10， 令并代入(1)式子中， 化简， (3) 将式子(2)代入公式(3)中 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 函数的定义域为 D. 函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的定义域可求出的值和的取值范围，即可判断A，B选项；由可得的定义域，判断C选项；由可得的定义域，判断D选项. 【详解】要使有意义，则有，因为的定义域为， 可得，，故A正确，B错误； 由，得，所以的定义域为，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 图象的对称中心为点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用图像求得周期，可求得判断A；利用点可求得判断B；进而可得，可判断C；利用整体法可求得对称中心判断D. 【详解】由图得，解得，A正确. 将点的坐标代入，得， 得，即， 因为，所以，B错误. 是奇函数，C正确. 令，得， 所以图像的对称中心为点，D错误. 故选：AC. 11. 设函数是上的单调函数，且，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】换元法利用设代入原解析式，结合函数的单调性解出可判断A；由对数的运算可得B；由指数的运算可判断C；由简单复合函数的单调性可判断D. 【详解】设，则，， 所以，即. 因为函数在上单调递增，，所以， 则，则，A正确. ，B错误. ，C正确. 易得在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象不经过坐标原点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为幂函数，得出的值，再由幂函数的图象不经过原点，确定的值. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 解得或. 当时，，其图象经过坐标原点，不符合题意； 当时，，其图象不经过坐标原点，符合题意. 故答案为： 13. 已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，写出命题的否定，然后分和两种情况讨论求解. 【详解】因为“，”为假命题，所以其否定“，”是真命题， 当时，不等式变为，解得，这与矛盾，所以. 当时，要使，恒成立， 则得. 故答案为： 14. 若函数在上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】由，得， 又因为函数在上单调递增， 由余弦函数的性质可知，在上单调递增， 则，解得. 因为， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点在角的终边上，且. （1）求的值； （2）求，的值； （3）化简并求值：. 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可求得的值. （2）结合（1），根据三角函数的定义可求得； （3）利用诱导公式化简，结合（1）（2）计算可求值. 【小问1详解】 由题意得， 解得. 【小问2详解】 由（1）得， . 【小问3详解】 原式， 故. 16. 已知，函数的最小正周期与函数的最小正周期相等. （1）求的最小正周期； （2）解不等式； （3）若，求在上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期的计算公式即可求解； （2）根据可得不等式，借助正切函数的图象即可求解； （3）利用可求出的解析式，即可求出值域. 【小问1详解】 根据题意可得，解得， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 所以，解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）知，，， 由，得，即， 因为，所以，所以， 由，得， 当时，取得最大值，最大值为4， 当时，取得最小值，最小值为2， 所以在上的值域为. 17. 已知函数，，且. （1）求的值； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）试判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】（1）； （2） 为偶函数，理由如下： ，，， 的定义域为，关于原点对称. ，为偶函数. （3） 在上单调递增. 证明如下：任取，，且， 则， 因为，，且， 所以，，，，， 所以， 所以，故在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由的表达式求出的表达式，由得到的表达式，由得到的等式，计算得解. （2）求出的表达式，得到，利用偶函数的定义求解； （3）任取，，且，求出，经过计算整理得到，利用单调性的定义得解. 【小问1详解】 ，， ，， ，，， ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）若，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，先求出二次函数的最小值，再求的最小值； （2）分离参数得在上恒成立，求出的最小值即可求的取值范围； （3）先转化为,，其中的求法同（1），然后对于，可以分参得到，求出的最小值即可求的取值范围. 【小问1详解】 令，则，设函数，函数. 当时，取得最小值，最小值为， 因为在上单调递增，所以的最小值为. 【小问2详解】 由在上恒成立，得在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为. 【小问3详解】 若，，，则,. 令，则，设函数，在上单调递增， ，，则， 函数在上单调递增，所以. 即，，即， 由于函数在单调递增， 则， 则， 则的取值范围为. 19. 已知指数函数满足. （1）求的解析式. （2）设函数，且方程有4个不相等的实数根，，，. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②证明如下：不妨设. 因为为偶函数，且在上单调递增， 所以，. 设，，则， 所以. 因为，所以. 令，则， 即，解得. 由，得. 因为，，所以. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式； （2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得 的取值范围，结合图象、对称性以及放缩法证得. 【小问1详解】 设，则， 解得或（舍去），故的解析式为. 【小问2详解】 ①由（1）知， 所以. 方程可化为. 令，则，当且仅当时，等号成立. 因为为偶函数，且在上单调递增 （参照函数与的单调性）， 所以有两个大于2的不相等的实数根. 设，则解得， 所以的取值范围是. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一阶段性检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册第一章至第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某扇形的周长为100，圆心角为2弧度，则该扇形的半径为（ ） A. 12.5 B. 50 C. 25 D. 20 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象向（ ） A. 右平移个单位长度 B. 右平移个单位长度 C. 右平移个单位长度 D. 左平移个单位长度 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的零点在内，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. e C. 1 D. 2 8. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 函数的定义域为 D. 函数的定义域为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 图象的对称中心为点 11. 设函数是上的单调函数，且，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象不经过坐标原点，则________. 13. 已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 14. 若函数在上单调递增，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点在角的终边上，且. （1）求的值； （2）求，的值； （3）化简并求值：. 16. 已知，函数的最小正周期与函数的最小正周期相等. （1）求的最小正周期； （2）解不等式； （3）若，求在上的值域. 17. 已知函数，，且. （1）求的值； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）试判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 18. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）若，，，求的取值范围. 19. 已知指数函数满足. （1）求的解析式. （2）设函数，且方程有4个不相等的实数根，，，. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $